Ευθεία του Όιλερ

Στην γεωμετρία, σε κάθε τρίγωνο που δεν είναι ισόπλευρο, η ευθεία του Όιλερ (αναφέρεται και ως ευθεία του Euler) είναι η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$, το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$ και το περίκεντρο $\mathrm {O}$. Επίσης, ισχύει ότι $\mathrm {GH} =2\mathrm {GO}$.

Το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$, το βαρύκεντρο ${\rm {G}}$ και το περίκεντρο ${\rm {O}}$ είναι συνευθειακά (πάνω στην ευθεία Όιλερ).

Η ευθεία αυτή περιέχει αρκετά σημεία ακόμα, όπως το κέντρο του κύκλου του Όιλερ, το σημείο Schiffler, το σημείο Exeter και το σημείο de Longchamp. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο όλα αυτά τα σημεία συμπίπτουν.

Σχήμα απόδειξης.

Απόδειξη

Θεωρούμε το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$ και το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$ του τριγώνου, και το σημείο $\mathrm {O} '$ στην ${\rm {HG}}$ ώστε ${\rm {HG=2GO}}$. Επίσης θεωρούμε ${\rm {\Delta }}$ και ${\rm {E}}$ τα μέσα των ${\rm {GH}}$ και ${\rm {AG}}$ αντίστοιχα.

Από την ιδιότητα του βαρυκέντρου να τριχοτομεί τη διάμεσο έχουμε ότι ${\rm {AE=EG=GM_{A}}}$. Επομένως, από το αντίστροφο του θεωρήματος τομής του Θαλή έχουμε ότι η ${\rm {O'M_{A}}}$ είναι παράλληλη στην ${\rm {AH_{A}}}$ και άρα ${\rm {O'M_{A}\perp B\Gamma }}$. Άρα η ${\rm {O'M_{A}}}$ είναι η μεσοκάθετος του ${\rm {B\Gamma }}$.

Αντίστοιχα, η ${\rm {O'M_{B}}}$ είναι η μεσοκάθετος του ${\rm {A\Gamma }}$ και άρα ${\rm {O'}}$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου.

Δείτε επίσης

• Περιγεγραμμένος κύκλος
• Βαρύκεντρο τριγώνου
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Κύκλος του Όιλερ