Προσεταιριστική ιδιότητα
Στα μαθηματικά, η προσεταιριστική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα που ικανοποιεί μία δυαδική πράξη, που λέει ότι η σειρά με την οποία εφαρμόζεται η πράξη δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Η πιο γνωστή τέτοια πράξη είναι η πρόσθεση στους φυσικούς αριθμούς, όπου για κάθε , ισχύει ότι
- .
Για παράδειγμα, οι παρενθέσεις στις παρακάτω πράξεις δεν επηρεάζουν το τελικό αποτέλεσμα:
- (5+2)+1 = 7 + 1 = 8
- 5+(2+1) = 5 + 3 = 8
Η ισότητα αυτή δεν εξαρτάται από τις συγκεκριμένες τιμές 5, 2 και 1 του παραδείγματος, αλλά ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς (και πιο γενικά για όλους τους πραγματικούς αριθμούς). Επομένως, λέμε ότι "η πρόσθεση πραγματικών αριθμών έχει την προσεταιριστική ιδιότητα". Αντίστοιχα, και ο πολλαπλασιασμός ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, αλλά όχι η διαίρεση και η ύψωση σε δύναμη.
Πιο γενικά, για ένα σύνολο μία δυαδική πράξη ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα αν για κάθε στοιχεία ισχύει ότι
- .
Παραδείγματα
Επεξεργασία- Στους φυσικούς, τους ρητούς και τους πραγματικούς αριθμούς, οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ικανοποιούν την ιδιότητα αυτή.
- Στην θεωρία αριθμών, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης καθώς και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών ικανοποιούν την προσεταιρτική ιδιότητα.
- Στην γραμμική άλγεβρα, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πινάκων ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.[1]
- Σε κάθε ομάδα , η δυαδική της πράξη ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.[2]
- H συνέλιξη δύο συναρτήσεων και ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.[3]
- Σε κάθε διατεταγμένο σύνολο , η πράξη του μέγιστου και του ελάχιστου ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.
Αντιπαραδείγματα
Επεξεργασία- Η διαίρεση δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,
- , ενώ .
- Η ύψωση σε δύναμη δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,
- , ενώ .
Αποδοτικότητα
ΕπεξεργασίαΠρακτικά αυτό εξυπηρετεί μερικές φορές π.χ. για να προσθέσουμε νοητά τους αριθμούς 5 + 4 + 5 + 10 + 2 με μεγαλύτερη ευκολία. Μπορούμε να σκεφτούμε «5 συν 5 συν 10 ίσον είκοσι» και «4 συν 2 ίσον έξι» επομένως το σύνολο είναι είκοσι έξι, αντί να μπλεχτούμε με πράξεις όπως 5 συν 4 ίσον 9 συν 5 ίσον 14 κλπ.
Στην πληροφορική, κάποιοι αλγόριθμοι εκμεταλλεύονται την προσεταιριστική ιδιότητα και αλλάζουν την σειρά των πράξεων ώστε να γίνει πιο αποτελεσματικά η εκτέλεσή τους. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι ο αλγόριθμος για τον πολλαπλασιασμό αλληλουχίας πινάκων.[4]
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Χαραλάμπους, Χαρά Μυρτώ Αγάπη· Φωτιάδης, Ανέστης. Μια εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα. ISBN 978-960-603-273-8.
- ↑ Θεοχάρη Αποστολίδου, Θεοδώρα. Εισαγωγή στη θεωρία ομάδων. ISBN 978-960-603-334-6.
- ↑ Ασημάκης, Νικόλαος· Αδάμ, Μαρία. Σήματα και Συστήματα. σελ. 84. ISBN 978-960-603-116-8.
- ↑ Ιωάννης Τόλλης. «Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: Δυναμικός Προγραμματισμός» (PDF). Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης.
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |