Στην γεωμετρία , το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους ) ενός τριγώνου είναι το σημείο του τριγώνου όπου διέρχονται οι τρεις διάμεσοί του. Πιο συγκεκριμένα:[1] :142-143 [2] :70-73 [3] :97-98
Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κέντρο βάρους του.
Οι διάμεσοι
A
M
A
{\displaystyle {\rm {AM_{A}}}}
,
B
M
B
{\displaystyle {\rm {BM_{B}}}}
και
Γ
M
Γ
{\displaystyle {\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}}
, που διέρχονται από το ίδιο σημείο
G
{\displaystyle \mathrm {G} }
.
Σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
M
A
,
B
M
B
,
Γ
M
Γ
{\displaystyle {\rm {AM_{A},BM_{B},\Gamma M_{\Gamma }}}}
G
{\displaystyle \mathrm {G} }
A
G
=
2
3
A
M
A
{\displaystyle {\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM_{A}\quad }}}
B
G
=
2
3
B
M
B
{\displaystyle {\rm {BG={\tfrac {2}{3}}BM_{B}\quad }}}
Γ
G
=
2
3
Γ
M
Γ
{\displaystyle \quad {\rm {\Gamma G={\tfrac {2}{3}}\Gamma M_{\Gamma }}}}
Σχήμα για την πρώτη απόδειξη. Με θεώρημα τομής του Θαλή
Επεξεργασία
Έστω
B
M
β
{\displaystyle \mathrm {BM} _{\beta }}
Γ
M
γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma M} _{\gamma }}
G
′
{\displaystyle \mathrm {G} '}
A
′
{\displaystyle \mathrm {A} '}
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
G
′
{\displaystyle \mathrm {G} '}
M
′
{\displaystyle \mathrm {M'} }
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
A
′
G
′
{\displaystyle \mathrm {A'G'} }
Τα ευθύγραμμα τμήματα
M
B
G
′
{\displaystyle {\rm {M_{B}G'}}}
B
A
′
{\displaystyle {\rm {BA'}}}
A
Γ
{\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}
G
′
A
′
{\displaystyle {\rm {G'A'}}}
θεώρημα τομής του Θαλή , προκύπτει ότι
M
Γ
G
′
/
/
B
A
′
{\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }G'//BA'}}}
και αντίστοιχα για τα ευθύγραμμα τμήματα
M
Γ
G
′
{\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }G'}}}
Γ
A
′
{\displaystyle {\rm {\Gamma A'}}}
M
B
G
′
/
/
Γ
A
′
{\displaystyle {\rm {M_{B}G'//\Gamma A'}}}
Επομένως, το τετράπλευρο
B
A
′
Γ
G
′
{\displaystyle {\rm {BA'\Gamma G'}}}
παραλληλόγραμμο . Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα
M
′
{\displaystyle {\rm {M'}}}
B
Γ
{\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}
A
M
′
{\displaystyle {\rm {AM'}}}
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
M
′
{\displaystyle {\rm {M'}}}
G
′
A
′
{\displaystyle {\rm {G'A'}}}
A
G
=
2
3
A
M
′
{\displaystyle {\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM'}}}
◻
{\displaystyle \square }
Θεωρούμε ένα σημείο αναφοράς
O
{\displaystyle {\rm {O}}}
O
G
→
=
1
3
⋅
(
O
A
→
+
O
B
→
+
O
Γ
→
)
.
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OG} }}={\tfrac {1}{3}}\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }}).}
Θα δείξουμε ότι η προέκταση της
A
G
{\displaystyle \mathrm {AG} }
3
2
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}
O
A
→
+
3
2
A
G
→
=
O
A
→
+
1
2
⋅
(
O
A
→
+
O
B
→
+
O
Γ
→
)
−
3
2
O
A
→
=
1
2
(
O
B
→
+
O
Γ
→
)
,
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {3}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {AG} }}={\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }})-{\frac {3}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }}),}
που είναι το μέσο του
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
◻
{\displaystyle \square }
Με το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα
Επεξεργασία
Από το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα προκύπτει ότι οι τρεις διάμεσοι
A
M
A
{\displaystyle {\rm {AM_{A}}}}
B
M
B
{\displaystyle {\rm {BM_{B}}}}
Γ
M
Γ
{\displaystyle {\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}}
B
M
A
Γ
M
A
⋅
Γ
M
B
A
M
B
⋅
A
M
Γ
B
M
Γ
=
1
2
α
1
2
α
⋅
1
2
β
1
2
β
⋅
1
2
γ
1
2
γ
=
1
⋅
1
⋅
1
=
1
{\displaystyle {\rm {{\frac {BM_{A}}{\Gamma M_{A}}}\cdot {\frac {\Gamma M_{B}}{AM_{B}}}\cdot {\frac {AM_{\Gamma }}{BM_{\Gamma }}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}\alpha }{{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\cdot {\frac {{\tfrac {1}{2}}\beta }{{\tfrac {1}{2}}\beta }}\cdot {\frac {{\tfrac {1}{2}}\gamma }{{\tfrac {1}{2}}\gamma }}=1\cdot 1\cdot 1=1}}}
Κάποιες από τις κυριότερες ιδιότητες του βαρύκεντρου είναι οι εξής:[4] :90-92
Το βαρύκεντρο χωρίζει τις διαμέσους σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με λόγο
2
:
1
{\displaystyle 2:1}
A
G
=
2
⋅
G
M
A
{\displaystyle {\rm {AG=2\cdot GM_{A}}}}
Οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου δίνονται από τον μέσο όρο των συντεταγμένων των τριών κορυφών του τριγώνου:
(
G
x
,
G
y
)
=
(
1
3
⋅
(
A
x
+
B
x
+
Γ
x
)
,
1
3
⋅
(
A
y
+
B
y
+
Γ
y
)
)
.
{\displaystyle (G_{x},G_{y})=\left({\tfrac {1}{3}}\cdot (\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}+\mathrm {\Gamma } _{x}),{\tfrac {1}{3}}\cdot (\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}+\mathrm {\Gamma } _{y})\right).}
(Θεώρημα Πάππου
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
(Ευθεία του Όιλερ
O
{\displaystyle \mathrm {O} }
περίκεντρο ,
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
ορθόκεντρο του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
G
,
H
,
O
{\displaystyle \mathrm {G} ,\mathrm {H} ,\mathrm {O} }
H
G
=
2
⋅
O
G
{\displaystyle \mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {OG} }
(Σχέση του Λάιμπνιτς
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
M
A
2
+
M
B
2
+
M
Γ
2
=
3
⋅
M
G
2
+
1
3
⋅
(
α
2
+
β
2
+
γ
2
)
.
{\displaystyle \mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}).}
Το συμπληρωματικό τρίγωνο
M
A
M
B
M
Γ
{\displaystyle {\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}}
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα. ↑ Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτέλη. ↑ Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. ↑ Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α' . Αθήνα. 
