Βαρύκεντρο τριγώνου

Στην γεωμετρία, το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) ενός τριγώνου είναι το σημείο του τριγώνου όπου διέρχονται οι τρεις διάμεσοί του. Πιο συγκεκριμένα:

Οι διάμεσοι ${\rm {AM_{A}}}$, ${\rm {BM_{B}}}$ και ${\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\mathrm {G}$.

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$, οι τρεις διάμεσοι ${\rm {AM_{A},BM_{B},\Gamma M_{\Gamma }}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\mathrm {G}$. Επιπλέον ισχύει ότι

${\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM_{A}\quad }}$, ${\rm {BG={\tfrac {2}{3}}BM_{B}\quad }}$ και $\quad {\rm {\Gamma G={\tfrac {2}{3}}\Gamma M_{\Gamma }}}$.

Αποδείξεις

Απόδειξη  

Έστω τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και $\mathrm {BM} _{\mathrm {B} }$ , $\mathrm {\Gamma M} _{\Gamma }$ δύο διάμεσοι του τριγώνου. Ονομάζουμε $\mathrm {G} '$ το σημείο τομής τους. Θα αποδείξουμε ότι η προέκταση της $\mathrm {AG'}$ διέρχεται από το μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$.

Θεωρούμε το σημείο $\mathrm {A} '$ συμμετρικό του ${\rm {A}}$ ως προς το $\mathrm {G} '$ και $\mathrm {M} '$ το σημείο τομής του $\mathrm {B\Gamma }$ με το $\mathrm {A'G'}$.

Στο τρίγωνο ${\rm {AA'\Gamma }}$ το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {M_{B}G'}}$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του, συνεπώς είναι

${\rm {M_{B}G'//\Gamma A'}}$.

Ομοίως στο τρίγωνο ${\rm {AA'B}}$ το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {M_{\Gamma }G'}}$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του συνεπώς είναι

${\rm {M_{\Gamma }G'//\mathrm {B} A'}}$.

Επομένως, το τετράπλευρο ${\rm {BA'\Gamma G'}}$ έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα το σημείο ${\rm {M'}}$ είναι το μέσο του ${\rm {B\Gamma }}$ και συνεπώς η ${\rm {AM'}}$ είναι η διάμεσος της κορυφής ${\rm {A}}$.

Επίσης, το ${\rm {M'}}$ είναι το μέσο του ${\rm {G'A'}}$ και άρα ${\rm {AG'={\tfrac {2}{3}}AM'}}$. $\square$

Απόδειξη (με διανύσματα)  

Έστω τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και ${\rm {G}}$ το κέντρο βάρους του τριγώνου. Αν ${\rm {O}}$ ένα σημείο αναφοράς τότε ισχύει:

${\overrightarrow {\mathrm {OG} }}={\tfrac {1}{3}}\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }}).$

Θα δείξουμε ότι η προέκταση της ${\vec {\mathrm {AG} }}$ κατά ${\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {AG} }}$ είναι διάμεσος. Δηλαδή, θα δείξουμε ότι το διάνυσμα ${\vec {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {3}{2}}{\vec {\mathrm {AG} }}$ αντιστοιχεί στο μέσο της ${\rm {B\Gamma }}$,

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {3}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {AG} }}&={\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {3}{2}}\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {AO} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OG} }})\\&={\overrightarrow {\mathrm {OA} }}-{\tfrac {3}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {3}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}\\&=-{\tfrac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}\\&=-{\tfrac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }})\\&={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }}),\end{aligned}}$

που είναι το διάνυσμα του μέσου του $\mathrm {B\Gamma }$.$\quad \square$

Απόδειξη (με το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα)  

Από το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα προκύπτει ότι οι τρεις διάμεσοι ${\rm {AM_{A}}}$, ${\rm {BM_{B}}}$ και ${\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}$ συντρέχουν, καθώς

${\rm {{\frac {BM_{A}}{\Gamma M_{A}}}\cdot {\frac {\Gamma M_{B}}{AM_{B}}}\cdot {\frac {AM_{\Gamma }}{BM_{\Gamma }}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}\alpha }{{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\cdot {\frac {{\tfrac {1}{2}}\beta }{{\tfrac {1}{2}}\beta }}\cdot {\frac {{\tfrac {1}{2}}\gamma }{{\tfrac {1}{2}}\gamma }}=1\cdot 1\cdot 1=1}}$.

Ιδιότητες

Κάποιες από τις κυριότερες ιδιότητες του βαρύκεντρου είναι οι εξής:

• Το βαρύκεντρο χωρίζει τις διαμέσους σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με λόγο $2:1$, δηλαδή ${\rm {AG=2\cdot GM_{A}}}$.
• Οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου ${\rm {G}}$ δίνονται από τον μέσο όρο των συντεταγμένων των τριών κορυφών του τριγώνου:

$({\rm {G}}_{x},{\rm {G}}_{y})=\left({\tfrac {1}{3}}\cdot (\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}+\mathrm {\Gamma } _{x}),{\tfrac {1}{3}}\cdot (\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}+\mathrm {\Gamma } _{y})\right).$

• (Θεώρημα Πάππου) Έστω $\varepsilon$ μία ευθεία στο επίπεδο που δεν έχει κοινά σημεία με το $\mathrm {AB\Gamma }$. Τότε η απόσταση του βαρύκεντρου από την $\varepsilon$ είναι ο αριθμητικός μέσος των αποστάσεων των τριών κορυφών από την $\varepsilon$.
• (Ευθεία του Όιλερ) Έστω $\mathrm {O}$ το περίκεντρο, $\mathrm {H}$ το ορθόκεντρο του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$. Τότε τα $\mathrm {G} ,\mathrm {H} ,\mathrm {O}$ είναι συνευθειακά και $\mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {OG}$.
• (Σχέση του Λάιμπνιτς) Έστω $\mathrm {M}$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε,

$\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}).$

• Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι το βαρύκεντρο είναι το σημείο ${\rm {M}}$ του επιπέδου που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις τρεις κορυφές του, δηλαδή την τιμή της συνάρτησης:

$f({\rm {M}})=\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}$.

• Το συμπληρωματικό τρίγωνο ${\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}$ έχει τις ίδιες διαμέσους και το ίδιο βαρύκεντρο με το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$.
• Έστω ${\rm {G}}_{\alpha }$, ${\rm {G}}_{\beta }$, ${\rm {G}}_{\gamma }$ οι αποστάσεις του βαρυκέντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε.

${\rm {G}}_{\alpha }\cdot \alpha ={\rm {G}}_{\beta }\cdot \beta ={\rm {G}}_{\gamma }\cdot \gamma ={\frac {2}{3}}\mathrm {E} _{\rm {AB\Gamma }}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Η κατασκευή του βαρυκέντρου ενός τριγώνου βασικά ακολουθεί την κατασκευή των δύο διαμέσων ${\rm {BM_{B}}}$ και ${\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}$, η τομή των οποίων είναι το βαρύκεντρο. Αναλυτικότερα:

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$ και $\mathrm {\Gamma }$ και ακτίνα το μέγιστο από τα $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {A\Gamma }$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ των κύκλων με κέντρο το $\mathrm {A}$ και το $\mathrm {B}$.
3. Βρίσκουμε τα σημεία τομής $\mathrm {T} _{3}$ και $\mathrm {T} _{4}$ των κύκλων με κέντρο το $\mathrm {A}$ και το $\mathrm {\Gamma }$.
4. Χαράζουμε τις ευθείες που διέρχονται από τα $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$, και τα $\mathrm {T} _{3}$ και $\mathrm {T} _{4}$ αντίστοιχα.
5. Το σημείο τομής των ${\rm {T_{3}T_{4}}}$ και ${\rm {AB}}$ είναι το μέσο ${\rm {M_{B}}}$ της ${\rm {A\Gamma }}$. Αντίστοιχα, το σημείο τομής των ${\rm {T_{1}T_{2}}}$ και ${\rm {A\Gamma }}$ είναι το μέσο ${\rm {M_{\Gamma }}}$ της ${\rm {AB}}$.
6. Το σημείο τομής των ${\rm {BM_{B}}}$ και ${\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}$ είναι το βαρύκεντρο ${\rm {G}}$ του τριγώνου.

Κατασκευή του βαρύκεντρου του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ με κανόνα και διαβήτη.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Περίκεντρο τριγώνου
• Έγκεντρο τριγώνου