Θεώρημα του Τσέβα

αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρία ευθύγραμμα τμήματα που ξεκινάνε από τις κορυφές ενός τριγώνου

Στη γεωμετρία, το θεώρημα του Τσέβα (αναφέρεται συχνά ως θεώρημα του Ceva) δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για τρία ευθύγραμμα που ενώνουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τις απέναντι πλευρές τους, να συντρέχουν.

Τα ευθύγραμμα τμήματα , και συντρέχουν.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο τα ευθύγραμμα τμήματα , και (με σημεία των πλευρών αντίστοιχα) συντρέχουν ανν[1]:169-180

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Τζιοβάνι Τσέβα και είναι στενά συνδεδεμένο με το θεώρημα του Μενελάου.[2][3][4][5]

Εφαρμογές Επεξεργασία

Απόδειξη βαρυκέντρου Επεξεργασία

Έστω   τα μέσω των πλευρών του τριγώνου, δηλαδή  ,   και  . Τότε

 

Επομένως, οι τρεις διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο (το βαρύκεντρο).

Απόδειξη εγκέντρου Επεξεργασία

Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε για τις διχοτόμους  ,   και   ότι

  και  

Επομένως, έχουμε ότι

 ,

και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα καταλήγουμε ότι οι τρεις διχοτόμοι διέρχονται από το ίδο σημείο (το έγκεντρο).

Απόδειξη ορθοκέντρου Επεξεργασία

Τα τρίγωνα   και   είναι όμοια καθώς έχουν μία ορθή και την   ίση. Επομένως,

 .

Αντίστοιχα,

  και  .

Επομένως,

 ,

και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα, προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν (στο σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο).

Άλλες εφαρμογές Επεξεργασία

Το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ύπαρξη του σημείου Nagel καθώς και την ύπαρξη του σημείου Gergonne.

Επεκτάσεις Επεξεργασία

Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος του Τσέβα για τετράπλευρα[6][7], πολύγωνα[8][9] καθώς και για περισσότερες διαστάσεις.[10]

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Περαιτέρω ανάγνωση Επεξεργασία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι Επεξεργασία

Ελληνικά άρθρα Επεξεργασία

Ξενόγλωσσα άρθρα Επεξεργασία

Παραπομπές Επεξεργασία

  1. Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0. 
  2. Pollard, John M. (Ιουλίου 2000). «84.30 Ceva = (Menelaus) 2». The Mathematical Gazette 84 (500): 268–271. doi:10.2307/3621658. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2000-07_84_500/page/268. 
  3. Benıtez, Julio (2007). «A Unified Proof of Ceva and Menelaus’ Theorems Using Projective Geometry». Journal for Geometry and Graphics 11 (1): 39-44. https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg11/j11h1beni.pdf. 
  4. Green, H. G. (Μαΐου 1957). «On the Theorems of Ceva and Menelaus». The American Mathematical Monthly 64 (5): 354. doi:10.2307/2309603. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1957-05_64_5/page/354. 
  5. Klamkin, Murray S.; Liu, Andy (1 Φεβρουαρίου 1992). «Simultaneous Generalizations of the Theorems of Ceva and Menelaus». Mathematics Magazine 65 (1): 48. doi:10.2307/2691362. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1992-02_65_1/page/48. 
  6. Hoehn, Larry (Ιουλίου 2005). «89.49 A Ceva-type theorem for the cyclic quadrilateral». The Mathematical Gazette 89 (515): 282–283. doi:10.1017/S0025557200177848. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2005-07_89_515/page/282. 
  7. Srinivasan, A. K. (Φεβρουαρίου 1950). «2118. On Menelaus' Theorem, Ceva's Theorem and the harmonic property of a quadrilateral». The Mathematical Gazette 34 (307): 51–52. doi:10.2307/3610888. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1950-02_34_307/page/51. 
  8. Contreras, José N. (Απριλίου 2015). «Discovering, Applying, and Extending Ceva's Theorem». The Mathematics Teacher 108 (8): 632–637. doi:10.5951/mathteacher.108.8.0632. 
  9. Wernicke, Paul (Νοεμβρίου 1927). «The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension». The American Mathematical Monthly 34 (9): 468. doi:10.2307/2300222. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1927-11_34_9/page/468. 
  10. Landy, Steven (Δεκεμβρίου 1988). «A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions». The American Mathematical Monthly 95 (10): 936. doi:10.2307/2322390. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1988-12_95_10/page/936.