Διχοτόμος γωνίας
Στη γεωμετρία, η διχοτόμος ευθεία ή απλώς διχοτόμος μιας γωνίας στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.[1]:52[2]:79-89[3][4]
Η διχοτόμος ως γεωμετρικός τόπος
ΕπεξεργασίαΘεώρημα — Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των εσωτερικών σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.[2]: 79-80 [4]: 26
Απόδειξη |
Έστω η διχοτόμος της γωνίας και σημείο της . Φέρνουμε τις κάθετες στην και στην . Θέλουμε να δείξουμε ότι οι αποστάσεις και είναι ίσες. Τα τρίγωνα και είναι ίσα ως ορθογώνια με την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσα. Συνεπώς . Αντίστροφα, έστω η γωνία και εσωτερικό της σημείο τέτοιο ώστε να ισαπέχει από τις και , δηλαδή . Τότε τα τρίγωνα και είναι ίσα ως ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και ίση κάθετη πλευρά. Συνεπώς, . |
Εσωτερικές διχοτόμοι τριγώνου
ΕπεξεργασίαΣε ένα τρίγωνο η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας είναι το ευθύγραμμο τμήμα που διχοτομεί την και είναι το σημείο της . Αντίστοιχα ορίζονται οι διχοτόμοι των κορυφών και . Οι διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με ή αντίστοιχα.
Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου
ΕπεξεργασίαΤο θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο η διχοτόμος ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών, δηλαδή,[4]: 95
Έγκεντρο τριγώνου
ΕπεξεργασίαΟι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.[2]: 80 [3]: 35-36
Μήκος διχοτόμου
ΕπεξεργασίαΑπό το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:[3]: 39 [4]: 125
- , και .
Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής:[5]:265-266[3]: 69 [6]:128
- και ,
και επίσης
- , και .
Ανισοτική σχέση
ΕπεξεργασίαΘεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο με ισχύει ότι , και αντίστροφα.[2]: 83
Εξωτερικές διχοτόμοι τριγώνου
ΕπεξεργασίαΈνα τρίγωνο έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το σχήμα στο πλάι δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχούν στην κορυφή . Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με ή αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο .
Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου
ΕπεξεργασίαΤο θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο η εξωτερική διχοτόμος ενός τριγώνου με ικανοποιεί[4]: 95-96
Παράκεντρα τριγώνου
ΕπεξεργασίαΣε ένα τρίγωνο οι εξωτερικές διχοτόμοι και η εσωτερική διχοτόμος διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου.[2]: 80-81 Ονομάζεται το παράκεντρο του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται παρεγγεγραμμένος. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα και .
Μήκος διχοτόμου
ΕπεξεργασίαΑπό το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:[3]: 40 [4]: 125-126
- , και .
Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις[5]: 266-267 [3]: 70
- , και .
και επίσης
- , και .
Γεωμετρική κατασκευή
ΕπεξεργασίαΗ διχοτόμος μίας γωνίας μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:
- Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής των δύο πλευρών της γωνίας.
- Θεωρούμε και τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας.
- Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα και και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το .
- Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.
Αναλυτική γεωμετρία
ΕπεξεργασίαΈστω δύο ευθείες με εξισώσεις:
Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις
και
Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.
Περαιτέρω ανάγνωση
ΕπεξεργασίαΕλληνικά άρθρα
Επεξεργασία- Ν. Μαρκάκης (1982). «Παραλληλία και καθετότητα στη διχοτόμο». Ευκλείδης Β΄ (3): 160-164. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3135.
Ξενόγλωσσα άρθρα
Επεξεργασία- Constantia, Mary (1964). «Dr. Hopkins' proof of the angle bisector problem». The Mathematics Teacher 57 (8): 539-541. https://www.jstor.org/stable/27957138.
- Touval, Ayana (2011). «Teaching the Perpendicular Bisector: A Kinesthetic Approach». The Mathematics Teacher 105 (4): 269-273. doi:. https://www.jstor.org/stable/10.5951/mathteacher.105.4.0269.
- Smith, T. Knape (Φεβρουαρίου 1969). «184. Angle bisector theorems». The Mathematical Gazette 53 (383): 58–59. doi:. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1969-02_53_383/page/58.
- Abu-Saymeh, Sadi; Al-Momani, Yaqeen; Hajja, Mowaffaq; Hayajneh, Mostafa (Νοεμβρίου 2021). «Long medians and long angle bisectors». The Mathematical Gazette 105 (564): 397–409. doi: .
- Mironescu, Petru; Panaitopol, Laurentiu (Ιανουαρίου 1994). «The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths». The American Mathematical Monthly 101 (1): 58–60. doi:. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1994-01_101_1/page/58.
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
- ↑ 5,0 5,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
- ↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.