Κανονικό πολύγωνο

Κυρτά κανονικά πολύγωνα
Κανονικά πολύγωνα
Πλευρές και κορυφές	n
Schläfli	{n}
Coxeter-Dynkin
Συμμετρία	Dn, τάξης 2n
Διπλό πολύγωνο	το ίδιο
Εμβαδόν (με μήκος πλευράς s)	$A={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}$
Εσωτερική γωνία	$(n-2)\times {\frac {180^{\circ }}{n}}$
Άθροισμα εσωτερικών γωνιών	$\left(n-2\right)\times 180^{\circ }$
Ιδιότητες	κυρτό, κυκλικό, ισόπλευρο, ισογώνιο, ισότοξο

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, το κανονικό πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο το οποίο είναι ισογώνιο (όλες οι γωνίες του είναι ιδίων μοιρών) και ισόπλευρο (όλες οι πλευρές του είναι ιδίου μήκους). Τα κανονικά πολύγωνα μπορούν να είναι κυρτά ή αστεροειδή. Μια σειρά από κανονικά πολύγωνα με αυξανόμενο αριθμό πλευρών γίνονται οριακά είτε ένας κύκλος, εάν είναι σταθερή η περίμετρος, είτε ένα κανονικό απειρόγωνο, εάν είναι σταθερό το μήκος των πλευρών.

Γενικές ιδιότητες

Οι γενικές ιδιότητες αναφέρονται σε όλα τα κυρτά και τα αστεροειδή κανονικά πολύγωνα.

Κυρτά και αστεροειδή κανονικά πολύγωνα με 3 έως 12 κορυφές, όπως δίνονται με σύμβολα Schläfli

Ένα κανονικό πολύγωνο ν πλευρών έχει μια περιστροφική συμμετρία τάξης ν.

Όλες οι κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου βρίσκονται σε έναν κοινό κύκλο, δηλαδή έναν κύκλο που ονομάζεται περιγεγραμμένος και σχηματίζεται από τις κορυφές του πολυγώνου οι οποίες παρατίθενται κυκλικά. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κανονικό πολύγωνο είναι και κυκλικό πολύγωνο.

Η παραπάνω ιδιότητα σε σχέση με την ιδιότητα των πλευρών ίσου μήκους, σημαίνει ότι κάθε κανονικό πολύγωνο έχει επίσης έναν κύκλο, που είναι ομόκεντρος με τον περιγεγραμμένο κύκλο και ονομάζεται εγγεγραμμένος, ο οποίος εφάπτεται στην κάθε πλευρά του πολυγώνου. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κανονικό πολύγωνο είναι και εφαπτόμενο πολύγωνο.

Ένα κανονικό πολύγωνο ν πλευρών μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη αν και μόνο αν οι περιττοί πρώτοι παράγοντες του ν είναι διακριτοί πρώτοι αριθμοί Φερμά (βλ. κατασκευάσιμο πολύγωνο).

Συμμετρία

Η ομάδα συμμετρίας ενός κανονικού πολυγώνου ν πλευρών είναι διεδρική D_ν (τάξης 2ν): D₂, D₃, D₄, ... Αποτελείται από C_ν περιστροφές, ταυτόχρονα με ανακλαστική συμμετρία σε ν άξονες που διέρχονται από το κέντρο. Αν ο ν είναι άρτιος, τότε οι μισοί από αυτούς τους άξονες διέρχονται από δύο αντίθετες κορυφές, και οι άλλοι μισοί από το μέσο των αντίθετων πλευρών. Αν ο ν είναι περιττός, τότε όλοι οι αξόνες διέρχονται από μια κορυφή και το μέσο της αντίθετης πλευράς.

Διττότητα των κανονικών πολυγώνων

Όλα τα κανονικά πολύγωνα είναι αυτομάτως διπλά σε συνάφεια, και για περιττό ν είναι αυτομάτως διπλά σε ταυτότητα.

Επιπλέον, κάθε κανονικό αστεροειδές σχήμα (ένωση), αποτελείται από κανονικά πολύγωνα και είναι επίσης αυτομάτως διπλό.

Κανονικά πολύγωνα ως έδρες πολυέδρων

Ένα ομοιόμορφο πολύεδρο έχει ως έδρες κανονικά πολύγωνα, έτσι ώστε για κάθε δύο κορυφές να υπάρχει μια ισομετρία χαρτογραφώντας το ένα μέσα στο άλλο (ομοίως με τα κανονικά πολύγωνα).

Ένα Σχεδόν κανονικό πολύεδρο είναι ένα ομοιόμορφο πολύεδρο που έχει μόνο δύο είδη εδρών που εναλλάσσονται γύρω από κάθε κορυφή του.

Ένα κανονικό πολύεδρο είναι ένα ομοιόμορφο πολύεδρο που έχει μόνο ένα είδος έδρας.

Τα υπόλοιπα (ανομοιόμορφα) κυρτά πολύεδρα με κανονικές έδρες είναι γνωστά ως στερεά του Τζόνσον.

Ένα πολύεδρο που έχει κανονικά τρίγωνα ως έδρες ονομάζεται δελτάεδρο.

Παραπομπές

Βιβλιογραφία

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1948). Regular Polytopes. Methuen and Co. 
• Grünbaum, Branko (2003). Aronov· και άλλοι., επιμ. Are your polyhedra the same as my polyhedra?: Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift. Springer. σελίδες 461–488. 
• Poinsot, Louis (1810). Memoire sur les polygones et polyèdres: J. de l'École Polytechnique. 9. σελίδες 16–48. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Regular polygon" από το MathWorld.
• Regular Polygon description (με διαδραστική animation)
• Incircle of a Regular Polygon (με διαδραστική animation)
• Area of a Regular Polygon (τρεις διαφορετικές φόρμες, με διαδραστική animation)
• Renaissance artists' constructions of regular polygons at Convergence