Ισόπλευρο τρίγωνο

Στη γεωμετρία, ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Στην ευκλείδεια γεωμετρία, ένα ισόπλευρο τρίγωνο εκτός από όλες τις πλευρές του, έχει και όλες τις γωνίες του ίσες, με μέτρο 60° η καθεμιά. Αποτελεί ένα από τα κανονικά πολύγωνα και για αυτό αναφέρεται και ως κανονικό τρίγωνο.

Ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$.

Ιδιότητες

• Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους με μέτρο 60°.
• Το έγκεντρο, το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και το βαρύκεντρο ταυτίζονται.
• Η ευθεία του Euler είναι ένα σημείο.

Μετρικές σχέσεις

Έστω $\alpha$ το μήκος της πλευράς του ισόπλευρου:

• Το ύψος του έχει μήκος:

$u={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{2}}$.

• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με:

$R={\frac {2}{3}}\cdot u={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{3}}$.

• Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με:

$\rho ={\frac {1}{3}}\cdot u={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{6}}$.

• Οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων είναι ίσες με:

$\rho _{\mathrm {A} }=\rho _{\mathrm {B} }=\rho _{\mathrm {\Gamma } }={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{2}}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου δίνεται από τον τύπο:

$\mathrm {E} ={\frac {a^{2}\cdot {\sqrt {3}}}{4}}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

1. Χαράζουμε μία ευθεία $\epsilon$ στο επίπεδο.
2. Διαγράφουμε έναν κύκλο $C_{1}$ με κέντρο πάνω στην ευθεία.
3. Έστω $\mathrm {T} _{1}$ ένα από τα δύο σημεία τομής του $C_{1}$ και της $\epsilon$.
4. Διαγράφουμε έναν δεύτερο κύκλο $C_{2}$ με την ίδια ακτίνα και κέντρο το $\mathrm {T} _{1}$.
5. Έστω $\mathrm {T} _{2}$ και $\mathrm {T} _{3}$ τα σημεία τομής αυτών των κύκλων.
6. Το τρίγωνο $\mathrm {T_{1}T_{2}T_{3}}$ είναι ισόπλευρο.

Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου.

Σχετικά θεωρήματα

Το θεώρημα του Morley λέει ότι το μοβ τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Θεώρημα τριχοτόμων του Μόρλεϊ

Το θεώρημα τριχοτόμων του Μόρλεϊ δηλώνει ότι σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ τα σημεία τομής των τριχοτόμων των γωνιών του τριγώνου δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Για $\mathrm {P}$ σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του $\mathrm {AB\Gamma }$, $\mathrm {PA} =\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma }$.

Θεώρημα van Schooten

Το θεώρημα van Schooten λέει ότι για οποιοδήποτε σημείο $\mathrm {P}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$, ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων από τις άλλες δύο.

Σύμφωνα με το Θεώρημα Βιβιάνι, $d_{1}+d_{2}+d_{3}=u$.

Θεώρημα Βιβιάνι

Το θεώρημα Βιβιάνι λέει ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και για $\mathrm {P}$ ένα τυχόν εσωτερικό του σημείο, ισχύει ότι

$d_{1}+d_{2}+d_{3}=u$,

όπου $d_{1},d_{2},d_{3}$ οι αποστάσεις του $\mathrm {P}$ από τις πλευρές του τριγώνου και $u$ το ύψος του τριγώνου.

Θεώρημα Ναπολέοντα

Θεώρημα του Ναπολέοντα

Το θεώρημα Ναπολέοντα δηλώνει ότι σε κάθε τρίγωνο τα κέντρα των (εξωτερικών ή εσωτερικών) ισοπλεύρων τριγώνων στις πλευρές του τριγώνου δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Σχετικά προβλήματα

Τρίγωνο με μέγιστο εμβαδό

Για μία δοσμένη περίμετρο, το τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδό είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. Αυτό είναι μία μορφή της ισοπεριμετρικής ανισότητας.

Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο

Ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνο.

Υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνα. Δύο αξιοσημείωτα δίνονται στο πλαϊνό σχήμα. Το ισόπλευρο σε γωνία $15^{o}$ είναι αυτό που μεγιστοποιεί το εμβαδόν του τριγώνου για δοσμένο τετράγωνο.

Το μικρότερο ισόπλευρο τρίγωνο με τέσσερις κύκλους έχει πλευρά $4{\sqrt {3}}$.

Πακετάρισμα κύκλων

Ένα πρόβλημα που έχει μελετηθεί στη βιβλιογραφία είναι η εύρεση του μικρότερου ισόπλευρου τριγώνου που να χωράει έναν δοσμένο αριθμό από μοναδιαίους κύκλους.

Πλακόστρωση με ισόπλευρα τρίγωνα.

Πλακόστρωση

Τα ισόπλευρα τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο.

Σχετικά σχήματα

Τρίγωνο με γωνίες 90-60-30

Τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°. Το $\mathrm {M}$ είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:

• Η κάθετη πλευρά που αντιστοιχεί στην γωνία 60° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
• Το τρίγωνο $\mathrm {AMB}$ είναι ισόπλευρο.
• Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα $1$, ${\sqrt {3}}$ και $2$.

Το εξάγωνο χωρισμένο σε έξι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Κανονικό εξάγωνο

Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε έξι ισόπλευρα τρίγωνα.

Κανονικό τετράεδρο

Κάθε έδρα στο κανονικό τετράεδρο είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείτε επίσης

• Ισοσκελές τρίγωνο
• Κανονικό πολύγωνο