Παράλληλες ευθείες
ευθείες του ίδιου επιπέδου χωρίς κοινό σημείο
Στην γεωμετρία, παράλληλες ευθείες είναι δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν έχουν κοινά σημεία.[1]:36-38[2]:16[3]:41-43

Δύο ευθείες και που είναι παράλληλες συμβολίζονται ως .
Ιδιότητες
Επεξεργασία- Έστω μία ευθεία και ένα σημείο εξωτερικό αυτής. Υπάρχει μοναδική ευθεία που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στην . (Αξίωμα παραλληλίας)
- Αν , τότε και (συμμετρική ιδιότητα).
- Αν και , και επιπλέον , τότε .
- Για καμία ευθεία δεν ισχύει ότι (μη-ανακλαστική ιδιότητα).
- Αν και , και επιπλέον τότε .
- Αν και , τότε
- Αν και η τέμνει την , τότε τέμνει και την .
- Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές.
Δύο παράλληλες ευθείες και μία τέμνουσα
ΕπεξεργασίαΈστω δύο παράλληλες ευθείες και που τέμνονται από την ευθεία στα σημεία και . Τότε,
- οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες ( και ).
- οι εντός εκτός και επί τα αυτά είναι ίσες ( , , και )
- οι εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές ( και ).
Αναλυτική γεωμετρία
ΕπεξεργασίαΣυνθήκη παραλληλίας
Επεξεργασία- Δύο ευθείες με εξισώσεις
- ,
- ,
- είναι παράλληλες ανν
- και .
- Δύο ευθείες με εξισώσεις
- ,
- ,
- είναι παράλληλες ανν
- , και , ή
- και .
Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών
ΕπεξεργασίαΔύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις
- ,
- ,
έχουν απόσταση
- .
Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη
ΕπεξεργασίαΜπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη μία ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο και είναι παράλληλη στην ευθεία ως εξής:
- Διαλέγουμε ένα τυχόν σημείο της .
- Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο το και ακτίνα και εντοπίζουμε ένα κοινό του σημείο με την .
- Με την ίδια ακτίνα, διαγράφουμε κύκλους με κέντρο το και , οι οποίοι τέμνονται στο και σε ένα άλλο σημείο, έστω .
- Η ευθεία που διέρχεται από τα είναι η παράλληλη στην (καθώς το είναι ρόμβος).
Θεωρήματα και σχετικές έννοιες
Επεξεργασία- (Θεωρημα Θαλή) Έστω και δύο παράλληλες ευθείες, και ένα τυχόν σημείο του επιπέδου, τότε για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το τέμνουν την στα σημεία και , και την στα και , ισχύει ότι
- .
- Αντίστροφα, ισχύει ότι αν
- ,
- τότε οι ευθείες και είναι παράλληλες.
- (Παραλληλόγραμμο) Ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο.
- (Μεσοπαράλληλη ευθεία) Η μεσοπαράλληλος δύο παράλληλων ευθειών είναι η ευθεία που είναι παράλληλη στις δύο άλλες και ισαπέχει από αυτές.
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Ντάνης, Γιάννης. Γεωμετρία: Η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας. Gutenberg.
- ↑ Πάμφιλος, Πάρις (2016). Γεωμετρικόν (PDF).
- ↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.