Σημείο Gergonne

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ το σημείο Gergonne είναι το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων $\mathrm {I_{A}I} ,\mathrm {I_{B}I} ,\mathrm {I_{\Gamma }I}$, όπου $\mathrm {I}$ είναι το έγκεντρο και $\mathrm {I_{A}} ,\mathrm {I_{B}} ,\mathrm {I_{\Gamma }}$ είναι τα σημεία που εφάπτεται ο εγγεγραμμένος κύκλος με τις πλευρές του τριγώνου.

Το σημείο Gergonne του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$, όπου $\mathrm {I_{A}} ,\mathrm {I_{B}} ,\mathrm {I_{\Gamma }}$ τα σημεία επαφης του εγγεγραμμένου κύκλου.

Το σημείο παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Joseph Diez Gergonne.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {I\Gamma I_{B}}$ και $\mathrm {I\Gamma I_{A}}$ είναι ίσα καθώς η $\mathrm {\Gamma I}$ είναι κοινή και $\angle \mathrm {\Gamma I~I_{A}} =\angle \mathrm {\Gamma I~I_{B}} ={\tfrac {\hat {\mathrm {\Gamma } }}{2}}$ (καθώς $\mathrm {\Gamma I}$ είναι διχοτόμος). Επομένως, $\mathrm {\Gamma I_{A}} =\mathrm {\Gamma I_{B}}$.

Αντίστοιχα, έχουμε ότι $\mathrm {AI_{B}} =\mathrm {AI_{\Gamma }}$ και $\mathrm {BI_{A}} =\mathrm {BI_{\Gamma }}$.

Συνεπώς,

${\frac {\mathrm {BI_{A}} }{\mathrm {\Gamma I_{A}} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma I_{B}} }{\mathrm {AI_{B}} }}\cdot {\frac {\mathrm {AI_{\Gamma }} }{\mathrm {BI_{\Gamma }} }}=1$,

και από το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι τα $\mathrm {I_{A}I}$, $\mathrm {I_{B}I}$, $\mathrm {I_{\Gamma }I}$ συντρέχουν.

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο Gergonne
• Θεώρημα του Τσέβα
• Έγκεντρο τριγώνου