Κύκλος Όιλερ

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ ο κύκλος Όιλερ ή κύκλος των εννέα σημείων (αναφέρεται και ως κύκλος Euler) είναι ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$ των πλευρών του, τα ίχνη ${\rm {H_{A},H_{B},H_{\Gamma }}}$ των υψών του και τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$.

Ο κύκλος των εννέα σημείων που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$, τα ίχνη των υψών ${\rm {H_{A},H_{B},H_{\Gamma }}}$ και τα μέσα των ${\rm {AH,BH,\Gamma H}}$.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Από τα τρία μη συνευθειακά σημεία ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$ που αποτελούν τα μέσα των πλευρών $\mathrm {B} \Gamma ,\mathrm {A} \Gamma ,\mathrm {A} \mathrm {B}$, αντίστοιχα του τριγώνου $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$, διέρχεται ένας και μόνον κύκλος έστω $C$.

Θα αποδείξουμε ότι στον κύκλο $C$ ανήκουν και τα υπόλοιπα έξι σημεία του θεωρήματος. Γνωρίζουμε ότι για να βρίσκεται ένα σημείο στον κύκλο που ορίζουν τρία άλλα σημεία, αρκεί το τετράπλευρο με κορυφές το σημείο αυτό και τα άλλα τρία σημεία, να είναι εγγράψιμο.

Μέρος 1^ο: Τα ίχνη των υψών
Επομένως για να ανήκει το σημείο ${\rm {H_{A}}}$ στον κύκλο $C$ αρκεί το τετράπλευρο ${\rm {H_{A}{\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}}}$ να είναι εγγράψιμο.

Ισχύει ότι τα σημεία $\mathrm {M} _{\mathrm {B} },\mathrm {M} _{\Gamma }$ είναι τα μέσα των πλευρών $\mathrm {A} \Gamma ,\mathrm {A} \mathrm {B}$ του τριγώνου $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$ άρα είναι ${\textstyle \mathrm {M} _{\mathrm {B} }\mathrm {M} _{\Gamma }\parallel \mathrm {B} \Gamma }$, που σημαίνει ότι το τετράπλευρο ${\rm {H_{A}{\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}}}$ είναι τραπέζιο και συνεπώς για να είναι εγγράψιμο αρκεί να είναι ισοσκελές.

Επίσης ισχύει ότι τα σημεία $\mathrm {M} _{\mathrm {B} },\mathrm {M} _{\mathrm {A} }$ είναι τα μέσα των πλευρών $\mathrm {A} \Gamma ,\mathrm {B} \Gamma$ άρα είναι ${\textstyle \mathrm {M} _{\mathrm {B} }\mathrm {M} _{\mathrm {A} }\parallel ={\frac {\mathrm {A} \mathrm {B} }{2}}}$. Επιπλέον στο ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {H} _{\mathrm {A} }$, η ${\rm {H_{A}{\rm {M_{\Gamma }}}}}$ είναι η διάμεσος προς την υποτείνουσα άρα είναι ${\textstyle \mathrm {H} _{\mathrm {A} }\mathrm {M} _{\Gamma }={\frac {\mathrm {A} \mathrm {B} }{2}}}$. Επομένως το τετράπλευρο ${\rm {H_{A}{\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}}}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο και συνεπώς εγγράψιμο, δηλαδή το σημείο ${\rm {H_{A}}}$ ανήκει στον κύκλο $C$ που ορίζουν τα σημεία ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$.

Ομοίως αποδεικνύουμε ότι και τα σημεία ${\rm {H_{B},H_{\Gamma }}}$ ανήκουν στον κύκλο $C$.

Μέρος 2^ο: Τα μέσα των ${\rm {AH,BH,\Gamma H}}$
Έστω τώρα $\Sigma ,\mathrm {T} ,\mathrm {P}$ τα μέσα των τμημάτων $\mathrm {A} \mathrm {H} ,\mathrm {B} \mathrm {H} ,\Gamma \mathrm {H}$ αντίστοιχα. Για να ανήκει το σημείο $\Sigma$ στον κύκλο $C$ αρκεί το τετράπλευρο $\Sigma {\rm {M_{\Gamma }M_{A}M_{B}}}$ να είναι εγγράψιμο. Πράγματι είναι

$\mathrm {M} _{\mathrm {B} }\mathrm {M} _{\mathrm {A} }\parallel \mathrm {A} \mathrm {B}$ και $\mathrm {M} _{\Gamma }\mathrm {M} _{\mathrm {A} }\parallel \mathrm {A} \Gamma$

άρα το τετράπλευρο $\mathrm {A} {\rm {M_{B}M_{A}M_{\Gamma }}}$ είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς

${\widehat {\rm {M_{B}M_{A}M_{\Gamma }}}}={\widehat {\rm {A}}}$.

Επίσης,

$\mathrm {M} _{\Gamma }\Sigma \parallel \mathrm {B} \mathrm {H}$ και $\mathrm {M} _{\mathrm {B} }\Sigma \parallel \Gamma \mathrm {H}$

διότι ενώνουν τα μέσα πλευρών των τριγώνων $\mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {H}$ και $\mathrm {A} \Gamma \mathrm {H}$, άρα

${\widehat {\rm {M_{\Gamma }\Sigma \mathrm {M} _{\mathrm {B} }}}}={\widehat {\mathrm {B} \mathrm {H} \Gamma }}={\widehat {\mathrm {H} _{\Gamma }\mathrm {H} \mathrm {H} _{\mathrm {B} }}}$.

Αλλά το τετράπλευρο $\mathrm {A} \mathrm {H} _{\Gamma }\mathrm {H} \mathrm {H} _{\mathrm {B} }$ είναι εγγράψιμο διότι έχει τις απέναντι γωνίες του ${\widehat {\mathrm {H} _{\Gamma }}}+{\widehat {\mathrm {H} _{\mathrm {B} }}}=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$ παραπληρωματικές, συνεπώς ${\widehat {\mathrm {H} _{\Gamma }\mathrm {H} \mathrm {H} _{\mathrm {B} }}}=180^{\circ }-{\widehat {\mathrm {A} }}$ δηλαδή ${\widehat {\rm {M_{\Gamma }\Sigma \mathrm {M} _{\mathrm {B} }}}}=180^{\circ }-{\widehat {\rm {M_{\Gamma }\mathrm {M} _{\mathrm {A} }\mathrm {M} _{\mathrm {B} }}}}$.

Άρα το τετράπλευρο $\Sigma {\rm {M_{\Gamma }M_{A}M_{B}}}$είναι εγγράψιμο, δηλαδή το σημείο $\Sigma$ ανήκει στον κύκλο $C$ που ορίζουν τα σημεία ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$. Ομοίως αποδεικνύουμε ότι και τα σημεία $\mathrm {T} ,\mathrm {P}$ ανήκουν στον κύκλο $C$.

Συνεπώς, τα εννέα σημεία ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$, ${\rm {H_{A},H_{B},H_{\Gamma }}}$ και ${\rm {\Sigma ,T,P}}$ ανήκουν στον $C$.

$\square$

Ιδιότητες

• Το κέντρο του κύκλου Όιλερ είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$ με το περίκεντρο $\mathrm {O}$ του τριγώνου.
• Η ακτίνα του κύκλου Όιλερ είναι ίση με το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
• (Σημείο Φόιερμπαχ) Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του κύκλου Όιλερ. Το σημείο επαφής λέγεται σημείο Φόιερμπαχ.
• (Τρίγωνο Φόιερμπαχ) Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι εφάπτονται του κύκλου Όιλερ του τριγώνου. Τα τρία σημεία επαφής ορίζουν το τρίγωνο Φόιερμπαχ.

Δείτε επίσης

• Ευθεία του Όιλερ
• Περιγεγραμμένος κύκλος