Στην γεωμετρία , ύψος ενός τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μία κορυφή προς την απέναντι πλευρά (ή την προέκτασή της).
Το ύψος
υ
A
{\displaystyle \upsilon _{\rm {A}}}
του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
που αντιστοιχεί στην κορυφή
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
.
Σε κάθε τρίγωνο τα τρία ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο .[ 1] [ 2] [ 3] [ 4]
Στο τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
, τα ύψη
A
H
A
,
B
H
B
,
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
συνήθως συμβολίζονται ως
υ
A
,
υ
B
,
υ
Γ
{\displaystyle \upsilon _{\rm {A}},\upsilon _{\rm {B}},\upsilon _{\rm {\Gamma }}}
ή
υ
α
,
υ
β
,
υ
γ
{\displaystyle \upsilon _{\alpha },\upsilon _{\beta },\upsilon _{\gamma }}
αντίστοιχα.
Θεώρημα —
Σε κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
, τα ύψη
A
H
A
,
B
H
B
,
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
(ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο.
(Ευθεία του Όιλερ ) Το βαρύκεντρο
G
{\displaystyle \mathrm {G} }
, το ορθόκεντρο
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
και το περίκεντρο
O
{\displaystyle \mathrm {O} }
είναι συγγραμμικά και
H
G
=
2
⋅
G
O
{\displaystyle \mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {GO} }
.
(Κύκλος του Όιλερ ) Το σημεία
H
A
,
H
B
,
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {H_{\mathrm {A} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {B} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {\Gamma } }} }
, τα μέσα των
A
H
,
B
H
,
Γ
H
{\displaystyle \mathrm {AH} ,\mathrm {BH} ,\mathrm {\Gamma H} }
και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
(Θεώρημα Νάγκελ ) Αν
O
{\displaystyle \mathrm {O} }
είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε
H
A
H
B
⊥
O
Γ
{\displaystyle \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma } }
,
H
B
H
Γ
⊥
O
A
{\displaystyle \quad \mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} \quad }
και
H
A
H
Γ
⊥
O
B
{\displaystyle \quad \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OB} }
.
Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[ 1] : 77 [ 2] : 270
Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[ 1] : 76
Το ορθόκεντρο είναι το σημείο
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση :[ 5]
f
(
P
)
=
P
A
+
P
B
+
P
Γ
+
P
H
A
+
P
H
B
+
P
H
Γ
{\displaystyle f(\mathrm {P} )=\mathrm {PA} +\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } +\mathrm {PH_{A}} +\mathrm {PH_{B}} +\mathrm {PH_{\Gamma }} }
.
Σε ένα τρίγωνο δύο ύψη είναι ίσα αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές .
υ
A
=
2
α
⋅
τ
⋅
(
τ
−
α
)
⋅
(
τ
−
β
)
⋅
(
τ
−
γ
)
{\displaystyle \upsilon _{\mathrm {A} }={\frac {2}{\alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}
,
όπου
τ
=
1
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}
είναι η ημιπερίμετρος .
υ
A
=
α
⋅
sin
B
^
⋅
sin
Γ
^
sin
A
^
{\displaystyle \upsilon _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}{\sin {\hat {\rm {A}}}}}}
,
υ
B
=
β
⋅
sin
Γ
^
⋅
sin
A
^
sin
B
^
{\displaystyle \quad \upsilon _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\hat {\rm {A}}}}{\sin {\hat {\rm {B}}}}}}
και
υ
Γ
=
γ
⋅
sin
A
^
⋅
sin
B
^
sin
Γ
^
{\displaystyle \quad \upsilon _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\hat {\rm {B}}}}{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}}}
.
Έστω
E
{\displaystyle \mathrm {E} }
το εμβαδό του τριγώνου και
A
^
>
90
o
{\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}>90^{o}}
, τότε[ 4] : 47
A
H
2
=
α
⋅
(
β
2
+
γ
2
−
α
2
)
4
E
{\displaystyle \mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2})}{4\mathrm {E} }}}
,
και αν
A
<
90
o
{\displaystyle \mathrm {A} <90^{o}}
, τότε
A
H
2
=
α
⋅
(
α
2
−
β
2
−
γ
2
)
4
E
{\displaystyle \mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2})}{4\mathrm {E} }}}
.
A
H
2
+
B
H
2
+
Γ
H
2
=
12
R
2
−
(
α
2
+
β
2
+
γ
2
)
{\displaystyle \mathrm {AH} ^{2}+\mathrm {BH} ^{2}+\mathrm {\Gamma H} ^{2}=12R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})}
Αν
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
το ορθόκεντρο,
G
{\displaystyle \mathrm {G} }
το βαρύκεντρο ,
(
O
,
R
)
{\displaystyle (\mathrm {O} ,R)}
ο περιγεγραμμένος ,
(
I
,
ρ
)
{\displaystyle (\mathrm {I} ,\rho )}
o εγγεγραμμένος και
(
I
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle (\mathrm {I_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })}
ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε[ 8] [ 9] [ 4] : 47
O
H
2
=
9
R
2
−
(
α
2
+
β
2
+
γ
2
)
{\displaystyle \mathrm {OH} ^{2}=9R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})}
,
H
G
2
=
4
R
2
−
4
⋅
(
α
2
+
β
2
+
γ
2
)
{\displaystyle \mathrm {HG} ^{2}=4R^{2}-4\cdot (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})}
,
H
I
2
=
2
ρ
2
−
4
R
2
cos
A
^
cos
B
^
cos
Γ
^
{\displaystyle \mathrm {HI} ^{2}=2\rho ^{2}-4R^{2}\cos {\hat {\rm {A}}}\cos {\hat {\rm {B}}}\cos {\hat {\rm {\Gamma }}}}
,
H
I
A
2
=
2
ρ
A
2
−
4
R
2
cos
A
^
cos
B
^
cos
Γ
^
{\displaystyle \mathrm {HI_{A}} ^{2}=2\rho _{\mathrm {A} }^{2}-4R^{2}\cos {\hat {\rm {A}}}\cos {\hat {\rm {B}}}\cos {\hat {\rm {\Gamma }}}}
.
Για τα ύψη
A
H
A
,
B
H
B
,
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
, ισχύει ότι
A
H
⋅
H
H
A
=
B
H
⋅
H
H
B
=
Γ
H
⋅
H
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {AH} \cdot \mathrm {HH_{A}} =\mathrm {BH} \cdot \mathrm {HH_{B}} =\mathrm {\Gamma H} \cdot \mathrm {HH_{\Gamma }} }
,
A
H
H
H
A
+
B
H
H
H
B
+
Γ
H
H
H
Γ
=
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {AH} }{\mathrm {HH_{A}} }}+{\frac {\mathrm {BH} }{\mathrm {HH_{B}} }}+{\frac {\mathrm {\Gamma H} }{\mathrm {HH_{\Gamma }} }}=1}
.
(
υ
A
+
υ
B
+
υ
Γ
)
⋅
(
1
υ
A
+
1
υ
B
+
1
υ
Γ
)
=
(
α
+
β
+
γ
)
⋅
(
1
α
+
1
β
+
1
γ
)
{\displaystyle (\upsilon _{\mathrm {A} }+\upsilon _{\mathrm {B} }+\upsilon _{\mathrm {\Gamma } })\cdot \left({\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }}}\right)=(\alpha +\beta +\gamma )\cdot \left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}\right)}
.
Αν
μ
A
{\displaystyle \mu _{\mathrm {A} }}
η διάμεσος τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
με
β
>
γ
{\displaystyle \beta >\gamma }
, τότε
υ
A
⋅
μ
A
=
β
2
−
γ
2
2
α
{\displaystyle \upsilon _{\mathrm {A} }\cdot \mu _{\mathrm {A} }={\frac {\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha }}}
.
Αν
ρ
{\displaystyle \rho }
η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και
ρ
A
,
ρ
B
,
ρ
Γ
{\displaystyle \rho _{\mathrm {A} },\rho _{\mathrm {B} },\rho _{\mathrm {\Gamma } }}
οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων, τότε[ 4] : 46
1
ρ
A
=
1
υ
B
+
1
υ
Γ
−
1
υ
A
{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }}}={\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }}}-{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }}}}
,
1
ρ
A
+
1
ρ
B
+
1
ρ
Γ
=
1
ρ
=
1
υ
A
+
1
υ
B
+
1
υ
Γ
{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {\Gamma } }}}={\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }}}}
,
1
ρ
2
+
1
ρ
A
2
+
1
ρ
B
2
+
1
ρ
Γ
2
=
4
⋅
(
1
υ
A
2
+
1
υ
B
2
+
1
υ
Γ
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {B} }^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {\Gamma } }^{2}}}=4\cdot \left({\frac {1}{{\upsilon }_{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {1}{{\upsilon }_{\mathrm {B} }^{2}}}+{\frac {1}{{\upsilon }_{\mathrm {\Gamma } }^{2}}}\right)}
.
Το τρίγωνο
H
A
H
B
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {H_{A}H_{B}H_{\Gamma }} }
λέγεται ορθικό (ή αλλιώς ποδικό ) τρίγωνο του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
.
↑ Οι ευθείες αυτές τέμνονται ανά δύο, καθώς είναι παράλληλες στα ευθύγραμμα τμήματα του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
που τέμονται στις κορυφές του τριγώνου.
↑ Το τρίγωνο αυτό λέγεται το αντισυμπληρωματικό του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
.
↑ 1,0 1,1 1,2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ 2,0 2,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α' . Αθήνα.
↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Laurent, Pierre-Jean (2015). «A characterization by optimization of the orthocenter of a triangle». Elemente der Mathematik 70 (2): 45–48. doi :10.4171/EM/273 .
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία . Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας . Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ Bogomolny, Alexander. «Distance between the Orthocenter and Circumcenter» . Cut the Knot. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2023 .
↑ Yiu, Paul. «Advanced Euclidean Geometry» (PDF) . Department of Mathematics, Florida Atlantic University. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 13 Φεβρουαρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2023 .