Θεώρημα του Όιλερ (γεωμετρία)

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του Όιλερ ή σχέση Όιλερ (αναφέρεται και ως θεώρημα του Euler ή σχέση Euler) είναι ο τύπος για την απόσταση του περίκεντρου $\mathrm {O}$ από το έγκεντρο $\mathrm {I}$ σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$:

Το θεώρημα του Όιλερ δίνει έναν τύπο για την απόσταση $\mathrm {OI}$, συναρτήσει των $R$ και $r$.

$\mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho$,

όπου $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Επίσης, αν $\mathrm {J_{A}} ,\mathrm {J_{B}} ,\mathrm {J_{\Gamma }}$ είναι τα κέντρα των παρεγγεγραμμένων κύκλων και $\rho _{\mathrm {A} },\rho _{\mathrm {B} },\rho _{\mathrm {\Gamma } }$ οι ακτίνες τους, τότε

$\mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad$ $\mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} },\quad$ και $\quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }.$

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λέοναρντ Όιλερ που το δημοσίευσε το 1765. Το ίδιο αποτέλεσμα είχε δημοσιευθεί νωρίτερα από τον William Chapple το 1746.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης για το θεώρημα του Όιλερ.

Θεωρούμε την τομή $\mathrm {\Delta }$ της προέκτασης της $\mathrm {AI}$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και $\mathrm {E}$ το αντιδιαμετρικό σημείο του $\mathrm {\Delta }$.

Τώρα θα δείξουμε ότι $\mathrm {I\Delta } =\mathrm {B\Delta }$. Η $\angle \mathrm {BI\Delta } =\angle \mathrm {IAB} +\angle \mathrm {IBA} ={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {B} }})$, ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο $\mathrm {AIB}$. Επίσης, έχουμε ότι $\angle \mathrm {IB\Delta } ={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {B} }})$, καθώς $\angle \mathrm {IB\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {B} }}$ και $\angle \mathrm {\Delta B\Gamma } =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }}$ ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στα ίδια τόξα.

Συνεπώς, το τρίγωνο $\mathrm {BI\Delta }$ είναι ισοσκελές και $\mathrm {B\Delta } =\mathrm {I\Delta }$.

Στην συνέχεια, τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AI~I_{\Gamma }}$ και $\mathrm {B\Delta E}$ είναι όμοια και επομένως

${\frac {\mathrm {IA} }{\mathrm {I~I_{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {\Delta E} }{\mathrm {B\Delta } }}$.

Χρησιμοποιώντας ότι $\mathrm {I~I_{\Gamma }} =\rho$, $\mathrm {\Delta E} =2R$ και $\mathrm {B\Delta } =\mathrm {I\Delta }$ λαμβάνουμε ότι

$\mathrm {IA} \cdot \mathrm {I\Delta } =\mathrm {BE} \cdot \mathrm {I~I_{\Gamma }} =2R\cdot \rho$.

Τέλος από την δύναμη του $\mathrm {A}$ ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο, καταλήγουμε ότι

$R^{2}-\mathrm {OI} ^{2}=2R\rho \Rightarrow \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho$.

Δείτε επίσης

• Περίκεντρο τριγώνου
• Έγκεντρο τριγώνου
• Παράκεντρα τριγώνου