Πίνακας M

Στα μαθηματικά, ιδίως στη γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας Μ είναι ένας πίνακας του οποίου οι εκτός διαγωνίου καταχωρήσεις είναι μικρότερες ή ίσες με το μηδέν (δηλαδή είναι ένας πίνακας Ζ) και του οποίου οι ιδιοτιμές έχουν μη αρνητικά πραγματικά μέρη. Το σύνολο των μη-ιδιαζόντων πινάκων Μ είναι ένα υποσύνολο της κλάσης των πινάκων Ρ, καθώς επίσης και της κλάσης των αντίστροφα θετικών πινάκων (δηλαδή πινάκων με αντίστροφους που ανήκουν στην κλάση των θετικών πινάκων. Το όνομα πίνακας Μ φαίνεται ότι επιλέχθηκε αρχικά από τον Αλεξάντερ Οστρόφσκι σε αναφορά στον Χέρμαν Μινκόφσκι, ο οποίος απέδειξε ότι αν ένας πίνακας Ζ έχει όλα τα αθροίσματα των γραμμών του θετικά, τότε η ορίζουσα του πίνακα αυτού είναι θετική.

Χαρακτηρισμοί

Ένας πίνακας Μ ορίζεται συνήθως ως εξής:

Ορισμός: Έστω A ένας πραγματικός πίνακας Z n × n. Δηλαδή, A = (a_ij) όπου a_ij ≤ 0 για όλα τα i ≠ j, 1 ≤ i,j ≤ n. Τότε ο πίνακας A είναι επίσης ένας πίνακας M αν μπορεί να εκφραστεί στη μορφή A = sI − B, όπου b_ij ≥ 0, για όλα τα 1 ≤ i,j ≤ n, όπου s είναι τουλάχιστον τόσο μεγάλο όσο το μέγιστο των modulus των ιδιοτιμών του B, και I είναι ένας ταυτοτικός πίνακας.

Για τη μη-ιδιάζουσα ιδιότητα του A, σύμφωνα με το θεώρημα Περόν-Φρομπένιους, πρέπει να ισχύει ότι s > ρ(B). Επίσης, για έναν μη-ιδιάζων πίνακα M, τα διαγώνια στοιχεία a_ii του A πρέπει να είναι θετικά. Εδώ θα χαρακτηρίσουμε περαιτέρω μόνο την κλάση των μη-ιδιαζόντων πινάκων M.

Υπάρχουν πολλές προτάσεις που είναι ισοδύναμες με αυτόν τον ορισμό των μη-ιδιαζόντων πινάκων M, και οποιαδήποτε από αυτές τις προτάσεις μπορεί να χρησιμεύσει ως αρχικός ορισμός ενός μη-ιδιαζόντων M πίνακα . Παραδείγματος χάριν, ο Πλέμμονς απαριθμεί 40 τέτοιες ισοδυναμίες. Αυτοί οι χαρακτηρισμοί έχουν κατηγοριοποιηθεί από τον Πλέμμονς από την άποψη των σχέσεών τους με τις ιδιότητες των: (1) θετικότητα των κύριων ελάσσονων, (2) αντίστροφη θετικότητα και διασπάσεις, (3) σταθερότητα, και (4) ημιθετικότητα και διαγώνια κυριαρχία. Είναι λογικό να κατηγοριοποιούμε τις ιδιότητες με αυτόν τον τρόπο επειδή οι δηλώσεις εντός μιας συγκεκριμένης ομάδας σχετίζονται μεταξύ τους ακόμη και όταν ο πίνακας A είναι ένας αυθαίρετος πίνακας και όχι απαραίτητα ένας πίνακας Ζ. Εδώ αναφέρουμε μερικούς χαρακτηρισμούς από κάθε κατηγορία.

Ισοδυναμίες

Παρακάτω, το ≥ δηλώνει τη στοιχειομετρική τάξη (όχι τη συνήθη θετική ημιορισμένη τάξη σε πίνακες). Δηλαδή, για οποιουσδήποτε πραγματικούς πίνακες A, B μεγέθους m × n, γράφουμε A ≥ B (or A > B) if a_ij ≥ b_ij (or a_ij > b_ij) for all i, j.

Έστω A ένας n' × n πραγματικός πίνακας Z, τότε οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες με το ότι ο A είναι ένας μη-ιδιάζων πίνακας M:

Θετικότητα των κύριων ελασσόνων

• Όλοι οι κύριοι ελάσσονες του A είναι θετικοί. Δηλαδή, η ορίζουσα κάθε υποπίνακα του Α που προκύπτει από τη διαγραφή ενός συνόλου, ενδεχομένως κενού, αντίστοιχων γραμμών και στηλών του Α είναι θετική.
• A' + D είναι μη ιδιάζων για κάθε μη αρνητικό διαγώνιο πίνακα D.
• Κάθε πραγματική ιδιοτιμή του A είναι θετική.
• Όλες οι κύριες κύριες ελάσσονες του A είναι θετικές.
• Υπάρχουν κατώτερος και ανώτερος τριγωνικός πίνακας L και U αντίστοιχα, με θετικές διαγωνίους, έτσι ώστε A' = LU.

Αντίστροφη θετικότητα και διάσπαση

• Α είναι αντίστροφα θετικό. Δηλαδή, το A⁻¹ υπάρχει και το A⁻¹ ≥ 0.
• Α είναι μονοτονικός. Δηλαδή, Ax ≥ 0 συνεπάγεται x ≥ 0.
• Α έχει συγκλίνουσα κανονική διάσπαση. Δηλαδή, το Α έχει μια παράσταση A = M − N, όπου M⁻¹ ≥ 0, N ≥ 0 με M⁻¹N συγκλίνουσα. Δηλαδή,ρ(M⁻¹N) < 1.
• Υπάρχουν αντίστροφα θετικοί πίνακες M₁ and M₂ με M₁ ≤ A ≤ M₂.
• Κάθε κανονική διάσπαση του Α είναι συγκλίνουσα.

Σταθερότητα

• Υπάρχει θετικός διαγώνιος πίνακας D τέτοιος ώστε AD + DA^T να είναι θετικά ορισμένος.
• Ο Α είναι θετικά σταθερός. Δηλαδή, το πραγματικό μέρος κάθε ιδιοτιμής του Α είναι θετικό.
• Υπάρχει συμμετρικός θετικά ορισμένος πίνακας W τέτοιος ώστε AW + WA^T να είναι θετικά ορισμένος.
• Ο A + I είναι μη ιδιάζων και ο G = (A + I)⁻¹(A − I) είναι συγκλίνων.
• Ο A + I είναι μη ιδιάζων, και για G = (A + I)⁻¹(A − I), υπάρχει ένας θετικά ορισμένος συμμετρικός πίνακας W τέτοιος ώστε W − G^TWG να είναι θετικά ορισμένος.

Ημιθετικότητα και διαγώνια κυριαρχία

• Α είναι ημι-θετικό. Δηλαδή, υπάρχει x > 0 with Ax > 0.
• Υπάρχει x ≥ 0 with Ax > 0.
• Υπάρχει θετικός διαγώνιος πίνακας D τέτοιος ώστε ο AD να έχει όλα τα θετικά αθροίσματα γραμμών.
• Ο Α έχει όλα τα θετικά διαγώνια στοιχεία, και υπάρχει θετικός διαγώνιος πίνακας D τέτοιος ώστε ο AD να είναι αυστηρά διαγώνια κυρίαρχος.
• Ο Α έχει όλα τα θετικά διαγώνια στοιχεία, και υπάρχει θετικός διαγώνιος πίνακας D τέτοιος ώστε ο D⁻¹AD να είναι αυστηρά διαγώνια κυρίαρχος.

Εφαρμογές

Οι κύριες συνεισφορές στη θεωρία των πινάκων Μ προήλθαν κυρίως από μαθηματικούς και οικονομολόγους. Οι πίνακες Μ χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά για την καθιέρωση ορίων στις ιδιοτιμές και για την καθιέρωση κριτηρίων σύγκλισης για επαναληπτικές μεθόδους επίλυσης μεγάλων αραιών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Οι πίνακες Μ προκύπτουν φυσικά σε ορισμένες διακριτοποιήσεις διαφορικών τελεστών, όπως ο Λαπλασιάν, και ως τέτοιοι μελετώνται καλά στην επιστημονική πληροφορική. Οι πίνακες Μ εμφανίζονται επίσης στη μελέτη λύσεων γραμμικών προβλημάτων συμπληρωματικότητας. Γραμμικά προβλήματα συμπληρωματικότητας εμφανίζονται στον γραμμικό και τετραγωνικό προγραμματισμό, στην υπολογιστική μηχανική και στο πρόβλημα της εύρεσης σημείου ισορροπίας ενός παιγνίου bimatrix. Τέλος, οι πίνακες Μ εμφανίζονται στη μελέτη πεπερασμένων αλυσίδων Μαρκόφ στον τομέα της θεωρίας πιθανοτήτων και της επιχειρησιακής έρευνας, όπως η θεωρία ουρών αναμονής. Εν τω μεταξύ, οι οικονομολόγοι μελέτησαν τους πίνακες Μ σε σχέση με την ακαθάριστη υποκαταστασιμότητα, τη σταθερότητα μιας γενικής ισορροπίας και την ανάλυση εισροών-εκροών του Λεοντίφ σε οικονομικά συστήματα. Η συνθήκη θετικότητας όλων των κύριων ελάσσονων είναι επίσης γνωστή ως συνθήκη Χόκινς - Σιμόν στην οικονομική βιβλιογραφία. Στη μηχανική, οι πίνακες Μ εμφανίζονται επίσης στα προβλήματα ευστάθειας Λιαπούνοφ και ελέγχου ανατροφοδότησης στη θεωρία ελέγχου και σχετίζονται με τους πίνακες Χούρβιτς. Στην υπολογιστική βιολογία, οι πίνακες Μ εμφανίζονται στη μελέτη της δυναμικής των πληθυσμών.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• Gaius Julius Hyginus, Fabulae from The Myths of Hyginus translated and edited by Mary Grant. University of Kansas Publications in Humanistic Studies. Online version at the Topos Text Project.
• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Durrett, Rick (2019). Probability: Theory and Examples, 5th edition. UK: Cambridge University Press. ISBN 9781108473682. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Διανυσματικός χώρος
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Θεωρία πιθανοτήτων
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences.
• The Theory of Matrices: With Applications
• Handbook on Semidefinite, Conic and Polynomial Optimization
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Gross, Donald· Carl M. Harris (1998). Fundamentals of Queueing Theory. Wiley. ISBN 978-0-471-32812-4.  Online
• Zukerman, Moshe (2013). Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF). arXiv:1307.2968 . 
• Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd έκδοση), Cengage – Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-73545-2 
• Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1st έκδοση), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9 
• Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd έκδοση), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0