Κώνος

Στη στερεομετρία, κώνος είναι το στερεό σχήμα που περιέχεται μεταξύ μιας κωνικής επιφάνειας, στην οποία ο οδηγός είναι κλειστή καμπύλη γραμμή, και ενός επιπέδου που τέμνει όλες τις γενέτειρες της κωνικής επιφάνειας, χωρίς να διέρχεται από την κορυφή αυτής.

Κώνοι

Κυκλικός κώνος

Όταν ο οδηγός της κωνικής επιφάνειας είναι περιφέρεια κύκλου, τότε μιλάμε για κυκλικό κώνο. Με τον τελευταίο όρο καλείται το μέρος μιας χώνης κυκλικής κωνικής επιφάνειας που τερματίζεται σε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο της οδηγού περιφέρειας αυτής.

Στοιχεία

• Κορυφή: πρόκειται για την κορυφή της κωνικής επιφάνειας από την οποία προέρχεται ο κώνος.
• Βάση: είναι η επίπεδη τομή από την οποία ορίζεται ο κώνος.
• Πλάγια ή παράπλευρη ή κυρτή επιφάνεια: είναι το τμήμα της κωνικής επιφάνειας που κείται μεταξύ της βάσης και της κορυφής του κώνου.
• Πλευρά ή ακμή του κώνου: καλείται το μέρος μιας γενέτειρας της κωνικής επιφάνειας από την οποία προέρχεται ο κώνος, που περιορίζεται μεταξύ της βάσης και της κορυφής αυτού.
• Ύψος: καλείται η απόσταση της κορυφής του κώνου από τη βάση του.
• Άξονας: πρόκειται για το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από το κέντρο της κυκλικής βάσης του κώνου και την κορυφή του.

Είδη

Υπάρχουν διαφορετικά είδη κώνων. Έτσι, όταν η βάση ενός κυκλικού κώνου είναι κάθετη στον άξονά του, ο κώνος ονομάζεται ορθός ή εκ περιστροφής. Αυτός ο κώνος έχει ίσες ακμές. Αυτός μπορεί να θεωρηθεί ότι γράφεται από ορθογώνιο τρίγωνο, το οποίο στρέφεται γύρω από μια κάθετη πλευρά του κατά 360 μοίρες.Επίσης, το στερεό σχήμα που περιορίζεται μεταξύ της βάσης ενός κώνου και μιας τομής αυτού, παράλληλης προς τη βάση του, λέγεται κόλουρος κώνος . Ο τελευταίος διακρίνεται σε πρώτου είδους, που έχει τις δύο βάσεις του στο ίδιο μέρος της χώνης της κωνικής επιφάνειας και σε δευτέρου είδους, που καθεμία από τις δύο βάσεις του είναι σε διαφορετική χώνη της κωνικής επιφάνειας.

Αλγεβρική μορφή

Οι παραμετρικές εξισώσεις του κώνου είναι οι εξής:

$X(u,v)=a\cdot (2\sin u-\left|2\sin u+1\right|+\left|2\sin u-1\right|)\cdot \sin v$

$Y(u,v)=a\cdot (2\sin u-\left|2\sin u+1\right|+\left|2\sin u-1\right|)\cdot \cos v$

$Z(u,v)=b\cdot (\left|2\sin u-1\right|+\left|2\sin u+1\right|)$,

για $0\leq u\leq 2\pi$ και $0\leq v\leq 2\pi$. Οι σταθερές $a,b$ πού καθορίζουν τό μέγεθος του κώνου.

Εμβαδό επιφάνειας

Αν $\rho$ είναι η ακτίνα της κυκλικής βάσης ενός κώνου, $\lambda$ η γενέτειρα και $\upsilon$ το ύψος του, τότε ανάμεσα στα τρία ισχύει από το Πυθαγόρειο θεώρημα

$\lambda ^{2}=\rho ^{2}+\upsilon ^{2}$.

Το εμβαδό της κυρτής επιφάνειας του κώνου δίνεται από τον τύπο

$\mathrm {E} _{\text{κυρ}}=\pi \cdot \rho \cdot \lambda$.

Επίσης, το εμβαδό της ολικής του επιφάνειας δίνεται από τον τύπο

$\mathrm {E} _{\text{ολ}}=\pi \cdot \rho \cdot \lambda +\pi \cdot \rho ^{2}$.

Όγκος

Ο όγκος του κώνου δίνεται από τον τύπο

$\mathrm {V} ={\tfrac {1}{3}}\pi \cdot \rho ^{2}\cdot \upsilon$,

όπου $\upsilon$ είναι το ύψος του κώνου και $\rho$ η ακτίνα της βάσης.

Πηγές

• Συλλογικό έργο, Εγκυκλοπαίδεια 2002, έκδ. 1983, τ. 10, σελ 372, 381-82.
• Συλλογικό έργο, Νέα Εγκυκλοπαιδεία, τ. 14, σελ. 14, εκδ. Μαλλιάρης- Παιδεία, 2006.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Spinning Cone από το Math Is Fun
• Μοντέλο κώνου από χαρτί
• Lateral surface area of an oblique cone