Σημείο Gergonne

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο το σημείο Gergonne είναι το σημείο τομής των ευθειών που συνδέουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένος κύκλος στις απέναντι πλευρές του.

Το σημείο Gergonne ${\rm {G}}_{e}$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$, όπου $\mathrm {I_{A}} ,\mathrm {I_{B}} ,\mathrm {I_{\Gamma }}$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {I_{A}} ,\mathrm {I_{B}} ,\mathrm {I_{\Gamma }}$ στα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του τριγώνου, τα ευθύγραμμα τμήματα $\mathrm {I_{A}A} ,\mathrm {I_{B}B} ,\mathrm {I_{\Gamma }\Gamma }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται σημείο Gergonne και συμβολίζεται ως ${\rm {G}}_{e}$.

Το σημείο παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Joseph Diez Gergonne.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {I\Gamma I_{B}}$ και $\mathrm {I\Gamma I_{A}}$ είναι ίσα καθώς η $\mathrm {\Gamma I}$ είναι κοινή και ${\widehat {\rm {\Gamma I~I_{A}}}}={\widehat {\rm {\Gamma I~I_{B}}}}={\tfrac {\hat {\mathrm {\Gamma } }}{2}}$ (καθώς $\mathrm {\Gamma I}$ είναι διχοτόμος). Επομένως, $\mathrm {\Gamma I_{A}} =\mathrm {\Gamma I_{B}}$.

Αντίστοιχα, έχουμε ότι $\mathrm {AI_{B}} =\mathrm {AI_{\Gamma }}$ και $\mathrm {BI_{A}} =\mathrm {BI_{\Gamma }}$.

Συνεπώς,

${\frac {\mathrm {BI_{A}} }{\mathrm {\Gamma I_{A}} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma I_{B}} }{\mathrm {AI_{B}} }}\cdot {\frac {\mathrm {AI_{\Gamma }} }{\mathrm {BI_{\Gamma }} }}=1$,

και από το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι τα $\mathrm {I_{A}I}$, $\mathrm {I_{B}I}$, $\mathrm {I_{\Gamma }I}$ συντρέχουν.

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο Gergonne
• Θεώρημα του Τσέβα
• Έγκεντρο τριγώνου