Πίνακας Γκραμ

Στη γραμμική άλγεβρα, ο πίνακας Γκραμ (ή Γκραμιανός πίνακας, Γκραμιανός) ενός συνόλου διανυσμάτων $v_{1},\dots ,v_{n}$ σε ένα χώρο εσωτερικών γινομένων είναι ο ερμιτιανός πίνακας εσωτερικών γινομένων, του οποίου οι εγγραφές δίνονται από το εσωτερικό γινόμενο $G_{ij}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle$.. Αν τα διανύσματα $v_{1},\dots ,v_{n}$ είναι οι στήλες του πίνακα $X$ τότε ο πίνακας Γκραμ είναι $X^{\dagger }X$ στη γενική περίπτωση που οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι μιγαδικοί αριθμοί, ο οποίος απλοποιείται σε $X^{\top }X$ για την περίπτωση που οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι πραγματικοί αριθμοί.

Μια σημαντική εφαρμογή είναι ο υπολογισμός της γραμμικής ανεξαρτησίας: ένα σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα εάν και μόνο εάν η ορίζουσα Γκραμ (η ορίζουσα του πίνακα Γκραμ) είναι είναι διάφορη του μηδενός.

Παραδείγματα

Για πεπερασμένων διαστάσεων πραγματικά διανύσματα στο $\mathbb {R} ^{n}$ με το συνηθισμένο ευκλείδειο τετραγωνικό γινόμενο, ο πίνακας Γκραμ είναι $G=V^{\top }V$, όπου $V$ είναι ένας πίνακας του οποίου οι στήλες είναι τα διανύσματα $v_{k}$ και $V^{\top }$ είναι η αντιστροφή του, της οποίας οι γραμμές είναι τα διανύσματα $v_{k}^{\top }$. Για μιγαδικά διανύσματα στο $\mathbb {C} ^{n}$, $G=V^{\dagger }V$, όπου $V^{\dagger }$ είναι η συζυγής μεταφορά του $V$.

Με δεδομένες τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $\{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}$ στο διάστημα $\left[t_{0},t_{f}\right]$, ο πίνακας Γκραμ $G=\left[G_{ij}\right]$ είναι:

$G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\ell _{i}^{*}(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .$

όπου $\ell _{i}^{*}(\tau )$ είναι η μιγαδικός συζυγής του $\ell _{i}(\tau )$.

Για οποιαδήποτε διγραμμική μορφή $B$ σε έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο πάνω από οποιοδήποτε σώμα μπορούμε να ορίσουμε έναν πίνακα Γκραμ $G$ που συνδέεται με ένα σύνολο διανυσμάτων $v_{1},\dots ,v_{n}$ με τη σχέση $G_{ij}=B\left(v_{i},v_{j}\right)$. Ο πίνακας θα είναι συμμετρικός αν η διγραμμική μορφή $B$ είναι συμμετρική.

Εφαρμογές

• Στη γεωμετρία του Ρίμαν, δεδομένης μιας ενσωματωμένης $k$-διάστατης πολλαπλότητας του Ρίμαν $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ και μιας παραμετροποίησης $\phi :U\to M$ για $(x_{1},\ldots ,x_{k})\in U\subset \mathbb {R} ^{k}$, η μορφή όγκου $\omega$ στην $M$ που επάγεται από την ενσωμάτωση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την Γκραμιανή των εφαπτομενικών διανυσμάτων των συντεταγμένων:

$\omega ={\sqrt {\det G}}\ dx_{1}\cdots dx_{k},\quad G=\left[\left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right].$

Αυτό γενικεύει το κλασικό επιφανειακό ολοκλήρωμα μιας παραμετροποιημένης επιφάνειας $\phi :U\to S\subset \mathbb {R} ^{3}$ for $(x,y)\in U\subset \mathbb {R} ^{2}$

$\int _{S}f\ dA=\iint _{U}f(\phi (x,y))\,\left|{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\,{\times }\,{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right|\,dx\,dy.$

• Αν τα διανύσματα είναι κεντραρισμένες τυχαίες μεταβλητές, η Γκραμιανή είναι περίπου ανάλογη του πίνακα συνδιακύμανσης, με την κλιμάκωση να καθορίζεται από τον αριθμό των στοιχείων του διανύσματος.
• Στην κβαντική χημεία, ο πίνακας Γκραμ ενός συνόλου διανυσμάτων βάσης είναι ο πίνακας επικάλυψης.
• Στη θεωρία ελέγχου (ή γενικότερα στη θεωρία συστημάτων), η Γκράμιαν της δυνατότητας ελέγχου και η Γκράμιαν της δυνατότητας παρατήρησης καθορίζουν τις ιδιότητες ενός γραμμικού συστήματος.
• Οι πίνακες Γκραμ προκύπτουν στην προσαρμογή μοντέλων δομής συνδιακύμανσης (βλέπε π.χ. Τζαμσίντιαν και Μπέντλερ, 1993, Εφαρμοσμένη Ψυχολογική Μέτρηση, τόμος 18, σελ. 79-94).
• Στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, ο πίνακας Γκραμ προκύπτει από την προσέγγιση μιας συνάρτησης από έναν πεπερασμένης διάστασης χώρο- οι καταχωρήσεις του πίνακα Γκραμ είναι τότε τα εσωτερικά γινόμενα των συναρτήσεων βάσης του πεπερασμένης διάστασης υποχώρου.
• Στη μηχανική μάθηση, οι συναρτήσεις πυρήνα συχνά αναπαρίστανται ως πίνακες Γκραμ (βλέπε επίσης Κερνέλ PCA).
• Επειδή ο πίνακας Γκραμ πάνω στους πραγματικούς είναι συμμετρικός πίνακας, είναι διαγωνοποιήσιμος και οι ιδιοτιμές του είναι μη αρνητικές. Η διαγωνοποίηση του πίνακα Γκραμ είναι η Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές.

Θετικός-θετικός ημιτελής

Ο πίνακας Γκραμ είναι συμμετρικός στην περίπτωση που το πραγματικό γινόμενο είναι πραγματικής αξίας- είναι ερμιτιανός στη γενική, μιγαδική περίπτωση λόγω του ορισμού του εσωτερικού γινομένου.

Ο πίνακας Γκραμ είναι θετικός ημιτελής και κάθε θετικός ημιτελής πίνακας είναι ο πίνακας Γκραμ για κάποιο σύνολο διανυσμάτων. Το γεγονός ότι ο πίνακας Γκραμ είναι θετικός ημιτελής μπορεί να φανεί από την ακόλουθη απλή παραγώγιση:

$x^{\dagger }\mathbf {G} x=\sum _{i,j}x_{i}^{*}x_{j}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\sum _{i,j}\left\langle x_{i}v_{i},x_{j}v_{j}\right\rangle ={\biggl \langle }\sum _{i}x_{i}v_{i},\sum _{j}x_{j}v_{j}{\biggr \rangle }={\biggl \|}\sum _{i}x_{i}v_{i}{\biggr \|}^{2}\geq 0.$

Η πρώτη ισότητα προκύπτει από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού πινάκων, η δεύτερη και η τρίτη από τη διγραμμικότητα του εσωτερικού γινομένου και η τελευταία από τη θετική οριστικότητα του εσωτερικού γινομένου. Ας σημειωθεί ότι αυτό δείχνει επίσης ότι ο πίνακας Γκραμ είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν τα διανύσματα $v_{i}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα (δηλαδή, ${\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\neq 0}$ για όλα τα $x$).

Εύρεση μιας διανυσματικής υλοποίησης

Δεδομένου οποιουδήποτε θετικού ημιπεριορισμένου πίνακα $M$, μπορεί κανείς να τον αναλύσει ως εξής:

$M=B^{\dagger }B$,

όπου $B^{\dagger }$ είναι η συζυγής μεταφορά του $B$ (ή $M=B^{\textsf {T}}B$ στην πραγματική περίπτωση).

Εδώ ο $B$ είναι ένας $k\times n$ πίνακας, όπου $k$ είναι η τάξη του $M$. Διάφοροι τρόποι για να ληφθεί μια τέτοια ανάλυση περιλαμβάνουν τον υπολογισμό της αποσύνθεσης Τσολέσκι ή τη λήψη της μη αρνητικής τετραγωνικής ρίζας του $M$.

Οι στήλες $b^{(1)},\dots ,b^{(n)}$ του $B$ μπορούν να θεωρηθούν ως n διανύσματα στο $\mathbb {C} ^{k}$ (ή στον k -διάστατο Ευκλείδειο χώρο $\mathbb {R} ^{k}$, στην πραγματική περίπτωση). Τότε

$M_{ij}=b^{(i)}\cdot b^{(j)}$

όπου το εσωτερικό γινόμενο ${\textstyle a\cdot b=\sum _{\ell =1}^{k}a_{\ell }^{*}b_{\ell }}$ είναι το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο στο $\mathbb {C} ^{k}$.

Έτσι, ένας ερμιτιανός πίνακας $M$ είναι θετικός ημιτελής αν και μόνο αν είναι ο πίνακας Γκραμ κάποιων διανυσμάτων $b^{(1)},\dots ,b^{(n)}$. Τέτοια διανύσματα ονομάζονται διανυσματική υλοποίηση του $M$. Το απειροδιάστατο ανάλογο αυτής της δήλωσης είναι το θεώρημα του Μερσέρ.

Μοναδικότητα των διανυσματικών υλοποιήσεων

Αν $M$ είναι ο πίνακας Γκραμ των διανυσμάτων $v_{1},\dots ,v_{n}$ στο $\mathbb {R} ^{k}$ τότε η εφαρμογή οποιασδήποτε περιστροφής ή ανάκλασης του $\mathbb {R} ^{k}$ (οποιοσδήποτε ορθογώνιος μετασχηματισμός, δηλαδή οποιαδήποτε ευκλείδεια ισομετρία που διατηρεί το 0) στην ακολουθία των διανυσμάτων οδηγεί στον ίδιο πίνακα Γκραμ. Δηλαδή, για κάθε $k\times k$ ορθογώνιο πίνακα $Q$, ο πίνακας Γκραμ του $Qv_{1},\dots ,Qv_{n}$ είναι επίσης $M$.}

Αυτός είναι ο μόνος τρόπος με τον οποίο δύο πραγματικές διανυσματικές υλοποιήσεις του $M$ μπορούν να διαφέρουν: τα διανύσματα $v_{1},\dots ,v_{n}$ είναι μοναδικά μέχρι ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Με άλλα λόγια, τα τετραγωνικά γινόμενα $v_{i}\cdot v_{j}$ και $w_{i}\cdot w_{j}$ είναι ίσα αν και μόνο αν κάποιος άκαμπτος μετασχηματισμός του $\mathbb {R} ^{k}$ μετασχηματίζει τα διανύσματα $v_{1},\dots ,v_{n}$ σε $w_{1},\dots ,w_{n}$ και 0 σε 0.

Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση των μιγαδικών, με μοναδιαίους μετασχηματισμούς στη θέση των ορθογώνιων. Δηλαδή, αν ο πίνακας Γκραμ των διανυσμάτων $v_{1},\dots ,v_{n}$ είναι ίσος με τον πίνακα Γκραμ των διανυσμάτων $w_{1},\dots ,w_{n}$ στο $\mathbb {C} ^{k}$ τότε υπάρχει ένας μοναδιαίος $k\times k$ πίνακας $U$ (δηλαδή $U^{\dagger }U=I$) τέτοιος ώστε $v_{i}=Uw_{i}$ για $i=1,\dots ,n$.

Άλλες ιδιότητες

• Επειδή $G=G^{\dagger }$, είναι απαραίτητο να ισχύει ότι $G$ και $G^{\dagger }$ αντιμετατίθενται. Δηλαδή, ένας πραγματικός ή μιγαδικός πίνακας Γκραμ $G$ είναι επίσης ένας κανονικός πίνακας.
• Ο πίνακας Γκραμ οποιασδήποτε ορθοκανονικής βάσης είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ισοδύναμα, ο πίνακας Gram των γραμμών ή των στηλών ενός πραγματικού πίνακα περιστροφής είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ομοίως, ο πίνακας Γκραμ των γραμμών ή των στηλών ενός μοναδιαίου πίνακα είναι ο πίνακας ταυτότητας.
• Ο βαθμός του πίνακα Γκραμ των διανυσμάτων στο $\mathbb {R} ^{k}$ ή $\mathbb {C} ^{k}$ ισούται με τη διάσταση του χώρου που καλύπτουν τα διανύσματα αυτά.

Ορίζουσα Γκραμ

H Ορίζουσα Γκραμ ή Γκραμιανή είναι η ορίζουσα του πίνακα Γκραμ:

${\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\begin{vmatrix}\langle v_{1},v_{1}\rangle &\langle v_{1},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{1},v_{n}\rangle \\\langle v_{2},v_{1}\rangle &\langle v_{2},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{2},v_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle v_{n},v_{1}\rangle &\langle v_{n},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{n},v_{n}\rangle \end{vmatrix}}.$

Αν $v_{1},\dots ,v_{n}$ είναι διανύσματα στο $\mathbb {R} ^{m}$ τότε είναι το τετράγωνο του n-διάστατου όγκου του παραλληλότοπου που σχηματίζεται από τα διανύσματα. Ειδικότερα, τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν και μόνο αν ο παραλληλότοπος έχει μη μηδενικό n-διάστατο όγκο, αν και μόνο αν η ορίζουσα Γκραμ είναι μη μηδενική, αν και μόνο αν ο πίνακας Γκραμ είναι μη-σημαδιακός. Όταν n' > m η ορίζουσα και ο όγκος είναι μηδέν. Όταν n = m, αυτό ανάγεται στο τυπικό θεώρημα ότι η απόλυτη τιμή της ορίζουσας n n διαστάσεων διανυσμάτων είναι ο n διαστάσεων όγκος. Η ορίζουσα Γκραμ είναι επίσης χρήσιμος για τον υπολογισμό του όγκου του simplex (απλού) σχήματος που σχηματίζεται από τα διανύσματα- ο όγκος του είναι Όγκος(παραλληλότοπος) / n!}.

Η ορίζουσα Γκραμ μπορεί επίσης να εκφραστεί ως προς το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ως εξής

${\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}=\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\|^{2}.$

Όταν τα διανύσματα $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} ^{m}$ ορίζονται από τις θέσεις των σημείων $p_{1},\ldots ,p_{n}$ σε σχέση με κάποιο σημείο αναφοράς $p_{n+1}$,

$(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=(p_{1}-p_{n+1},p_{2}-p_{n+1},\ldots ,p_{n}-p_{n+1})\,,$

τότε η ορίζουσα Γκραμ μπορεί να γραφεί ως η διαφορά δύο ορίζουσες Γκραμ,

${\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\bigl |}G((p_{1},1),\dots ,(p_{n+1},1)){\bigr |}-{\bigl |}G(p_{1},\dots ,p_{n+1}){\bigr |}\,,$

όπου κάθε $(p_{j},1)$ είναι το αντίστοιχο σημείο $p_{j}$ συμπληρωμένο με την τιμή της συντεταγμένης 1 για μια διάσταση $(m+1)$-st. Ας σημειωθεί ότι στην κοινή περίπτωση που n' = m, ο δεύτερος όρος στη δεξιά πλευρά θα είναι μηδέν.

Κατασκευή ορθοκανονικής βάσης

Δεδομένου ενός συνόλου γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων $\{v_{i}\}$ με τον πίνακα Γκραμ $G$ που ορίζεται από τη σχέση $G_{ij}:=\langle v_{i},v_{j}\rangle$, μπορεί κανείς να κατασκευάσει μια ορθοκανονική βάση

$u_{i}:=\sum _{j}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ji}v_{j}.$

Σε συμβολισμό πινάκων, $U=VG^{-1/2}$, όπου το $U$ έχει ορθοκανονικά διανύσματα βάσης $\{u_{i}\}$ και ο πίνακας $V$ αποτελείται από τα συγκεκριμένα διανύσματα στήλης $\{v_{i}\}$.

Ο πίνακας $G^{-1/2}$ είναι εγγυημένα υπαρκτός. Πράγματι, ο $G$ είναι Ερμιτιανός και έτσι μπορεί να αναλυθεί ως $G=UDU^{\dagger }$ με $U$ έναν μοναδιαίο πίνακα και $D$ έναν πραγματικό διαγώνιο πίνακα. Επιπλέον, οι $v_{i}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητοι αν και μόνο αν ο $G$ είναι θετικά ορισμένος, πράγμα που σημαίνει ότι οι διαγώνιες εγγραφές του $D$ είναι θετικές. Επομένως, η $G^{-1/2}$ ορίζεται μοναδικά από τη σχέση $G^{-1/2}:=UD^{-1/2}U^{\dagger }$. Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι αυτά τα νέα διανύσματα είναι ορθοκανονικά:

${\begin{aligned}\langle u_{i},u_{j}\rangle &=\sum _{i'}\sum _{j'}{\Bigl \langle }{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{i'i}v_{i'},{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{j'j}v_{j'}{\Bigr \rangle }\\[10mu]&=\sum _{i'}\sum _{j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ii'}G_{i'j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{j'j}\\[8mu]&={\bigl (}G^{-1/2}GG^{-1/2}{\bigr )}_{ij}=\delta _{ij}\end{aligned}}$

όπου χρησιμοποιείται ${\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}^{\dagger }=G^{-1/2}$.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Ερμιτιανός πίνακας
• Ακέραια περιοχή
• Ορίζουσα
• Αλεξάντερ Γκρότεντικ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Elementary Matrix Theory
• Applied Linear Algebra
• Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Τόμος 17
• Advanced Mathematical And Computational Tools In Metrology And Testing Ix
• Linear Algebra and Geometry
• Geophysical Inverse Theory
• Introduction to Applied Linear Algebra: Vectors, Matrices, and Least Squares

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Apostol, Tom (1981). Mathematical analysis. Addison-Wesley. 
• Argand (1814). «Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise» (στα γαλλικά). Annales de mathématiques pures et appliquées 5: 197–209. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126479&view=1up&seq=209. 
• Stewart, G. W. (1993). «On the Early History of the Singular Value Decomposition». SIAM Review 35 (4): 551–566. doi:10.1137/1035134. http://citeseer.ist.psu.edu/stewart92early.html. 
• Wall, Michael E., Andreas Rechtsteiner, Luis M. Rocha (2003). «Singular value decomposition and principal component analysis». Στο: D.P. Berrar, W. Dubitzky, M. Granzow. A Practical Approach to Microarray Data Analysis. Norwell, MA: Kluwer. σελίδες 91–109.