Ελλειπτική καμπύλη

Ελλειπτική καμπύλη ονομάζουμε μια καμπύλη $E$ πάνω από ένα σώμα $\mathbb {F}$ η οποία δίνεται από την εξίσωση:

$Y^{2}+a_{1}XY+a_{3}Y=a_{0}X^{3}+a_{2}X^{2}+a_{4}X+a_{6},{\mbox{ }}a_{i}\in \mathbb {F} .$

Κάθε ελλειπτική καμπύλη σε σώμα με χαρακτηριστική διάφορη του 2 ή του 3 μπορεί να αναχθει με κατάλληλα αλλαγη μεταβλητων στην μορφη:

$\,Y^{2}=X^{3}+aX+b,\quad a,b\in \mathbb {F} .$

Παραδείγματα

Άθροιση σημείων

Θεωρώντας ως πράξη την πρόσθεση + και συμπεριλαμβάνοντας το σημείο στο άπειρο 0, ως ουδέτερο στοιχείο, τα σημεία της ελλειπτικής καμπύλης αποτελούν μια αβελιανή ομάδα.

Έστω δύο σημεία της καμπύλης $P,Q$. Φέρουμε την εύθεία που διέρχεται από αυτά και βρίσκουμε το τρίτο σημείο $R$ που η ευθεία αυτή τέμνει την ελλειπτική καμπύλη. Το άθροισμα των $P,Q$ ορίζεται ως το συμμετρικό του $R$ ως προς τον άξονα $X$. Το σημείο αυτό ορίζεται και ως το αντίστροφο του $R$ και συμβολίζεται με $-R$. Δηλαδή ισχύει: $P+Q=-R$.

Αν η ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία δεν τέμνει την ελλειπτική καμπύλη σε τρίτο, τότε το άθροισμά τους είναι το 0.