Σύνδεσμος Γκάους-Μάνιν

Στα μαθηματικά, ο σύνδεσμος Γκάους-Μάνιν είναι μια σύνδεση σε μια συγκεκριμένη διανυσματική δέσμη σε ένα χώρο βάσης S μιας οικογένειας αλγεβρικών ποικιλιών $V_{s}$. Οι ίνες της διανυσματικής δέσμης είναι οι ομάδες συνομολογίας Ραμ $H_{DR}^{k}(V_{s})$ των ινών της οικογένειας $V_{s}$. Παρουσιάστηκε από τον Γιούρι Μάνιν (1958) για καμπύλες S και από τον Αλεξάντερ Γκροτέντιεκ (1966) σε υψηλότερες διαστάσεις.

Τα επίπεδα τμήματα της δέσμης περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις- η πιο γνωστή από αυτές είναι η εξίσωση Πικάρ-Φουκς, η οποία εμφανίζεται όταν η οικογένεια ποικιλιών θεωρείται ως οικογένεια ελλειπτικών καμπυλών. Με διαισθητικούς όρους, όταν η οικογένεια είναι τοπικά τετριμμένη, οι κλάσεις συνομολογίας μπορούν να μετακινηθούν από μια ίνα της οικογένειας σε γειτονικές ίνες, δίνοντας την έννοια του "επίπεδου τμήματος" με καθαρά τοπολογικούς όρους. Η ύπαρξη της σύνδεσης πρέπει να συναχθεί από τα επίπεδα τμήματα.

Διαίσθηση

Έστω ένας ομαλός μορφισμός συστημάτων $X\to B$ με χαρακτηριστικό 0. Ως αναλυτικοί μιγαδικοί χώροι, το θεώρημα του Έρεσμαν υποδηλώνει ότι οι ίνες $X_{b}=f^{-1}(b)$ είναι ομαλές πολλαπλότητες και είναι όλες διαφορικές. Οι ομάδες συνομολογίας ντε Ραμ $H^{k}(X_{b})$ είναι επομένως όλες ισόμορφες. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την παρατήρηση για να αναρωτηθούμε τι συμβαίνει όταν προσπαθούμε να διαφοροποιήσουμε κλάσεις συνομολογίας χρησιμοποιώντας διανυσματικά πεδία από τον βασικό χώρο $B$.

Ας θεωρήσουμε μια κλάση συνομολογίας $\alpha \in H^{k}(X)$ τέτοια ώστε $i_{b}^{*}(\alpha )\in H^{k}(X_{b})$ όπου $i_{b}\colon X_{b}\to X$ είναι το υποσύνολο. Τότε, αν θεωρήσουμε τις κλάσεις

$\left[i_{b}^{\ast }\left({\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}\alpha }{\partial b_{1}^{i_{1}}\cdots \partial b_{n}^{i_{n}}}}\right)\right]\in H^{k}(X_{b})$

τελικά θα υπάρξει μια σχέση μεταξύ τους, που ονομάζεται εξίσωση Πικάρ-Φουκς. Η σύνδεση Γκάους-Μάνιν είναι ένα εργαλείο που κωδικοποιεί αυτή την πληροφορία σε μια σύνδεση στην επίπεδη διανυσματική δέσμη στο $B$ που δομείται από την $H^{k}(X_{b})$.

Παράδειγμα

Ένα συχνά αναφερόμενο παράδειγμα είναι η κατασκευή κατά Ντουόρκ της εξίσωσης Πικάρ-Φουκς.

Έστω

$V_{\lambda }(x,y,z)$ είναι η ελλειπτική καμπύλη $x^{3}+y^{3}+z^{3}-\lambda xyz=0\;$.

Εδώ, $\lambda$ είναι μια ελεύθερη παράμετρος που περιγράφει την καμπύλη- είναι ένα στοιχείο της μιγαδικής προβολικής γραμμής (η οικογένεια των υπερεπιφανειών σε $n-1$ διαστάσεις βαθμού n, που ορίζεται αναλογικά, μελετήθηκε εκτενώς τα τελευταία χρόνια, σε σχέση με το θεώρημα της αρθρωτότητας και τις επεκτάσεις του) . Έτσι, ο βασικός χώρος της δέσμης θεωρείται ότι είναι η προβολική γραμμή. Για ένα σταθερό $\lambda$ στο χώρο βάσης, θεωρήστε ένα στοιχείο $\omega _{\lambda }$ της σχετικής ομάδας συνομολογίας ντε Ραμ.

$\omega _{\lambda }\in H_{dR}^{1}(V_{\lambda }).$

Κάθε τέτοιο στοιχείο αντιστοιχεί σε μια περίοδο της ελλειπτικής καμπύλης. Η συνομολογία είναι δισδιάστατη. Η σύνδεση Γκάους-Μάνιν αντιστοιχεί στη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης.

$(\lambda ^{3}-27){\frac {\partial ^{2}\omega _{\lambda }}{\partial \lambda ^{2}}}+3\lambda ^{2}{\frac {\partial \omega _{\lambda }}{\partial \lambda }}+\lambda \omega _{\lambda }=0.$

Επεξήγηση D-Πρότυπο

Στο πιο αφηρημένο πλαίσιο της θεωρίας των D-Πρότυπων, η ύπαρξη τέτοιων εξισώσεων εντάσσεται σε μια γενική συζήτηση της άμεσης εικόνας.

Εξισώσεις "που προκύπτουν από τη γεωμετρία"

Ολόκληρη η κατηγορία των συνδέσμων Γκάους - Μάνιν χρησιμοποιήθηκε για την προσπάθεια διατύπωσης της έννοιας των διαφορικών εξισώσεων που "προκύπτουν από τη γεωμετρία". Σε σχέση με την εικασία της p-καμπυλότητας του Γκρόθεντιεκ, ο Νίκολας Κατζ απέδειξε ότι η κλάση των συνδέσεων Γκάους-Μάνιν με αλγεβρικούς αριθμητικούς συντελεστές ικανοποιεί την εικασία. Το αποτέλεσμα αυτό συνδέεται άμεσα με την έννοια της συνάρτησης Ζίγκελ G της θεωρίας υπερβατικών αριθμών, για λύσεις μερομορφικών συναρτήσεων. Η εικασία Μπομπιέρι - Ντουόρκ, που αποδίδεται επίσης στον Ιβ Αντρέ, η οποία δίνεται σε περισσότερες από μία εκδοχές, αξιώνει μια αντίστροφη κατεύθυνση: λύσεις ως συναρτήσεις G ή p-καμπυλότητα μηδενική mod p για σχεδόν όλους τους πρώτους p, σημαίνει ότι μια εξίσωση "προκύπτει από τη γεωμετρία".

Δημοσιεύσεις

• Kulikov, Valentine (1998), Mixed Hodge Structures and Singularities, Cambridge Tracts in Mathematics, σελ. 1–59  (Gives and excellent introduction to Gauss–Manin connections)
• Dimca, Alexandru, Sheaves in Topology, σελ. 55–57,206–207  (Gives example of Gauss–Manin connections and their relation to D-module theory and the Riemmann-Hilbert correspondence)
• Griffiths, Phillip, Periods of integrals on algebraic manifolds: Summary of main results and discussion of open problems, https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183531477  (Gives a quick sketch of main structure theorem of Gauss–Manin connections)
• Barrientos, Ivan, The Gauss-Manin connection and regular singular points., http://algant.eu/documents/theses/barrientos.pdf 
• Grothendieck, Alexander (1966), «On the de Rham cohomology of algebraic varieties», Publications Mathématiques de l'IHÉS, letter to Atiyah, Oct. 14 1963 29 (29): 95–103, doi:10.1007/BF02684807, ISSN 0073-8301, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__95_0 
• Manin, Ju. I. (1958), «Algebraic curves over fields with differentiation», Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 22: 737–756, http://mi.mathnet.ru/eng/izv/v22/i6/p737  English translation in Manin, Ju. I. (1964), «Algebraic curves over fields with differentiation», American Mathematical Society translations: 22 papers on algebra, number theory and differential geometry, 37, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 59–78, ISBN 978-0-8218-1737-7, https://books.google.com/books?id=fZ7ms3db_cMC 

Βιβλιογραφία

• Differential Algebraic Groups of Finite Dimension
• Calabi-Yau Varieties and Mirror Symmetry
• "Modular And Automorphic Forms & Beyond"
• "Singularity Theory I"