Παράλληλες ευθείες

ευθείες του ίδιου επιπέδου χωρίς κοινό σημείο

Στην γεωμετρία, παράλληλες ευθείες είναι δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν έχουν κοινά σημεία.[1]:36-38[2]:16[3]:41-43

Δύο παράλληλες ευθείες και .

Δύο ευθείες και που είναι παράλληλες συμβολίζονται ως .

Ιδιότητες

Επεξεργασία
  • Έστω   μία ευθεία και   ένα σημείο εξωτερικό αυτής. Υπάρχει μοναδική ευθεία που διέρχεται από το   και είναι παράλληλη στην  . (Αξίωμα παραλληλίας)
  • Αν  , τότε και   (συμμετρική ιδιότητα).
  • Αν   και  , και επιπλέον  , τότε  .
  • Για καμία ευθεία   δεν ισχύει ότι   (μη-ανακλαστική ιδιότητα).
  • Αν   και  , και επιπλέον   τότε  .
  • Αν   και  , τότε  
  • Αν   και η   τέμνει την  , τότε τέμνει και την  .
  • Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Δύο παράλληλες ευθείες και μία τέμνουσα

Επεξεργασία
 
Οι ίσες γωνίες που δημιουργούνται όταν δύο παράλληλες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία.

Έστω δύο παράλληλες ευθείες   και   που τέμνονται από την ευθεία   στα σημεία   και  . Τότε,

  • οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες (  και  ).
  • οι εντός εκτός και επί τα αυτά είναι ίσες ( ,  ,   και  )
  • οι εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές (  και  ).

Αναλυτική γεωμετρία

Επεξεργασία

Συνθήκη παραλληλίας

Επεξεργασία
  • Δύο ευθείες με εξισώσεις
 ,
 ,
είναι παράλληλες ανν
  και  .
  • Δύο ευθείες με εξισώσεις
 ,
 ,
είναι παράλληλες ανν
  •  ,   και  , ή
  •   και  .

Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών

Επεξεργασία
 
Η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών   και   είναι το μήκος του κόκκινου ευθυγράμμου τμήματος.

Δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις

 ,
 ,

έχουν απόσταση

 .

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Επεξεργασία
 
Κατασκευή παράλληλης στην   που διέρχεται από δοσμένο σημείο  .

Μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη μία ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο   και είναι παράλληλη στην ευθεία   ως εξής:

  1. Διαλέγουμε ένα τυχόν σημείο   της  .
  2. Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο το   και ακτίνα   και εντοπίζουμε ένα κοινό του σημείο   με την  .
  3. Με την ίδια ακτίνα, διαγράφουμε κύκλους με κέντρο το   και  , οι οποίοι τέμνονται στο   και σε ένα άλλο σημείο, έστω  .
  4. Η ευθεία που διέρχεται από τα   είναι η παράλληλη στην   (καθώς το   είναι ρόμβος).

Θεωρήματα και σχετικές έννοιες

Επεξεργασία
Το θεώρημα τομής του Θαλή λέει ότι  .
  • (Θεωρημα Θαλή) Έστω   και   δύο παράλληλες ευθείες, και   ένα τυχόν σημείο του επιπέδου, τότε για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το   τέμνουν την   στα σημεία   και  , και την   στα   και  , ισχύει ότι
 .
Αντίστροφα, ισχύει ότι αν
 ,
τότε οι ευθείες   και   είναι παράλληλες.
 
Ένα παραλληλόγραμμο  .
 
Η μεσοπαράλληλη   δύο παράλληλων ευθειών   και   αποτελείται από όλ τα σημεία που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.
  • (Μεσοπαράλληλη ευθεία) Η μεσοπαράλληλος δύο παράλληλων ευθειών είναι η ευθεία που είναι παράλληλη στις δύο άλλες και ισαπέχει από αυτές.

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Ντάνης, Γιάννης. Γεωμετρία: Η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας. Gutenberg. 
  2. Πάμφιλος, Πάρις (2016). Γεωμετρικόν (PDF). 
  3. Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.