Στην γεωμετρία , σε κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
σημείο Νάγκελ (αναφέρεται συχνά ως σημείο Nagel ) είναι το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων
A
I
A
′
,
B
I
B
′
,
Γ
I
Γ
′
{\displaystyle \mathrm {AI_{A}'} ,\mathrm {BI_{B}'} ,\mathrm {\Gamma I_{\Gamma }'} }
I
A
′
,
I
B
′
,
I
Γ
′
{\displaystyle \mathrm {I_{A}'} ,\mathrm {I_{B}'} ,\mathrm {I_{\Gamma }'} }
παρεγγεγραμμένων κύκλων με τις πλευρές του τριγώνου.[1] :36 [2] :187
Το σημείο Νάγκελ
N
a
{\displaystyle \mathrm {N_{a}} }
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
Το σημείο παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Κρίστιαν Χάινριχ φον Νάγκελ (γερμανικά : Christian Heinrich von Nagel ).
Σχήμα απόδειξης. Έστω
I
A
,
I
A
′
,
I
A
″
{\displaystyle \mathrm {I_{A}} ,\mathrm {I_{A}'} ,\mathrm {I_{A}''} }
J
A
{\displaystyle \mathrm {J_{A}} }
B
Γ
,
A
B
,
A
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } ,\mathrm {AB} ,\mathrm {A\Gamma } }
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
I
A
″
=
A
I
A
‴
{\displaystyle \mathrm {AI_{A}''} =\mathrm {AI_{A}'''} }
B
I
A
′
=
B
I
A
″
=
x
{\displaystyle \mathrm {BI_{A}'} =\mathrm {BI_{A}''} =x}
Γ
I
A
′
=
Γ
I
A
‴
{\displaystyle \mathrm {\Gamma I_{A}'} =\mathrm {\Gamma I_{A}'''} }
εφαπτομένες των
A
,
B
,
Γ
{\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } }
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
Από τις παραπάνω ισότητες έχουμε ότι
γ
+
x
=
β
+
y
{\displaystyle \gamma +x=\beta +y}
και
x
+
y
=
α
{\displaystyle x+y=\alpha }
Συνδυάζοντας τις δύο λαμβάνουμε ότι
x
=
α
+
β
−
γ
2
=
τ
−
γ
{\displaystyle x={\frac {\alpha +\beta -\gamma }{2}}=\tau -\gamma \quad }
y
=
α
−
β
+
γ
2
=
τ
−
β
{\displaystyle \quad y={\frac {\alpha -\beta +\gamma }{2}}=\tau -\beta }
όπου
τ
=
1
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}
ημιπερίμετρος .
Αντίστοιχα, για τις προβολές
I
B
′
{\displaystyle \mathrm {I_{B}'} }
I
Γ
′
{\displaystyle \mathrm {I_{\Gamma }'} }
A
I
Γ
′
=
τ
−
β
{\displaystyle \mathrm {AI_{\Gamma }'} =\tau -\beta }
A
I
B
′
=
τ
−
γ
{\displaystyle \mathrm {AI_{B}'} =\tau -\gamma }
{\displaystyle }
B
I
Γ
′
=
Γ
I
B
′
=
τ
−
α
{\displaystyle \mathrm {BI_{\Gamma }'} =\mathrm {\Gamma I_{B}'} =\tau -\alpha }
Επομένως,
A
I
B
′
Γ
I
B
′
⋅
Γ
I
A
′
B
I
A
′
⋅
B
I
Γ
′
A
I
Γ
′
=
τ
−
γ
τ
−
α
⋅
τ
−
β
τ
−
γ
⋅
τ
−
α
τ
−
β
=
1
{\displaystyle {\rm {{\frac {AI_{B}'}{\Gamma I_{B}'}}\cdot {\frac {\Gamma I_{A}'}{BI_{A}'}}\cdot {\frac {BI_{\Gamma }'}{AI_{\Gamma }'}}}}={\frac {\tau -\gamma }{\tau -\alpha }}\cdot {\frac {\tau -\beta }{\tau -\gamma }}\cdot {\frac {\tau -\alpha }{\tau -\beta }}=1}
και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα έχουμε ότι τα
A
I
A
′
{\displaystyle \mathrm {AI_{A}'} }
B
I
B
′
{\displaystyle \mathrm {BI_{B}'} }
Γ
I
Γ
′
{\displaystyle \mathrm {\Gamma I_{\Gamma }'} }
↑ Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. ↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
