Τύποι Mollweide

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, οι τύποι Mollweide σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ και κορυφές $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma }$, είναι οι εξής σχέσεις

Τρίγωνο με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ και κορυφές $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma }$.

${\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)$,

και

${\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)$.

Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον μαθηματικό Karl Mollweide.

Απόδειξη

Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι

${\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \mathrm {\Gamma } }}=d,$

όπου $d$ η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι

$\alpha =d\sin \mathrm {A}$, $\beta =d\sin \mathrm {B}$ και $\gamma =d\sin \mathrm {\Gamma }$.

(1)

Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων

$\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\quad$

(2)

και

$\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)$.

(3)

Ακόμα, θα χρησιμοποιήσουμε ότι

$\sin \mathrm {\Gamma } =2\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}$.

(4)

Απόδειξη 1ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (1) έχουμε ότι

${\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {d\sin \mathrm {A} +d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}$.

Έπειτα η (3) και η (4) δίνουν ότι

${\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{2\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}\cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}$.

Αφού οι $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma }$ είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι $\mathrm {\Gamma } =\pi -(\mathrm {A} +\mathrm {B} )$. Χρησιμοποιώντας ότι $\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )=\sin \phi$, καταλήγουμε ότι

${\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)$.

Απόδειξη 2ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (1) έχουμε ότι

${\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {d\sin \mathrm {A} -d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}$.

Έπειτα η (2) και η (4) δίνουν ότι

${\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}{2\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}\cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}{\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}$.

Αφού οι $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma }$ είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι $\mathrm {\Gamma } =\pi -(\mathrm {A} +\mathrm {B} )$. Χρησιμοποιώντας ότι $\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )=\cos \phi$, καταλήγουμε ότι

${\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)$.

Απόδειξη χωρίς λόγια

Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu.

Εφαρμογές

Νόμος των εφαπτομένων

Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, λαμβάνουμε τον νόμο των εφαπτομένων

${\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}$.