Τραπέζιο
Στην ευκλείδεια γεωμετρία, τραπέζιο είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται βάσεις και η απόστασή τους ύψος του τραπεζίου. Τέλος το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου· πρόκειται για το τμήμα της μεσοπαράλληλης των βάσεων που αποκόπτουν οι μη παράλληλες πλευρές.
Ειδική περίπτωση τραπεζίου είναι το παραλληλόγραμμο, το ισοσκελές τραπέζιο και το ορθογώνιο τραπέζιο.
Ιδιότητες
Επεξεργασία- Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.[1][2]:103-107
- Η διάμεσος ενός τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του και το τμήμα που αποκόπτεται από αυτές ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων.
Εμβαδόν
ΕπεξεργασίαΤο εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος, δηλαδή[1]: 164-169 [2]: 240-241
Καμιά φορά γράφεται ως
- ,
όπου το κεφαλαίο σηματοδοτεί την μεγάλη βάση και το μικρό την μικρή.
Απόδειξη | |||||||
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου:
Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων και :
|
Από τον παρακάτω τύπο για το ύψος του τραπεζίου προκύπτει ο εξής τύπος για το εμβαδόν συναρτήσει των πλευρών:
Το εμβαδόν του τραπεζίου επίσης ισούται με το γινόμενο της μίας μη-παράλληλης πλευράς και της απόστασης του μέσου της από την άλλη.
Μετρικές σχέσεις
Επεξεργασία- Το ύψος ενός τραπεζίου με δίνεται από τους τύπους
Απόδειξη |
Θεωρούμε την παράλληλη από το στο . Επομένως, . Από τον τύπο του Ήρωνα στο τρίγωνο έχουμε ότι όπου , η ημιπερίμετρος του τριγώνου . Αναδιατάσσοντας την παραπάνω παράσταση λαμβάνουμε τους ζητούμενους τύπους. |
- Οι διαγώνιες δίνονται από τους τύπους
- και
Απόδειξη |
Από τον νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα και : Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις και αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση. |
Ανισοτικές σχέσεις
ΕπεξεργασίαΣε ένα τραπέζιο με παράλληλες τις και , ισχύει ότι:[3]:78[1]: 89-90 [2]: 103-107
και
Ειδικές περιπτώσεις
ΕπεξεργασίαΙσοσκελές τραπέζιο
ΕπεξεργασίαΈνα τραπέζιο που έχει τις μη-παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές. Ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Ειδική περίπτωση περίπτωση είναι το τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.
Ορθογώνιο τραπέζιο
ΕπεξεργασίαΈνα τραπέζιο που έχει τις δύο του γωνίες ορθές λέγεται ορθογώνιο.
Παραλληλόγραμμο
ΕπεξεργασίαΈνα τραπέζιο που έχει όλες τις πλευρές του ανά δύο παράλληλες είναι ένα παραλληλόγραμμο. Από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι είναι και ίσες.
Περιγεγραμμένο τραπέζιο
ΕπεξεργασίαΈνα τραπέζιο λέγεται περιγεγραμμένο αν υπάρχει κύκλος στον οποίο και οι τέσσερις πλευρές του τραπεζίου εφάπτονται. Δεν είναι όλα τα τραπέζια περιγεγραμμένα.
Εφαρμογές
ΕπεξεργασίαΤραπεζοειδής αποσύνθεση
ΕπεξεργασίαΣτην υπολογιστική γεωμετρία, η τραπεζοειδής αποσύνθεση[4][5] χωρίζει έναν χώρο με αντικείμενα (που αναπαριστούνται από πολύγωνα), σε τραπέζια παίρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα . Ενώνοντας τα γειτονικά τραπέζια, λαμβάνουμε έναν γράφο που μας επιτρέπει π.χ. να βρίσκουμε μονοπάτια μεταξύ δύο τοποθεσιών στον αρχικό χώρο.
Δείτε ακόμη
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ 1,0 1,1 1,2 Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
- ↑ Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α'. Αθήνα.
- ↑ Seidel, Raimund (1 Ιουλίου 1991). «A simple and fast incremental randomized algorithm for computing trapezoidal decompositions and for triangulating polygons». Computational Geometry 1 (1): 51–64. doi: .
- ↑ Choset, Howie. «Robotic motion planning: Cell decompositions» (PDF). CMU. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2023.