Τραπέζιο

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, τραπέζιο είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται βάσεις και η απόστασή τους ύψος του τραπεζίου. Τέλος το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου· πρόκειται για το τμήμα της μεσοπαράλληλης των βάσεων που αποκόπτουν οι μη παράλληλες πλευρές.

Τραπέζιο

\mathrm {AB\Gamma \Delta }

με βάσεις τις

\mathrm {AB}

και

\mathrm {\Gamma \Delta }

. Οι

\mathrm {A\Gamma }

και

\mathrm {B\Delta }

είναι διαγώνιοι του.

Το ύψος

u

του τραπεζίου και η διάμεσος

\mathrm {M_{1}M_{2}}

.

Ειδική περίπτωση τραπεζίου είναι το παραλληλόγραμμο, το ισοσκελές τραπέζιο και το ορθογώνιο τραπέζιο.

Ιδιότητες Επεξεργασία

Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.^[1]^[2]^:103-107

Απόδειξη: Έστω $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ ένα τραπέζιο με βάσεις $\mathrm {AB}$ , $\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {A\Gamma }$ η διαγώνιος. Από το μέσο $\mathrm {M} _{1}$ της $\mathrm {A\Delta }$ φέρνουμε ευθεία $\epsilon$ παράλληλη προς την $\mathrm {\Delta \Gamma }$ . Στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Gamma }$ , η $\epsilon$ διέρχεται από το μέσο της πλευράς $\mathrm {A\Delta }$ και είναι παράλληλη στην πλευρά $\mathrm {\Gamma \Delta }$ , άρα περνάει από το μέσο της τρίτης πλευράς $\mathrm {A\Gamma }$ , ας το πούμε $\mathrm {E}$ , και έτσι τα $\mathrm {M_{1}E}$ , $\mathrm {\Gamma \Delta } /2$ είναι ίσα και παράλληλα. Όμοια, στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ το $\mathrm {E}$ είναι μέσο της $\mathrm {A\Gamma }$ και η $\mathrm {EM_{2}}$ παράλληλη στην $\mathrm {AB}$ , άρα το $\mathrm {M} _{2}$ θα είναι το μέσο της \mathrm{B\Gamma} και έτσι τα $\mathrm {M_{2}E}$ , $\mathrm {AB} /2$ ειναι ίσα και παράλληλα. Συνεπώς η $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ θα είναι η διάμεσος του τραπεζίου και θα ισχύει

\mathrm {M_{1}M_{2}} =\mathrm {M_{1}E} +\mathrm {EM_{2}} \parallel ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}

.

Η διάμεσος τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων και τους αποκόπτει τμήμα ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων.

Η διάμεσος ενός τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του και το τμήμα που αποκόπτεται από αυτές ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων.

Απόδειξη: Για τους ίδιους λόγους όπως στην προηγούμενη ιδιότητα, το $\mathrm {Z}$ είναι το μέσον της $\mathrm {B\Delta }$ . Επομένως,

\mathrm {EZ} =\mathrm {M_{1}E} -\mathrm {M_{1}Z} ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } -\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } }{2}}

.

Το $\mathrm {EZ}$ είναι παράλληλο με τις βάσεις ως τμήμα της διαμέσου του τραπεζίου. $\square$

Εμβαδόν Επεξεργασία

Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος, δηλαδή^[1]^:164-169^[2]^:240-241

\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {AH} .

Καμιά φορά γράφεται ως

\mathrm {E} ={\frac {(B+\beta )\cdot u}{2}}

.

Η διαγώνιος του

\mathrm {AB\Gamma \Delta }

χωρίζει το τραπέζιο σε δύο τρίγωνα με ίσο ύψος.

Απόδειξη: Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου:

{\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})

.

Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων $\mathrm {AB\Gamma }$ και $\mathrm {\Gamma \Delta A}$ :

{\begin{aligned}\mathrm {E} &=(\mathrm {AB\Gamma } )+(\mathrm {\Gamma \Delta A} )={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AH_{\mathrm {A} }} ={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot u+{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot u\\&={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot u,\end{aligned}}

χρησιμοποιώντας ότι $\mathrm {AH_{\mathrm {A} }} =\mathrm {\Gamma H_{\mathrm {\Gamma } }} =u$ . $\square$

Από τον παρακάτω τύπο για το ύψος του τραπεζίου προκύπτει ο εξής τύπος για το εμβαδόν συναρτήσει των πλευρών:

{\frac {1}{2}}\cdot (\alpha +\gamma )\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.

Το εμβαδόν του τραπεζίου επίσης ισούται με το γινόμενο της μίας μη-παράλληλης πλευράς και της απόστασης του μέσου της από την άλλη.

Μετρικές σχέσεις Επεξεργασία

Το ύψος ενός τραπεζίου με $\alpha <\gamma$ δίνεται από τους τύπους

{\begin{aligned}u&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {(-\alpha +\beta +\gamma +\delta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma +\delta )\cdot (-\alpha -\beta +\gamma +\delta )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma -\delta )}}\\&={\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.\end{aligned}}

Οι διαγώνιες δίνονται από τους τύπους

\mathrm {B\Delta } ^{2}={\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha \beta ^{2}-\alpha \gamma ^{2}+\gamma \alpha ^{2}-\gamma \delta ^{2}}}\quad {\text{και}}\quad \mathrm {A\Gamma } ^{2}={\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha \delta ^{2}-\alpha \gamma ^{2}+\gamma \alpha ^{2}-\gamma \beta ^{2}}}.

Ανισοτικές σχέσεις Επεξεργασία

Σε ένα τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με παράλληλες τις $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta }$ , ισχύει ότι:^[3]^:78^[1]^:89-90^[2]^:103-107

|\mathrm {B\Delta } -\mathrm {A\Gamma } |<\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } <\mathrm {B\Delta } +\mathrm {A\Gamma } .

και

|\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } |<\mathrm {B\Gamma } +\mathrm {A\Delta } .

Ειδικές περιπτώσεις Επεξεργασία

Ισοσκελές τραπέζιο με ΑΔ=ΒΓ.

Ισοσκελές τραπέζιο Επεξεργασία

Ένα τραπέζιο που έχει τις μη-παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές. Ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Ειδική περίπτωση περίπτωση είναι το τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.

Ορθογώνιο τραπέζιο με

{\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{o}

.

Ορθογώνιο τραπέζιο Επεξεργασία

Ένα τραπέζιο που έχει τις δύο του γωνίες ορθές λέγεται ορθογώνιο.

Ένα παραλληλόγραμμο

\mathrm {AB\Gamma \Delta }

.

Παραλληλόγραμμο Επεξεργασία

Ένα τραπέζιο που έχει όλες τις πλευρές του ανά δύο παράλληλες είναι ένα παραλληλόγραμμο. Από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι είναι και ίσες.

Περιγεγραμμένο τραπέζιο Επεξεργασία

Ένα τραπέζιο λέγεται περιγεγραμμένο αν υπάρχει κύκλος στον οποίο και οι τέσσερις πλευρές του τραπεζίου εφάπτονται. Δεν είναι όλα τα τραπέζια περιγεγραμμένα.

Εφαρμογές Επεξεργασία

Τραπεζοειδής αποσύνθεση Επεξεργασία

Στην υπολογιστική γεωμετρία, η τραπεζοειδής αποσύνθεση^[4]^[5] χωρίζει έναν χώρο με $n$ αντικείμενα (που αναπαριστούνται από πολύγωνα), σε τραπέζια παίρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα $xx'$ . Ενώνοντας τα γειτονικά τραπέζια, λαμβάνουμε έναν γράφο που μας επιτρέπει π.χ. να βρίσκουμε μονοπάτια μεταξύ δύο τοποθεσιών στον αρχικό χώρο.

Τραπεζοειδής αποσύνθεση για δύο αντικείμενα

\mathrm {A} _{1}

και

\mathrm {A} _{2}

μέσα σε ένα πολύγωνο.

Ο γράφος που προκύπτει από την τραπεζοειδή αποσύνθεση.

Δείτε ακόμη Επεξεργασία

Το Βικιλεξικό έχει σχετικό λήμμα:
τραπέζιο

Παραπομπές Επεξεργασία

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α'. Αθήνα.
↑ Seidel, Raimund (1 Ιουλίου 1991). «A simple and fast incremental randomized algorithm for computing trapezoidal decompositions and for triangulating polygons». Computational Geometry 1 (1): 51–64. doi:https://doi.org/10.1016/0925-7721(91)90012-4.
↑ Choset, Howie. «Robotic motion planning: Cell decompositions» (PDF). CMU. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2023.

[N73-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.

[Tav-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[3] Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α'. Αθήνα.

[4] Seidel, Raimund (1 Ιουλίου 1991). «A simple and fast incremental randomized algorithm for computing trapezoidal decompositions and for triangulating polygons». Computational Geometry 1 (1): 51–64. doi:https://doi.org/10.1016/0925-7721(91)90012-4.

[5] Choset, Howie. «Robotic motion planning: Cell decompositions» (PDF). CMU. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2023.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]