Θεώρημα διχοτόμου

η διχοτόμος μίας γωνίας ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα ανάλογα με τα μήκη των δύο άλλων πλευρών του τριγώνου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα διχοτόμου (ή αλλιώς θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ή πρώτο θεώρημα διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο η διχοτόμος ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών.[1]:153-154[2]:191-193[3]:95-96[4]:327-331 Δηλαδή,

Εσωτερική διχοτόμος της κορυφής στο τρίγωνο . Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι .
Εξωτερική διχοτόμος της κορυφής στο τρίγωνο . Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι .

Το δεύτερο θεώρημα διχοτόμουθεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) λέει ότι η εξωτερική διχοτόμος ενός τριγώνου με ικανοποιεί

Αποδείξεις

Επεξεργασία
 

Με θεώρημα Θαλή

Επεξεργασία

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή   στην  , που τέμνει την προέκταση της   στο σημείο  .

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι   (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και   (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

 

και άρα το τρίγωνο   είναι ισοσκελές με  .

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες   και  , έχουμε ότι:

 .

Με τύπο για τα εμβαδά

Επεξεργασία

θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής δύο τύπους για το εμβαδόν τριγώνου:

 

Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα   και   έχουν κοινό ύψος το  . Επομένως τα εμβαδά τους δίνονται από

 

και

 

Διαιρώντας κατά μέλη αυτές τις δύο ισότητες λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση:

 

Εφαρμογές

Επεξεργασία

Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν

Επεξεργασία

Έστω  ,   και   οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου. Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν, καθώς

 

Το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι διχοτόμοι λέγεται το έγκεντρο του τριγώνου.

Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ

Επεξεργασία

Έστω  ,   και  , τότε

  και  .


Συντεταγμένες για το έγκεντρο

Επεξεργασία

Έστω   τα διανύσματα των τριών κορθφών των τριγώνων. Τότε, από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και την σχέση των   και  , το σημείο   της διχοτόμου δίνεται από

 .

Επομένως, η εξίσωση της διχοτόμου   δίνεται από

 ,

για  . Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους. Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις ταυτόχρονα είναι το

 .

Επομένως, αυτό είναι το έγκεντρο του τριγώνου.

Απολλώνιος κύκλος

Επεξεργασία

Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των σημείων   των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία   και  , έχουν σταθερό λόγο  . Δηλαδή,

 

Ο γεωμετρικός τόπος αυτών των σημείων είναι ο Απολλώνιος κύκλος.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Επεξεργασία
 

Απόδειξη

Επεξεργασία

Η απόδειξη είναι η ίδια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιώντας το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή   στην  , που τέμνει την προέκταση της   στο σημείο  .

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι   (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και   (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

 

και άρα το τρίγωνο   είναι ισοσκελές με  .

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες   και  , έχουμε ότι:

 .

Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ'

Επεξεργασία

Από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου και χρησιμοποιώντας ότι  , προκύπτει ότι

  και  .

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτέλης. 
  2. Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  3. Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  4. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.