Ορθογώνιο συμπλήρωμα

Στα μαθηματικά ειδικότερα στη γραμμική άλγεβρα και τη συναρτησιακή ανάλυση, το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υποχώρου $W$ ενός διανυσματικού χώρου $V$ εξοπλισμένου με μια διγραμμική μορφή $B$ είναι το σύνολο $W^{\perp }$ όλων των διανυσμάτων στο $V$ που είναι ορθογώνια σε κάθε διάνυσμα στο $W$ . Ανεπίσημα, ονομάζεται perp, συντομογραφία του κάθετου συμπληρώματος. Είναι ένας υποχώρος του $V$ .

Παράδειγμα

Έστω $V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ο διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ (καθιστώντας τον έτσι χώρο εσωτερικού γινομένου), και έστω

$W=\{\mathbf {u} \in V:\mathbf {A} x=\mathbf {u} ,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},$

με $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.$

τότε το ορθογώνιο συμπλήρωμα του

$W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {u} \in W\}$

μπορεί επίσης να οριστεί ως

$W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\mathbf {\tilde {A}} y=\mathbf {v} ,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},$

είναι $\mathbf {\tilde {A}} ={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

Το γεγονός ότι κάθε διάνυσμα στήλης στο $\mathbf {A}$ είναι ορθογώνιο προς κάθε διάνυσμα στήλης στο $\mathbf {\tilde {A}}$ μπορεί να ελεγχθεί με άμεσο υπολογισμό. Το γεγονός ότι τα διαστήματα αυτών των διανυσμάτων είναι ορθογώνια προκύπτει τότε από τη διγραμμικότητα του εσωτερικού γινομένου. Τέλος, το γεγονός ότι οι χώροι αυτοί είναι ορθογώνια συμπληρώματα προκύπτει από τις σχέσεις διαστάσεων που δίνονται παρακάτω.

Γενικές διγραμμικές μορφές

Έστω $V$ ένας διανυσματικός χώρος πάνω από ένα πεδίο $\mathbb {F}$ εφοδιασμένος με μια διγραμμική μορφή $B.$ Ορίζουμε ότι η $\mathbf {u}$ είναι αριστερά ορθογώνια στην $\mathbf {v}$ και η $\mathbf {v}$ είναι δεξιά ορθογώνια στην $\mathbf {u}$ , όταν $B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0.$ Για ένα υποσύνολο $W$ του $V,$ ορίστε το αριστερό-ορθογώνιο συμπλήρωμα $W^{\perp }$ να είναι

$W^{\perp }=\left\{\mathbf {x} \in V:B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\ \ \forall \ \mathbf {y} \in W\right\}.$

Υπάρχει ένας αντίστοιχος ορισμός του δεξιού ορθογώνιου συμπληρώματος. Για μια αντανακλαστική διγραμμική μορφή, όπου $B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\implies B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0\ \ \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$ , το αριστερό και το δεξιό συμπλήρωμα συμπίπτουν. Αυτό θα συμβαίνει αν η $B$ είναι μια συμμετρική ή μια είναι μια συμμετρική ή μια εναλλασσόμενη μορφή.

Ο ορισμός επεκτείνεται σε μια διγραμμική μορφή σε μια ελεύθερη ενότητα πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο, και σε μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή που επεκτείνεται ώστε να περιλαμβάνει οποιαδήποτε ελεύθερο πρότυπο πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο με συζυγία.^[1]

Ιδιότητες

Ένα ορθογώνιο συμπλήρωμα είναι ένας υποχώρος του $V$ ,
Αν $X\subseteq Y$ τότε $X^{\perp }\supseteq Y^{\perp }$ ,
Η ρίζα $V^{\perp }$ του $V$ είναι ένας υποχώρος κάθε ορθογώνιου συμπληρώματος,
$W\subseteq (W^{\perp })^{\perp }$ ;
Αν το $B$ είναι μη εκφυλισμένο και το $V$ είναι πεπερασμένης διάστασης, τότε $\dim(W)+\dim(W^{\perp })=\dim(V)$ .
Αν $L_{1},\ldots ,L_{r}$ είναι υποχώροι ενός πεπερασμένης διάστασης χώρου $V$ και $L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},$ τότε $L_{*}^{\perp }=L_{1}^{\perp }+\cdots +L_{r}^{\perp }$

Χώροι εσωτερικού γινομένου

Δείτε επίσης: Προβολή (γραμμική άλγεβρα)

Αυτή η ενότητα εξετάζει τα ορθογωνικά συμπληρώματα σε ένα χώρο εσωτερικού γινομένου $H$ .^[2]

Δύο διανύσματα $\mathbf {x}$ και $\mathbf {y}$ ονομάζονται ορθογώνια αν ⟨ $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$ , το οποίο συμβαίνει αν και μόνο αν $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$ , το οποίο συμβαίνει αν και μόνο αν $\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +s\mathbf {y} \|\ \forall$ scalars $s$ .^[3]

Αν $C$ είναι οποιοδήποτε υποσύνολο ενός χώρου εσωτερικού γινομένου $H$ τότε το ορθογώνιο συμπλήρωμα του στον $H$ είναι ο διανυσματικός υποχώρος

${\begin{aligned}C^{\perp }:&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {x} ,\mathbf {c} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\\&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {c} ,\mathbf {x} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\end{aligned}}$

το οποίο είναι πάντα ένα κλειστό υποσύνολο (άρα, ένας κλειστός διανυσματικός υποχώρος) του $H$ ^[3] ^{[proof 1]} που ικανοποιεί:

$C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }$ ;
$C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}$ ;
$C^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}$ ;
$C\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }$ ;
$\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }$ .

Αν $C$ είναι ένας διανυσματικός υποχώρος ενός χώρου εσωτερικού γινομένου $H$ τότε

$C^{\bot }=\left\{\mathbf {x} \in H:\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +\mathbf {c} \|\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\right\}.$

Αν $C$ είναι ένας κλειστός διανυσματικός υποχώρος ενός χώρου Χίλμπερτ $H$ τότε ^[3]

$H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ και }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C$

όπου

$H=C\oplus C^{\bot }$ ονομάζεται ορθογώνια αποσύνθεση του $H$ σε $C$ και $C^{\bot }$ και δείχνει ότι $C$ είναι ένας συμπληρωμένος υποχώρος του $H$ με συμπλήρωμα $C^{\bot }.$

Ιδιότητες

Το ορθογώνιο συμπλήρωμα είναι πάντα κλειστό στη μετρική τοπολογία. Σε χώρους πεπερασμένων διαστάσεων, αυτό είναι απλώς μια περίπτωση του γεγονότος ότι όλοι οι υποχώροι ενός διανυσματικού χώρου είναι κλειστοί. Στους άπειρης διάστασης χώρους Χίλμπερτ, ορισμένοι υποχώροι δεν είναι κλειστοί, αλλά όλα τα ορθογώνια συμπληρώματα είναι κλειστά. Αν ο $W$ είναι ένας διανυσματικός υποχώρος ενός χώρου εσωτερικού γινομένου, το ορθογώνιο συμπλήρωμα του ορθογώνιου συμπληρώματος του $W$ είναι η κλειστότητα του $W,$ δηλαδή,

$\left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.$

Ορισμένες άλλες χρήσιμες ιδιότητες που ισχύουν πάντα είναι οι ακόλουθες. Έστω $H$ ένας χώρος Χίλμπερτ και έστω $X$ και $Y$ γραμμικοί υποχώροι. Τότε:

$X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }$ ;
αν $Y\subseteq X$ then $X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }$ ;
$X\cap X^{\bot }=\{0\}$ ;
$X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }$ ;
αν $X$ είναι ένας κλειστός γραμμικός υποχώρος του $H$ τότε $(X^{\bot })^{\bot }=X$ ;
αν $X$ είναι ένας κλειστός γραμμικός υποχώρος του $H$ τότε $H=X\oplus X^{\bot },$ το εσωτερικό άμεσο άθροισμα.

Το ορθογώνιο συμπλήρωμα γενικεύεται στον εκμηδενιστή και δίνει μια σύνδεση Γκαλουά σε υποσύνολα του χώρου του εσωτερικού γινομένου, με σχετικό τελεστή κλεισότητας την τοπολογική κλειστότητα της έκτασης.

Πεπερασμένες διαστάσεις

Για έναν πεπερασμένης διάστασης χώρο εσωτερικού γινομένου διάστασης $n$ , το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός $k$ -διάστατου υποχώρου είναι ένας $(n-k)$ -διάστατος υποχώρος και το διπλό ορθογώνιο συμπλήρωμα είναι ο αρχικός υποχώρος: $\left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.$

Αν $\mathbf {A} \in \mathbb {M} _{mn}$ , όπου ${\mathcal {R}}(\mathbf {A} )$ , ${\mathcal {C}}(\mathbf {A} )$ , και ${\mathcal {N}}(\mathbf {A} )$ αναφέρονται στο χώρο των γραμμών και χώρο στηλών , και του μηδενικού χώρου των $\mathbf {A}$ (αντιστοίχως), τότε^[4] $\left({\mathcal {R}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} )\qquad {\text{ και }}\qquad \left({\mathcal {C}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }).$

Χώροι Μπάναχ

Υπάρχει ένα φυσικό ανάλογο αυτής της έννοιας στους γενικούς χώρους Μπάναχ. Σε αυτή την περίπτωση ορίζει κανείς το ορθογώνιο συμπλήρωμα του $W$ ως έναν υποχώρο του δυϊκού του $V$ που ορίζεται παρόμοια με τον εκμηδενιστή.

$W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.$

Είναι πάντα ένας κλειστός υποχώρος του $V^{*}$ . Υπάρχει επίσης ένα ανάλογο της ιδιότητας του διπλού συμπληρώματος. Ο $W^{\perp \perp }$ είναι τώρα ένας υποχώρος του $V^{**}$ (ο οποίος δεν ταυτίζεται με τον $V$ ). Ωστόσο, οι αντανακλαστικοί χώροι έχουν έναν φυσικό ισομορφισμό $i$ μεταξύ των $V$ και $V^{**}$ . Σε αυτή την περίπτωση έχουμε

$i{\overline {W}}=W^{\perp \perp }.$

Αυτό είναι μια μάλλον απλή συνέπεια του θεωρήματος Χαν-Μπάναχ.

Εφαρμογές

Στην ειδική σχετικότητα το ορθογώνιο συμπλήρωμα χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του ταυτόχρονου υπερεπιπέδου σε ένα σημείο μιας γενικής γραμμής. Η διγραμμική μορφή $\eta$ που χρησιμοποιείται στο Χωροχρόνος Μινκόβσκι καθορίζει έναν ψευδοευκλείδειο χώρο γεγονότων^[5]. Όταν ένα χρονικό γεγονός και ένα χωρικό γεγονός αποτιμώνται στο μηδέν σύμφωνα με τη διγραμμική μορφή, τότε είναι υπερβολικά ορθογώνια. Αυτή η ορολογία προέρχεται από τη χρήση συζυγών υπερβολών στο ψευδοευκλείδειο επίπεδο: οι συζυγείς διάμετροι αυτών των υπερβολών είναι υπερβολικά ορθογώνιες.

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375
Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 73, Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

Παραπομπές

↑ Adkins & Weintraub (1992) p.359
↑ Adkins&Weintraub (1992) p.272
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Rudin 1991, σελίδες 306-312.
↑ "Orthogonal Complement"
↑ G. D. Birkhoff (1923) Relativity and Modern Physics, pages 62,63, Harvard University Press

↑ If $C=\varnothing$ then $C^{\bot }=H,$ which is closed in $H$ so assume $C\neq \varnothing .$ Let ${\textstyle P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F} }$ where $\mathbb {F}$ is the underlying scalar field of $H$ and define $L:H\to P$ by $L(h):=\left(\langle h,c\rangle \right)_{c\in C},$ which is continuous because this is true of each of its coordinates $h\mapsto \langle h,c\rangle .$ Then $C^{\bot }=L^{-1}(0)=L^{-1}\left(\{0\}\right)$ is closed in $H$ because $\{0\}$ is closed in $P$ and $L:H\to P$ is continuous. If $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ is linear in its first (respectively, its second) coordinate then $L:H\to P$ is a [[:en:linear map]|linear map]] (resp. an antilinear map); either way, its kernel $\operatorname {ker} L=L^{-1}(0)=C^{\bot }$ is a vector subspace of $H.$ Q.E.D.

Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).

[1] Adkins & Weintraub (1992) p.359

[2] Adkins&Weintraub (1992) p.272

[FOOTNOTERudin1991306-312-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Rudin 1991, σελίδες 306-312.

[5] "Orthogonal Complement"

[6] G. D. Birkhoff (1923) Relativity and Modern Physics, pages 62,63, Harvard University Press

[4] If $C=\varnothing$ then $C^{\bot }=H,$ which is closed in $H$ so assume $C\neq \varnothing .$ Let ${\textstyle P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F} }$ where $\mathbb {F}$ is the underlying scalar field of $H$ and define $L:H\to P$ by $L(h):=\left(\langle h,c\rangle \right)_{c\in C},$ which is continuous because this is true of each of its coordinates $h\mapsto \langle h,c\rangle .$ Then $C^{\bot }=L^{-1}(0)=L^{-1}\left(\{0\}\right)$ is closed in $H$ because $\{0\}$ is closed in $P$ and $L:H\to P$ is continuous. If $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ is linear in its first (respectively, its second) coordinate then $L:H\to P$ is a [[:en:linear map]|linear map]] (resp. an antilinear map); either way, its kernel $\operatorname {ker} L=L^{-1}(0)=C^{\bot }$ is a vector subspace of $H.$ Q.E.D.

[1]

[2]

[3]

[proof 1]

[4]

[5]