Ελλειπτική καμπύλη ονομάζουμε μια καμπύλη πάνω από ένα σώμα η οποία δίνεται από την εξίσωση:

Κάθε ελλειπτική καμπύλη σε σώμα με χαρακτηριστική διάφορη του 2 ή του 3 μπορεί να αναχθει με κατάλληλα αλλαγη μεταβλητων στην μορφη:

ΠαραδείγματαΕπεξεργασία

 

Άθροιση σημείωνΕπεξεργασία

Θεωρώντας ως πράξη την πρόσθεση + και συμπεριλαμβάνοντας το σημείο στο άπειρο 0, ως ουδέτερο στοιχείο, τα σημεία της ελλειπτικής καμπύλης αποτελούν μια αβελιανή ομάδα.

Έστω δύο σημεία της καμπύλης  . Φέρουμε την εύθεία που διέρχεται από αυτά και βρίσκουμε το τρίτο σημείο   που η ευθεία αυτή τέμνει την ελλειπτική καμπύλη. Το άθροισμα των   ορίζεται ως το συμμετρικό του   ως προς τον άξονα  . Το σημείο αυτό ορίζεται και ως το αντίστροφο του   και συμβολίζεται με  . Δηλαδή ισχύει:  .

Αν η ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία δεν τέμνει την ελλειπτική καμπύλη σε τρίτο, τότε το άθροισμά τους είναι το 0.