Παράλληλες ευθείες

Στην γεωμετρία, παράλληλες ευθείες είναι δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν έχουν κοινά σημεία.

Δύο παράλληλες ευθείες $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$.

Δύο ευθείες $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ που είναι παράλληλες συμβολίζονται ως $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}$.

Ιδιότητες

• Έστω $\varepsilon$ μία ευθεία και ${\rm {P}}$ ένα σημείο εξωτερικό αυτής. Υπάρχει μοναδική ευθεία που διέρχεται από το ${\rm {P}}$ και είναι παράλληλη στην $\varepsilon$. (Αξίωμα παραλληλίας)
• Αν $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}$, τότε και $\varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{1}$ (συμμετρική ιδιότητα).
• Αν $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{3}$, και επιπλέον $\varepsilon _{1}\neq \varepsilon _{3}$, τότε $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{3}$.
• Για καμία ευθεία $\varepsilon$ δεν ισχύει ότι $\varepsilon \parallel \varepsilon$ (μη-ανακλαστική ιδιότητα).
• Αν $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{3}$, και επιπλέον $\varepsilon _{2}\neq \varepsilon _{3}$ τότε $\varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{3}$.
• Αν $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{3}\perp \varepsilon _{1}$, τότε $\varepsilon _{3}\perp \varepsilon _{2}$
• Αν $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}$ και η $\varepsilon _{3}$ τέμνει την $\varepsilon _{1}$, τότε τέμνει και την $\varepsilon _{2}$.
• Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Δύο παράλληλες ευθείες και μία τέμνουσα

Οι ίσες γωνίες που δημιουργούνται όταν δύο παράλληλες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία.

Έστω δύο παράλληλες ευθείες $\delta$ και $\varepsilon$ που τέμνονται από την ευθεία $\zeta$ στα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$. Τότε,

• οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες (${\hat {\rm {A}}}_{3}={\hat {\rm {B}}}_{1}$ και ${\hat {\rm {A}}}_{4}={\hat {\rm {B}}}_{2}$).
• οι εντός εκτός και επί τα αυτά είναι ίσες (${\hat {\rm {A}}}_{1}={\hat {\rm {B}}}_{1}$, ${\hat {\rm {A}}}_{2}={\hat {\rm {B}}}_{2}$, ${\hat {\rm {A}}}_{3}={\hat {\rm {B}}}_{3}$ και ${\hat {\rm {A}}}_{4}={\hat {\rm {B}}}_{4}$)
• οι εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές (${\hat {\rm {A}}}_{3}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}_{2}$ και ${\hat {\rm {A}}}_{4}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}_{1}$).

Αναλυτική γεωμετρία

Συνθήκη παραλληλίας

• Δύο ευθείες με εξισώσεις

$y=\lambda _{1}x+\beta _{1}\quad (\varepsilon _{1})$,

$y=\lambda _{2}x+\beta _{2}\quad (\varepsilon _{2})$,

είναι παράλληλες ανν

$\lambda _{1}=\lambda _{2}$ και $\beta _{1}\neq \beta _{2}$.

• Δύο ευθείες με εξισώσεις

$A_{1}x+B_{1}y+{\mathit {\Gamma }}_{1}=0\quad (\varepsilon _{1})$,

$A_{2}x+B_{2}y+{\mathit {\Gamma }}_{2}=0\quad (\varepsilon _{2})$,

είναι παράλληλες ανν

• $B_{1}=B_{2}=0$, $A_{1},A_{2}\neq 0$ και ${\mathit {\Gamma }}_{1}A_{2}\neq {\mathit {\Gamma }}_{2}A_{1}$, ή
• $A_{1}B_{2}=A_{2}B_{1}$ και $B_{1},B_{2}\neq 0$.

Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών

Η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι το μήκος του κόκκινου ευθυγράμμου τμήματος.

Δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}_{1}=0\quad (\varepsilon _{1})$,

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}_{2}=0\quad (\varepsilon _{2})$,

έχουν απόσταση

$d={\frac {|{\mathit {\Gamma }}_{2}-{\mathit {\Gamma }}_{1}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Κατασκευή παράλληλης στην $\varepsilon$ που διέρχεται από δοσμένο σημείο ${\rm {A}}$.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη μία ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο ${\rm {A}}$ και είναι παράλληλη στην ευθεία $\varepsilon$ ως εξής:

1. Διαλέγουμε ένα τυχόν σημείο ${\rm {B}}$ της $\varepsilon$.
2. Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο το ${\rm {B}}$ και ακτίνα ${\rm {AB}}$ και εντοπίζουμε ένα κοινό του σημείο ${\rm {\Gamma }}$ με την $\varepsilon$.
3. Με την ίδια ακτίνα, διαγράφουμε κύκλους με κέντρο το ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {A}}$, οι οποίοι τέμνονται στο ${\rm {B}}$ και σε ένα άλλο σημείο, έστω $\Delta$.
4. Η ευθεία που διέρχεται από τα ${\rm {A\Delta }}$ είναι η παράλληλη στην $\varepsilon$ (καθώς το ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ρόμβος).

Θεωρήματα και σχετικές έννοιες

Το θεώρημα τομής του Θαλή λέει ότι ${\rm {{\tfrac {\Sigma A}{AB}}={\tfrac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}$.

• (Θεωρημα Θαλή) Έστω $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ δύο παράλληλες ευθείες, και $\Sigma$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου, τότε για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το $\Sigma$ τέμνουν την $\varepsilon _{1}$ στα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {\Gamma }}$, και την $\varepsilon _{2}$ στα ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Delta }}$, ισχύει ότι

${\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}$.

Αντίστροφα, ισχύει ότι αν

${\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}$,

τότε οι ευθείες $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι παράλληλες.

Ένα παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

• (Παραλληλόγραμμο) Ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο.

Η μεσοπαράλληλη $\mu$ δύο παράλληλων ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ αποτελείται από όλ τα σημεία που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.

• (Μεσοπαράλληλη ευθεία) Η μεσοπαράλληλος δύο παράλληλων ευθειών είναι η ευθεία που είναι παράλληλη στις δύο άλλες και ισαπέχει από αυτές.

Δείτε επίσης

• Κάθετες ευθείες
• Ασύμβατες ευθείες
• Αξίωμα παραλληλίας