Στην γεωμετρία, ο νόμος των ημιτόνων, είναι μία σχέση που ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο και η οποία συνδέει τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου με τα ημίτονα των γωνιών του. Πιο συγκεκριμένα σε κάθε τρίγωνο , ισχύει ότι[1]:244-245

Τρίγωνο στο οποίο αναγράφονται τα μήκη των πλευρών του , , , οι γωνίες του , , και ο περιγεγραμμένος κύκλος του ακτίνας .

όπου , , είναι τα μήκη των πλευρών του, , , οι γωνίες του, και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Δηλαδή σε ένα τυχόν τρίγωνο ο λόγος της πλευράς προς το ημίτονο της γωνίας που βλέπει προς την πλευρά είναι σταθερός και ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή με .

ΑπόδειξηΕπεξεργασία

Ισότητα λόγωνΕπεξεργασία

 
Ύψος   του τριγώνου   που αντιστοιχεί στην κορυφή  .

Θα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας ότι

 

χρησιμοποιώντας διαφορετικές εκφράσεις για τα ύψη του  . Έστω   το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή  . Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο  , από τον ορισμό του ημιτόνου  , έχουμε ότι

 .

 

 

 

 

(1)

Αντίστοιχα, στο  , έχουμε ότι

 .

 

 

 

 

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι

 .

Αντίστοιχα για το ύψος  , λαμβάνουμε ότι

 ,

και έτσι έπεται το ζητούμενο.

Ισότητα με την διάμετροΕπεξεργασία

 
Το τρίγωνο   όπου  .

Αρκεί να δείξουμε ότι  . Θεωρούμε την κάθετη από το   στην   και   το σημείο που τέμνεται με τον περιεγραμμένο κύκλο του  . Χρησιμοποιώντας την ισότητα των λόγων του νόμου των ημιτόνων (που αποδείξαμε παραπάνω) στο τρίγωνο  , έχουμε ότι

 .

Αφού η   βαίνει στο ίδιο τόξο με την   έχουμε ότι  . Επίσης αφού  , ισχύει ότι  . Συνεπώς,

 

Δείτε επίσηςΕπεξεργασία

ΠαραπομπέςΕπεξεργασία

  1. Αργυράκης, Δ.· Βουργάνας, Π.· Μεντής, Κ.· Τσικοπούλου, Σ.· Χρυσοβέργης, Μ. Γ' Γυμνασίου Μαθηματικά. Αθήνα: Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων «Διόφαντος». ISBN 978-960-06-2766-4.