Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου

κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές ενός τριγώνου

Στην γεωμετρία, ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές και .[1]:73-74[2]:140-141[3]:86 Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται το περίκεντρο και είναι το σημείο που διέρχονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του.

Περιγεγραμμένος κύκλος ορθογωνίου τριγώνου
Περιγεγραμμένος κύκλος ορθογωνίου τριγώνου
Περιγεγραμμένος κύκλος αμβλυγώνιου τριγώνου τριγώνου
Ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός οξυγώνιου, ενός ορθογωνίου και ενός αμβλυγώνιου τριγώνου.

Το περίκεντρο ενός τριγώνου είναι: (α) εσωτερικό του σημείο αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, (β) συμπτίπτει με το μέσο της υποτείνουσας αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και (γ) εξωτερικό αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.[3]: 86 

Κάθε τρίγωνο έχει περιγεγραμμένο κύκλο, αλλά δεν ισχύει το ίδιο για κάθε πολύγωνο. Τα πολύγωνα με περιγεγραμμένο κύκλο λέγονται εγγεγραμμένα.

Απόδειξη ύπαρξης

Επεξεργασία

Θεώρημα — Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Μετρικές σχέσεις

Επεξεργασία
  • (Νόμος των ημιτόνων) Σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο με μήκη πλευρών   και ακτίνα   περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι
 
  • Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον τύπο για το εμβαδόν  , έχουμε ότι
 ,
και από τον τύπο του Ήρωνα[4]
 .
όπου   η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
  • Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από
 
  • Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από
 .
  • Αν   η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και   η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε
 .

Σχετικά θεωρήματα

Επεξεργασία
  • (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο  , το ορθόκεντρο   και το περίκεντρο   είναι συγγραμμικά και  .
  • (Θεώρημα του Όιλερ) Αν   είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και   οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε
      και  
  • Αν   το ορθόκεντρο και   το περίκεντρο, τότε
 .
  • (Θεώρημα Καρνό) Αν   η ακτίνα του εγεγγραμμένου και   η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και  ,   και   οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε
 .
  • (Θεώρημα Νάγκελ) Αν   είναι τα ύψη του τριγώνου και   το περίκεντρο, τότε
    και  .
  • Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1]: 77 [2]: 270 
  • Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1]: 76 
  • (Ευθεία Σίμσον) Για οποιοδήποτε σημείο   του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του   στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.[2]: 272-273 
  • Το περίκεντρο είναι το σημείο   του επιπέδου που ελαχιστοποιεί την μέγιστη απόσταση από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή την συνάρτηση:[5]
 .

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Επεξεργασία

Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου βασικά ακολουθεί την κατασκευή δύο μεσοκάθετων, η τομή των οποίων είναι το περίκεντρο. Αναλυτικότερα:

  1. Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα  ,   και   και ακτίνα το μέγιστο από τα   και  .
  2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής   και   των κύκλων με κέντρο το   και το  .
  3. Βρίσκουμε τα σημεία τομής   και   των κύκλων με κέντρο το   και το  .
  4. Χαράζουμε τις ευθείες που διέρχονται από τα   και  , και τα   και   αντίστοιχα.
  5. Το σημείο τομής   αυτών των δύο ευθειών είναι το περίκεντρο, και ο κύκλος   είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.
 
Κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ με κανόνα και διαβήτη.

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Περαιτέρω ανάγνωση

Επεξεργασία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. 1,0 1,1 1,2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  3. 3,0 3,1 Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α'. Αθήνα. 
  4. Πανακης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής Κατευθύνσεως). Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 44. 
  5. Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Laurent, Pierre-Jean (2015). «A characterization by optimization of the orthocenter of a triangle». Elemente der Mathematik 70 (2): 45–48. doi:10.4171/EM/273.