Τόξο (γεωμετρία)

Στην γεωμετρία, τόξο ενός κύκλου λέγεται το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία του κύκλου και μιας επίκεντρης γωνίας του.

Ελάσσον τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ και η αντίστοιχη κυρτή επίκεντρη γωνία του ${\widehat {\rm {AOB}}}$.

Μείζον τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ και η αντίστοιχη μη-κυρτή επίκεντρη γωνία του ${\widehat {\rm {AOB}}}$.

Δύο σημεία του κύκλου ορίζουν πάνω στον κύκλο δύο τόξα, το ελάσσον τόξο, που αντιστοιχεί στην κυρτή επίκεντρη γωνία, και το μείζον τόξο που αντιστοιχεί στην μη-κυρτή επίκεντρη γωνία.

Μήκος τόξου

Σε έναν κύκλο ακτίνας $\rho$, ένα τόξο με αντίστοιχη επίκεντρη γωνία $\theta$ ακτινίων έχει μήκος

${\ell }=\rho \cdot \theta$.

Ιδιότητες

• Σε έναν κύκλο, ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα. Αντίστροφα, σε ένα κύκλο ίσα τόξα φαίνονται υπό ίσες επίκεντρες γωνίες.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Έστω $({\rm {O}},\rho )$ ένας κύκλος και ${\rm {\widehat {AOB}}}$, ${\rm {\widehat {\Gamma O\Delta }}}$ ίσες επίκεντρες γωνίες που βαίνουν αντίστοιχα στα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ και ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$. Μετατοπίζουμε τη γωνία ${\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}$ έτσι ώστε η ημιευθεία ${\rm {O\Delta }}$ να ταυτιστεί με την ημιευθεία ${\rm {OB}}$. Τότε η ημιευθεία ${\rm {O\Gamma }}$ θα ταυτιστεί με την ημιευθεία ${\rm {OA}}$ από την ισότητα των γωνιών και τα σημεία $\Gamma$ και ${\rm {\Delta }}$ θα ταυτιστούν με τα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ αντίστοιχα επειδή ${\rm {OA=OB=O\Gamma =O\Delta =\rho }}$ (ισότητα ευθύγραμμων τμημάτων).

Επίσης, κάθε σημείο του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ συμπίπτει κατά τη μετατόπισή του με ένα σημείο του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$: αν υπήρχε σημείο του τόξου ${\rm {\Gamma \Delta }}$ που δεν θα ανήκε στο τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$, τότε θα έπρεπε να είναι είτε εξωτερικό είτε εσωτερικό σημείο του κύκλου, που είναι σε κάθε περίπτωση αδύνατο αφού είναι σημείο τόξου του κύκλου (απαγωγή σε άτοπο)· συνεπώς τα τόξα είναι ίσα.

Ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα και αντίστροφα.

($\Leftarrow$) Ας είναι $(\mathrm {O} ,\rho )$ ένας κύκλος και ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$, ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ ίσα τόξα που φαίνονται αντίστοιχα υπό τις επίκεντρες γωνίες ${\widehat {\rm {AOB}}}$ και ${\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}$. Μετατοπίζουμε το τόξο ${\overset {\frown }{\rm {\Gamma \Delta }}}$ έτσι ώστε να ταυτιστεί με το τόξο ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$. Τότε η πλευρά ${\rm {O\Gamma }}$ ταυτίζεται με την ${\rm {OA}}$ και η ${\rm {O\Delta }}$ ταυτίζεται με την ${\rm {OB}}$ και έτσι οι γωνίες είναι ίσες.$\quad \square$

• Μέσο ενός τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$ είναι ένα σημείο ${\rm {M}}$ στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε τα τόξα ${\overset {\frown }{\rm {AM}}}$ και ${\overset {\frown }{\rm {MB}}}$ να είναι ίσα. Κάθε τόξο έχει ένα μόνο μέσο.

Απόδειξη  

Αν ${\rm {M}}$ είναι το μέσο ενός τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$, τότε θα είναι ${\overset {\frown }{\rm {AM}}}={\overset {\frown }{\rm {MB}}}$ (ισότητα τόξων). Για τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες θα ισχύει ${\widehat {\rm {AOM}}}={\widehat {\rm {MOB}}}$ (ισότητα γωνιών), που σημαίνει ότι η ημιευθεία ${\rm {OM}}$ είναι η διχοτόμος της γωνίας ${\widehat {\rm {AOB}}}$. Η διχοτόμος μίας γωνίας όμως είναι από αξίωμα μοναδική, συνεπώς το ${\rm {M}}$ θα είναι και αυτό μοναδικό.$\quad \square$

• Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου προς μία χορδή του, διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο.

Απόδειξη  

Το απόστημα ${\rm {OM}}$ της χορδής ${\rm {AB}}$

Έστω ένας κύκλος $(\mathrm {O} ,\rho )$ και ${\rm {AB}}$ μία χορδή του. Αν ${\rm {OM}}$ είναι το απόστημα της ${\rm {AB}}$ τότε τα τρίγωνα ${\rm {OMB}}$ και ${\rm {OMA}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και υποτείνουσα ίση. Έτσι $\mathrm {MA} =\mathrm {MB}$, άρα το ${\rm {M}}$ θα είναι μέσο της ${\rm {AB}}$ και ${\widehat {\rm {MOA}}}={\widehat {\rm {MOB}}}$ (ισότητα γωνιών), δηλαδή ${\overset {\frown }{\rm {NA}}}={\overset {\frown }{\rm {NB}}}$ (ισότητα τόξων) και το ${\rm {N}}$ είναι το μέσο του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {AB}}}$.$\quad \square$

Σύγκριση τόξων και πράξεις

• Σε έναν κύκλο, θα λέμε ότι ένα τόξο είναι μεγαλύτερο ή ίσο ή μικρότερο από ένα άλλο όταν η επίκεντρη γωνία του πρώτου είναι μεγαλύτερη ή ίση ή μικρότερη από την επίκεντρη γωνία του άλλου.
• Οι πράξεις στα τόξα (προσθαφαίρεση τόξου με τόξο και πολλαπλασιασμός - διαίρεση τόξου με αριθμό) ορίζονται με βάση τις επίκεντρες γωνίες όπου αντιστοιχούν. Σε κάθε περίπτωση, το τόξο-αποτέλεσμα της πράξης είναι το τόξο που αντιστοιχεί στην επίκεντρη γωνία-αποτέλεσμα της αντίστοιχης πράξης.
• Επειδή, σύμφωνα με το θεώρημα αντιστοιχίας, ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες επίκεντρες γωνίες, μπορούμε να αναγάγουμε τη μέτρηση των γωνιών στη μέτρηση των τόξων. Έτσι όταν λέμε άνοιγμα γωνίας μπορούμε εναλλακτικά να εννοούμε το μήκος του αντίστοιχου τόξου της, αν αυτή θεωρηθεί ως επίκεντρη. Στη μέτρηση σε μοίρες λοιπόν, το άνοιγμα της μοναδιαίας γωνίας θα ισούται με 1°, της πλήρους γωνίας με 360°, της ευθείας γωνίας με 180°, και της ορθής με 90°.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για το μήκος τόξου στο Φωτόδεντρο.
• Διαδραστική εφαρμογή για την γωνία και το μήκος τόξου στο Φωτόδεντρο.
• Υπολογίζοντας τα μέτρα τόξων στο Φωτόδεντρο.
• Διαδραστική εφαρμογή για την σύγκριση τόξων στο Φωτόδεντρο.

Δείτε επίσης

• Κύκλος
• Χορδή (γεωμετρία)
• Κυκλικός δίσκος