Νόμος των εφαπτομένων

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο νόμος των εφαπτομένων σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι η σχέση

Τρίγωνο με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ και κορυφές $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma }$.

${\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}$,

όπου $\alpha ,\beta$ οι πλευρές απέναντι από τις κορυφές $\mathrm {A}$ και $\mathrm {B}$.

Απόδειξη

Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι

${\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}=d,$

όπου $d$ η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι

$\alpha =d\sin \mathrm {A}$,

(1)

και

$\beta =d\sin \mathrm {B}$.

(2)

Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τους τριγωνομετρικούς τύπους για το άθροισμα και την διαφορά δύο ημιτόνων

$\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\quad$

(3)

και

$\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)$.

(4)

Για να αποδείξουμε τον νόμο των εφαπτομένων ξεκινάμε από το αριστερό μέλος και χρησιμοποιούμε τις σχέσεις (1) και (2),

${\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {d\sin \mathrm {A} -d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {A} +d\sin \mathrm {B} }}={\frac {\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }}.$

Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3) και (4), έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}&={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}{2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}}={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}\\&={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}\end{aligned}}$,

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Με τύπους Mollweide

Οι τύποι Mollweide είναι οι εξής

${\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)$,

και

${\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)$.

Διαιρώντας και τους δύο τύπους κατά μέλη, έχουμε ότι

${\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cot {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)$.

Αφού $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma }$ είναι γωνίες τριγώνου έχουμε ότι $\mathrm {\Gamma } =\pi -(\mathrm {A} +\mathrm {B} )$. Χρησιμοποιώντας ότι $\tan \phi =\tan(\pi -\phi )$, λαμβάνουμε ότι

${\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}$.

Απόδειξη χωρίς λόγια

Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu

Δείτε επίσης

• Νόμος των ημιτόνων
• Νόμος των συνημιτόνων