Θεώρημα του Όιλερ (γεωμετρία)

τύπος για την απόσταση του έγκεντρου και του περίκεντρου σε ένα τρίγωνο

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του Όιλερ ή σχέση Όιλερ (αναφέρεται και ως θεώρημα του Euler ή σχέση Euler) είναι ο τύπος για την απόσταση του περίκεντρου από το έγκεντρο σε ένα τρίγωνο :[1]:215-216

Το θεώρημα του Όιλερ δίνει έναν τύπο για την απόσταση , συναρτήσει των και .
,

όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Επίσης, αν είναι τα κέντρα των παρεγγεγραμμένων κύκλων και οι ακτίνες τους, τότε

και

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λέοναρντ Όιλερ που το δημοσίευσε το 1765.[2] Το ίδιο αποτέλεσμα είχε δημοσιευθεί νωρίτερα από τον William Chapple το 1746.[3]

Απόδειξη Επεξεργασία

 
Σχήμα απόδειξης για το θεώρημα του Όιλερ.

Θεωρούμε την τομή   της προέκτασης της   με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και   το αντιδιαμετρικό σημείο του  .

Τώρα θα δείξουμε ότι  . Η  , ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο  . Επίσης, έχουμε ότι  , καθώς   και   ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στα ίδια τόξα.

Συνεπώς, το τρίγωνο   είναι ισοσκελές και  .

Στην συνέχεια, τα ορθογώνια τρίγωνα   και   είναι όμοια και επομένως

 .

Χρησιμοποιώντας ότι  ,   και   λαμβάνουμε ότι

 .

Τέλος από την δύναμη του   ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο, καταλήγουμε ότι

 .

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Παραπομπές Επεξεργασία

  1. Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), «Euler and triangle geometry», The Mathematical Gazette 91 (522): 436–452, doi:10.1017/S0025557200182087 
  3. Chapple, William (1746), «An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles», Miscellanea Curiosa Mathematica 4: 117–124, https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/n142 . Η σχέση είναι κοντά στο τέλος της σελίδας 123.