Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

κύκλοι που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου

Στη γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο.[1]:80-89[2]:143-145[3]:35-36[4]:12-13

Ο εγγεγραμμένος κύκλος και οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου .

Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους , και που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής της διχοτόμου του και των εξωτερικών διχοτόμων των και , και ονομάζεται παράκεντρο.

Εγγεγραμμένος κύκλος Επεξεργασία

Θεώρημα — Οι εσωτερικές διχοτόμοι   ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο, το οποίο είναι το κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου.

Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Αποδείξεις Επεξεργασία


Ιδιότητες Επεξεργασία

  • Το έγκεντρο   είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
  • Η γωνία των διχοτόμων των   και   είναι ίση με  .[1]: 85 
  • Αν   οι προβολές του   στις πλευρές του τριγώνου, τότε
  και  .
  • Το τρίγωνο   ονομάζεται το τρίγωνο Gergonne.
  • (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα   διέρχονται από το ίδιο σημείο.[3]: 36 
  • Οι ευθείες   είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του  .
  • Το εμβαδόν του τριγώνου   δίνεται από τον τύπο [5]:126
 ,
όπου   είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
 .
 ,
και από
 .
 .
  • (Θεώρημα Καρνό) Αν   είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου   και   η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε
 .
  • Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι  .
  • Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι  .
  • Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι
 .

Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι Επεξεργασία

Κάθε τρίγωνο   έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους  ,   και  . Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος   έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας   και της   και της εσωτερικής διχοτόμου της  . Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος   με τις πλευρές   συμβολίζονται με   αντίστοιχα.

 
Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου  .

Απόδειξη Επεξεργασία

Έστω   το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων των   και  . Τότε, από την ιδιότητα της διχοτόμου, όλα τα σημεία ισαπέχουν από τις πλευρές της, άρα   και  . Επομένως,   και έτσι το   είναι σημείο της διχοτόμου του  .

Ιδιότητες Επεξεργασία

  • Τα παράκεντρα   είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
  • Τα σημεία   είναι συνευθειακά, καθώς και τα   και  .
  • Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των   και   είναι ίση με  .[1]: 85 
  • Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της   και της εξωτερικής διχοτόμου της   είναι  .[1]: 85 
  • (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα   διέρχονται από το ίδιο σημείο.[3]: 36 
  • Ισχύει ότι  ,   και  , όπου   η ημιπερίμετρος.[1]: 86-87 
 .
  και  .
  • Το εμβαδόν του τριγώνου   δίνεται από τους τύπους:[3]: 45 
 
και
 .
  • Από τον τύπο του Ήρωνα, η ακτίνα του παρεγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο[6]: 139 [5]: 127 
    και  .
  • Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις[7]:264[3]: 46-47 [5]: 127 
 ,   και  ,
και επίσης
 ,   και  .
  • (Σημείο Νάγκελ) Αν   τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα   με τις πλευρές   του τριγώνου, τότε τα   συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ.
  • Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου   είναι ύψη του τριγώνου  .
  • Αν   η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι  .[1]: 87 
  • Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι  ,   και   αντίστοιχα.

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Παραπομπές Επεξεργασία

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. 
  4. Στεργίου, Χαράλαμπος (2011). Γεωμετρία για διαγωνισμούς: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 9789604930357. 
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας. Αθήνα: Εκδοτικός οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα Ο.Ε. 
  6. 6,0 6,1 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  7. 7,0 7,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.