Στη γεωμετρία , σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος
(
I
,
ρ
)
{\displaystyle (\mathrm {I} ,\rho )}
είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου .[ 1] :80-89 [ 2] :143-145 [ 3] :35-36 [ 4] :12-13
Ο εγγεγραμμένος κύκλος και οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
.
Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους
(
J
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle (\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })}
,
(
J
B
,
ρ
B
)
{\displaystyle (\mathrm {J_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} })}
και
(
J
Γ
,
ρ
Γ
)
{\displaystyle (\mathrm {J_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })}
που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του
(
J
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle (\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })}
είναι το σημείο τομής της διχοτόμου του
A
^
{\displaystyle {\hat {\rm {A}}}}
και των εξωτερικών διχοτόμων των
B
^
{\displaystyle {\hat {\rm {B}}}}
και
Γ
^
{\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}}
, και ονομάζεται παράκεντρο του τριγώνου .
Θεώρημα — Οι εσωτερικές διχοτόμοι
A
Δ
A
,
B
Δ
B
,
Γ
Δ
Γ
{\displaystyle {\rm {A\Delta _{A},B\Delta _{B},\Gamma \Delta _{\Gamma }}}}
ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο, το οποίο είναι το κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου.
Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.
Το έγκεντρο
I
{\displaystyle {\rm {I}}}
είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
Η γωνία των διχοτόμων των
B
^
{\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}
και
Γ
^
{\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}
είναι ίση με
90
o
+
A
^
2
{\displaystyle 90^{o}+{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}}
.[ 1] : 85
Αν
I
A
,
I
B
,
I
Γ
{\displaystyle {\rm {I_{A},I_{B},I_{\Gamma }}}}
οι προβολές του
I
{\displaystyle {\rm {I}}}
στις πλευρές του τριγώνου, τότε
B
I
A
=
B
I
Γ
=
τ
−
β
,
A
I
B
=
A
I
Γ
=
τ
−
α
,
{\displaystyle {\rm {BI_{A}=BI_{\Gamma }=\tau -\beta ,\quad AI_{B}=AI_{\Gamma }=\tau -\alpha ,\quad }}}
και
Γ
I
A
=
Γ
I
B
=
τ
−
γ
{\displaystyle \quad {\rm {\Gamma I_{A}=\Gamma I_{B}=\tau -\gamma }}}
.
Το τρίγωνο
I
A
I
B
I
Γ
{\displaystyle {\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}}
ονομάζεται το τρίγωνο Gergonne .
(Σημείο Gergonne ) Τα ευθύγραμμα τμήματα
A
I
A
,
B
I
B
,
Γ
I
Γ
{\displaystyle {\rm {AI_{A},BI_{B},\Gamma I_{\Gamma }}}}
διέρχονται από το ίδιο σημείο.[ 3] : 36
Οι ευθείες
I
A
,
I
B
,
I
Γ
{\displaystyle {\rm {IA,IB,I\Gamma }}}
είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του
I
A
I
B
I
Γ
{\displaystyle {\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}}
.
Το εμβαδόν του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
δίνεται από τον τύπο [ 5] :126
E
=
τ
⋅
ρ
{\displaystyle \mathrm {E} =\tau \cdot \rho }
,
όπου
τ
=
1
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}
είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
ρ
=
(
τ
−
α
)
⋅
(
τ
−
β
)
⋅
(
τ
−
γ
)
τ
{\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau }}}}
.
Απόδειξη
Σχήμα απόδειξης
Το εμβαδόν του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
δίνεται από τύπο
E
A
B
Γ
=
E
A
B
I
+
E
B
Γ
I
+
E
Γ
A
I
{\displaystyle {\rm {E_{AB\Gamma }=E_{ABI}+E_{B\Gamma I}+E_{\Gamma AI}}}}
.
Από τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε ότι
E
A
B
I
=
1
2
⋅
γ
⋅
ρ
,
E
B
Γ
I
=
1
2
⋅
α
⋅
ρ
,
{\displaystyle {\rm {E_{ABI}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \rho ,\quad {\rm {E_{B\Gamma I}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho ,\quad }
και
E
Γ
A
I
=
1
2
⋅
α
⋅
ρ
{\displaystyle \quad {\rm {E_{\Gamma AI}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho }
.
Επομένως,
E
A
B
Γ
=
1
2
⋅
α
⋅
ρ
+
1
2
⋅
β
⋅
ρ
+
1
2
⋅
γ
⋅
ρ
=
1
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
⋅
ρ
=
τ
⋅
ρ
{\displaystyle {\rm {E_{AB\Gamma }={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho +{\tfrac {1}{2}}\cdot \beta \cdot \rho +{\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \rho ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )\cdot \rho =\tau \cdot \rho }}}
.
Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ο πρώτος τύπος για το εμβαδόν.
ρ
=
α
⋅
sin
B
2
⋅
sin
Γ
2
cos
A
2
=
β
⋅
sin
Γ
2
⋅
sin
A
2
cos
B
2
=
γ
⋅
sin
A
2
⋅
sin
B
2
cos
Γ
2
{\displaystyle \rho =\alpha \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \sin {\frac {\Gamma }{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}\cdot \sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}}
,
και από
ρ
=
(
τ
−
α
)
⋅
tan
A
2
=
(
τ
−
β
)
⋅
tan
B
2
=
(
τ
−
γ
)
⋅
tan
Γ
2
{\displaystyle \rho =(\tau -\alpha )\cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}=(\tau -\beta )\cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}=(\tau -\gamma )\cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}
.
O
I
2
=
R
2
−
2
R
ρ
{\displaystyle \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho }
.
(Θεώρημα Καρνό ) Αν
O
M
A
,
O
M
B
,
O
M
Γ
{\displaystyle {\rm {OM_{A},OM_{B},OM_{\Gamma }}}}
είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
και
R
{\displaystyle R}
η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε
O
M
A
+
O
M
B
+
O
M
Γ
=
R
+
ρ
{\displaystyle {\rm {OM_{A}+OM_{B}+OM_{\Gamma }}}=R+\rho }
.
Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι
1
:
1
:
1
{\displaystyle 1:1:1}
.
Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι
α
:
β
:
γ
{\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }
.
Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι
(
α
⋅
x
A
+
β
⋅
x
B
+
γ
⋅
x
Γ
α
+
β
+
γ
,
α
⋅
y
A
+
β
⋅
y
B
+
γ
⋅
y
Γ
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \left({\frac {\alpha \cdot x_{\rm {A}}+\beta \cdot x_{\rm {B}}+\gamma \cdot x_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }},{\frac {\alpha \cdot y_{\rm {A}}+\beta \cdot y_{\rm {B}}+\gamma \cdot y_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }}\right)}
.
Κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους
(
J
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})}
,
(
J
B
,
ρ
B
)
{\displaystyle ({\rm {J_{B}}},\rho _{\rm {B}})}
και
(
J
Γ
,
ρ
Γ
)
{\displaystyle ({\rm {J_{\Gamma }}},\rho _{\rm {\Gamma }})}
. Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος
(
J
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})}
έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας
B
^
{\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}
και της
Γ
^
{\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}
και της εσωτερικής διχοτόμου της
A
^
{\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}
. Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος
(
J
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})}
με τις πλευρές
B
Γ
,
A
B
,
A
Γ
{\displaystyle {\rm {B\Gamma ,AB,A\Gamma }}}
συμβολίζονται με
I
A
′
,
I
A
″
,
I
A
‴
{\displaystyle {\rm {I_{A}',I_{A}'',I_{A}'''}}}
αντίστοιχα.
Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
.
Έστω
J
Γ
′
{\displaystyle {\rm {J_{\Gamma }'}}}
το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων των
A
^
{\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}
και
B
^
{\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}
. Τότε, από την ιδιότητα της διχοτόμου, όλα τα σημεία ισαπέχουν από τις πλευρές της, άρα
J
A
I
A
″
=
J
A
I
A
′
{\displaystyle {\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'}}}
και
J
A
I
A
‴
=
J
A
I
A
′
{\displaystyle {\rm {J_{A}I_{A}'''=J_{A}I_{A}'}}}
. Επομένως,
J
A
I
A
″
=
J
A
I
A
‴
{\displaystyle {\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'''}}}
και έτσι το
I
A
′
{\displaystyle {\rm {I_{A}'}}}
είναι σημείο της διχοτόμου του
A
^
{\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}
.
Τα παράκεντρα
J
A
,
J
B
,
J
Γ
{\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}}
είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
Τα σημεία
A
,
J
B
,
J
Γ
{\displaystyle {\rm {A,J_{B},J_{\Gamma }}}}
είναι συνευθειακά, καθώς και τα
J
A
,
B
,
J
Γ
{\displaystyle {\rm {J_{A},B,J_{\Gamma }}}}
και
J
A
,
J
B
,
Γ
{\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},\Gamma }}}
.
Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των
B
^
{\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}
και
Γ
^
{\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}
είναι ίση με
90
o
−
A
^
2
{\displaystyle 90^{o}-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}}
.[ 1] : 85
Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της
B
^
{\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}
και της εξωτερικής διχοτόμου της
Γ
^
{\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}
είναι
A
^
2
{\displaystyle {\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}}
.[ 1] : 85
Απόδειξη
Από το τρίγωνο
B
J
A
J
B
{\displaystyle {\rm {BJ_{A}J_{B}}}}
έχουμε ότι
∠
B
J
A
J
B
=
180
o
−
(
B
^
2
+
180
o
−
B
^
2
)
−
(
90
o
−
A
^
2
)
=
A
^
2
{\displaystyle {\rm {\angle BJ_{A}J_{B}=180^{o}-({\tfrac {\hat {B}}{2}}+{\tfrac {180^{o}-{\hat {B}}}{2}})-(90^{o}-{\tfrac {\hat {A}}{2}})={\tfrac {\hat {A}}{2}}}}}
.
(Σημείο Gergonne ) Τα ευθύγραμμα τμήματα
A
I
A
′
,
B
I
B
′
,
Γ
I
Γ
′
{\displaystyle {\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}}
διέρχονται από το ίδιο σημείο.[ 3] : 36
Ισχύει ότι
A
I
B
′
=
A
I
B
″
=
B
I
A
′
=
B
I
A
″
=
τ
−
γ
{\displaystyle {\rm {AI_{B}'=AI_{B}''=BI_{A}'=BI_{A}''=\tau -\gamma }}}
,
A
I
Γ
′
=
A
I
Γ
″
=
Γ
I
A
′
=
Γ
I
A
″
=
τ
−
β
{\displaystyle {\rm {AI_{\Gamma }'=AI_{\Gamma }''=\Gamma I_{A}'=\Gamma I_{A}''=\tau -\beta }}}
και
B
I
Γ
′
=
B
I
Γ
″
=
Γ
I
B
′
=
Γ
I
B
″
=
τ
−
γ
{\displaystyle {\rm {BI_{\Gamma }'=BI_{\Gamma }''=\Gamma I_{B}'=\Gamma I_{B}''=\tau -\gamma }}}
, όπου
τ
=
1
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}
η ημιπερίμετρος .[ 1] : 86-87
Αν
A
′
{\displaystyle {\rm {A'}}}
το σημείο τομής της προέκτασης της
A
I
{\displaystyle {\rm {AI}}}
με τον περιγεγραμμένο κύκλο , τότε[ 1] : 85
A
′
B
=
A
′
I
=
A
′
Γ
=
A
′
I
A
{\displaystyle {\rm {A'B=A'I=A'\Gamma =A'I_{A}}}}
.
O
J
A
2
=
R
2
+
2
R
ρ
A
,
O
J
B
2
=
R
2
+
2
R
ρ
B
{\displaystyle \mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad \mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} }\quad }
και
O
J
Γ
2
=
R
2
+
2
R
ρ
Γ
{\displaystyle \quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }}
.
Το εμβαδόν του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
δίνεται από τους τύπους:[ 3] : 45
E
=
(
τ
−
α
)
⋅
ρ
A
=
(
τ
−
β
)
⋅
ρ
B
=
(
τ
−
γ
)
⋅
ρ
Γ
,
{\displaystyle {\rm {E=(\tau -\alpha )\cdot \rho _{\rm {A}}=(\tau -\beta )\cdot \rho _{\rm {B}}=(\tau -\gamma )\cdot \rho _{\rm {\Gamma }},}}}
και
E
=
ρ
⋅
ρ
A
⋅
ρ
B
⋅
ρ
Γ
{\displaystyle {\rm {E={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}}}}
.
ρ
A
=
E
τ
−
α
=
τ
⋅
(
τ
−
β
)
⋅
(
τ
−
γ
)
τ
−
α
,
{\displaystyle \rho _{\mathrm {A} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\alpha }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau -\alpha }}},}
ρ
B
=
E
τ
−
β
=
τ
⋅
(
τ
−
γ
)
⋅
(
τ
−
α
)
τ
−
β
{\displaystyle \quad \rho _{\mathrm {B} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\beta }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\alpha )}{\tau -\beta }}}\quad }
και
ρ
Γ
=
E
τ
−
γ
=
τ
⋅
(
τ
−
α
)
⋅
(
τ
−
β
)
τ
−
γ
{\displaystyle \rho _{\mathrm {\Gamma } }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\gamma }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}{\tau -\gamma }}}}
.
Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις[ 7] :264 [ 3] : 46-47 [ 5] : 127
ρ
A
=
α
⋅
cos
B
2
⋅
cos
Γ
2
cos
A
2
{\displaystyle \rho _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}}
,
ρ
B
=
β
⋅
cos
Γ
2
⋅
cos
A
2
cos
B
2
{\displaystyle \quad \rho _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\cos {\frac {\Gamma }{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}\quad }
και
ρ
Γ
=
γ
⋅
cos
A
2
⋅
cos
B
2
cos
Γ
2
{\displaystyle \quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}}
,
και επίσης
ρ
A
=
τ
⋅
tan
A
2
{\displaystyle \rho _{\rm {A}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}}
,
ρ
B
=
τ
⋅
tan
B
2
{\displaystyle \quad \rho _{\rm {B}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}\quad }
και
ρ
Γ
=
τ
⋅
tan
Γ
2
{\displaystyle \quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}
.
(Σημείο Νάγκελ ) Αν
I
A
′
,
I
B
′
,
I
Γ
′
{\displaystyle {\rm {I_{A}',I_{B}',I_{\Gamma }'}}}
τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα
J
A
,
J
B
,
J
Γ
{\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}}
με τις πλευρές
A
Γ
,
B
Γ
,
A
B
{\displaystyle {\rm {A\Gamma ,B\Gamma ,AB}}}
του τριγώνου, τότε τα
A
I
A
′
,
B
I
B
′
,
Γ
I
Γ
′
{\displaystyle {\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}}
συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ.
Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
είναι ύψη του τριγώνου
J
A
J
B
J
Γ
{\displaystyle {\rm {J_{A}J_{B}J_{\Gamma }}}}
.
Αν
R
{\displaystyle R}
η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι
ρ
A
+
ρ
B
+
ρ
Γ
=
ρ
+
4
R
{\displaystyle \rho _{\rm {A}}+\rho _{\rm {B}}+\rho _{\rm {\Gamma }}=\rho +4R}
.[ 1] : 87
Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι
−
1
:
1
:
1
{\displaystyle -1:1:1}
,
1
:
−
1
:
1
{\displaystyle 1:-1:1}
και
1
:
1
:
−
1
{\displaystyle 1:1:-1}
αντίστοιχα.
↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Στεργίου, Χαράλαμπος (2011). Γεωμετρία για διαγωνισμούς: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα . Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 9789604930357 .
↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας . Αθήνα: Εκδοτικός οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα Ο.Ε.
↑ 6,0 6,1 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία . Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
↑ 7,0 7,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία . Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.