Ισόπλευρο τρίγωνο

γεωμετρικό τρίγωνο με όλες τις πλευρές ίσες

Στη γεωμετρία, ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Στην ευκλείδεια γεωμετρία, ένα ισόπλευρο τρίγωνο εκτός από όλες τις πλευρές του, έχει και όλες τις γωνίες του ίσες, με μέτρο 60° η καθεμιά.[1]:37[2]:57[3]:54 Είναι ένα από τα κανονικά πολύγωνα και για αυτό αναφέρεται και ως κανονικό τρίγωνο.

Ισόπλευρο τρίγωνο .

Ιδιότητες

Επεξεργασία

Μετρικές σχέσεις

Επεξεργασία

Έστω   το μήκος της πλευράς του ισόπλευρου:

  • Το ύψος του έχει μήκος:
 .
 .
 .
 .

Το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου δίνεται από τον τύπο:

 .

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Επεξεργασία
 
Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε δοσμένο κύκλο.
  1. Χαράζουμε μία ευθεία   στο επίπεδο.
  2. Χαράζουμε έναν κύκλο   με κέντρο πάνω στην ευθεία  .
  3. Από ένα από τα δύο σημεία τομής του   και της  , χαράζουμε έναν δεύτερο κύκλο   με την ίδια ακτίνα.
  4. Έστω   και   τα σημεία τομής των κύκλων   και  .
  5. Έστω   το άλλο σημείο τομής του κύκλου   και της ευθείας  
  6. Το τρίγωνο   είναι ισόπλευρο.

Σχετικά θεωρήματα

Επεξεργασία
 
Το θεώρημα Μόρλεϊ λέει ότι το σκιασμένο τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
  • (Θεώρημα van Schooten)
    Έστω   σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου  .Τότε ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων από τις άλλες δύο.
 
Το θεώρημα van Schooten, λέει ότι  .
  • (Θεώρημα Βιβιάνι)
    Έστω   ένα εσωτερικό σημείο ενός ισοπλεύρου τριγώνου   τότε
 ,
όπου   οι αποστάσεις του   από τις πλευρές του τριγώνου και   το ύψος του τριγώνου.
 
Το θεώρημα Βιβιάνι λέει ότι  .
  • (Θεώρημα Ναπολέοντα)
    Σε κάθε τρίγωνο   τα κέντρα των (εξωτερικών ή εσωτερικών) ισοπλεύρων τριγώνων στις πλευρές του δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.
 
Το θεώρημα Ναπολέοντα λέει ότι το   είναι ισόπλευρο.

Σχετικά προβλήματα

Επεξεργασία

Τρίγωνο με μέγιστο εμβαδό

Επεξεργασία

Από όλα τα τρίγωνα με την ίδια περίμετρο, το ισόπλευρο τρίγωνο έχει το μέγιστο εμβαδό. Αυτό είναι μία μορφή της ισοπεριμετρικής ανισότητας.

Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο

Επεξεργασία

Υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνα. Δύο αξιοσημείωτα δίνονται στο παρακάτω σχήμα. Το ισόπλευρο σε γωνία   είναι αυτό που μεγιστοποιεί το εμβαδόν του τριγώνου για δοσμένο τετράγωνο.[4][5]

Ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνο.


Πακετάρισμα κύκλων

Επεξεργασία

Ένα πρόβλημα που έχει μελετηθεί στη βιβλιογραφία είναι η εύρεση του μικρότερου ισόπλευρου τριγώνου που να χωράει έναν δοσμένο αριθμό από μοναδιαίους κύκλους.[6][7]

 
Το μικρότερο ισόπλευρο τρίγωνο με τέσσερις κύκλους έχει πλευρά  .

Πλακόστρωση

Επεξεργασία

Τα ισόπλευρα τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο.

 
Πλακόστρωση με ισόπλευρα τρίγωνα.

Σχετικά σχήματα

Επεξεργασία

Τρίγωνο με γωνίες 90°-60°-30°

Επεξεργασία

Το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:

  • Η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
  • Το τρίγωνο   είναι ισόπλευρο.
  • Τα μήκη των πλευρών έχουν αναλογία  .
 
Τρίγωνο με γωνίες 90°,60°,30°. Το   είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Κανονικό εξάγωνο

Επεξεργασία

Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε έξι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

 
Το εξάγωνο χωρισμένο σε έξι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Κανονικό τετράεδρο

Επεξεργασία

Κάθε έδρα στο κανονικό τετράεδρο είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. 1,0 1,1 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  3. Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. 1973: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων. 
  4. Bogomolny, Alexander. «Fold Square into Equilateral Triangle». Cut-the-Knot. Ανακτήθηκε στις 2 Σεπτεμβρίου 2023. 
  5. Καρδαμίτσης, Σπύρος; Σωτηρόπουλος, Νίκος (Οκτώβριος 2013). «Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων». Ευκλείδης Β΄ (90): 71-74. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T90.pdf. 
  6. Melissen, Hans (1993), «Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle», The American Mathematical Monthly 100 (10): 916–925, doi:10.2307/2324212 
  7. Melissen, J. B. M.; Schuur, P. C. (1995), «Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle», Discrete Mathematics 145 (1–3): 333–342, doi:10.1016/0012-365X(95)90139-C, https://research.utwente.nl/en/publications/packing-16-17-of-18-circles-in-an-equilateral-triangle(b2172f19-9654-4ff1-9af4-59da1b6bef3d).html