Εγγεγραμμένη γωνία

Στην γεωμετρία, μία γωνία ${\rm {\angle AB\Gamma }}$ είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ αν τα ${\rm {A,B,\Gamma }}$ είναι σημεία του κύκλου.

Η γωνία ${\rm {\angle AB\Gamma }}$ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$.

Ιδιότητες

• Για κάθε εγγεγραμμένη γωνία ${\rm {\angle AB\Gamma }}$ σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$, η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ${\rm {\angle AO\Gamma }}$ είναι διπλάσια.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης της σχέσης μεταξύ επίκεντρης και εγγεραμμένης γωνίας.

Θεωρούμε τα ${\rm {OA,OB,O\Gamma }}$, τα οποία είναι ίσα ως ακτίνες του ίδιου κύκλου. Επομένως, τα τρίγωνα ${\rm {AOB}}$ και ${\rm {BO\Gamma }}$ είναι ισοσκελή. Έτσι προκύπτει ότι ${\rm {\angle OBA=\angle OAB=x}}$ και ${\rm {\angle B\Gamma O=\angle \Gamma BO=y}}$.

Αφού οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα $180^{o}$, έχουμε ότι $\angle \mathrm {AOB} =180^{o}-2x$ και $\angle \mathrm {BO\Gamma } =180^{o}-2y$. Επομένως,

${\begin{aligned}\angle \mathrm {AO\Gamma } &=360^{o}-(180^{o}-2x)-(180^{o}-2y)\\&=2x+2y=2\cdot (x+y)\\&=2\cdot \angle \mathrm {AB\Gamma } .\end{aligned}}$.

• Η εγγεγραμμένη γωνία ${\rm {AB\Gamma }}$ ισούται με την γωνία της εφαπτομένης στο σημείο ${\rm {A}}$ και της χορδής ${\rm {A\Gamma }}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης της σχέσης μεταξύ εγγεγραμμένης και εφαπτομένης.

Από την προηγούμενη ιδιότητα έχουμε ότι $\angle \mathrm {AO\Gamma } =2\cdot \angle \mathrm {AB\Gamma } =2x$. Το τρίγωνο ${\rm {AO\Gamma }}$ είναι ισοσκελές και επομένως,

$y={\tfrac {1}{2}}\cdot (180^{o}-2x)=90^{o}-x$.

Αφού η ${\rm {O\Gamma \perp \Gamma z}}$, έχουμε ότι $\angle \mathrm {A\Gamma z} =90^{o}-(90^{o}-\angle \mathrm {O\Gamma A} )=x$.

Δείτε επίσης

• Επίκεντρη γωνία
• Ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο