Τετραγωνίστρια

Στη γεωμετρία, η τετραγωνίστρια ή τετραγωνίζουσα (και quadratrix από quadrator στα λατινικά) είναι μια καμπύλη που έχει συντεταγμένες οι οποίες είναι ένα μέτρο του εμβαδού (ή τετραγωνισμού) μιας άλλης καμπύλης. Οι δύο πιο διάσημες καμπύλες αυτής της κατηγορίας είναι αυτές του Δεινοστράτου και του Ε. Β. Τσιρνχάουζ (Ehrenfried Walther von Tschirnhaus)^[1], οι οποίες σχετίζονται και οι δύο με τον κύκλο.

Τετραγωνίστρια του Δεινοστράτου

Η Τετραγωνίστρια του Δεινοστράτου (που ονομάζεται επίσης Τετραγωνίστρια του Ιππία^[2]) ήταν πολύ γνωστή στους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και αναφέρεται από τον Πρόκλο, ο οποίος αποδίδει την εφεύρεση της καμπύλης σε έναν σύγχρονο του Σωκράτη, πιθανότατα τον Ιππία από την Ήλιδα. Ο Δεινόστρατος, ένας Έλληνας γεωμέτρης και μαθητής του Πλάτωνος, ασχολήθηκε με την καμπύλη και έδειξε πώς επιφέρει μια μηχανική λύση του τετραγωνισμού του κύκλου. Ο Πάππος, στις Συλλογές του, πραγματεύεται την ιστορία της και δίνει δύο μεθόδους με τις οποίες μπορεί να παραχθεί.

Έστω μια έλικα που σχεδιάζεται σε έναν ευθύγραμμο κυκλικό κύλινδρο- στη συνέχεια, προκύπτει μια επιφάνεια κοχλία με τη χάραξη γραμμών από κάθε σημείο αυτής της σπείρας κάθετα στον άξονά της. Η ορθογώνια προβολή ενός τμήματος αυτής της επιφάνειας σε ένα επίπεδο που περιέχει μία από τις καθέτους και έχει κλίση προς τον άξονα είναι η τετραγωνίστρια.
Ένας ευθύγραμμος κύλινδρος που έχει ως βάση του μια αρχιμήδεια σπείρα τέμνεται από έναν ευθύγραμμο κυκλικό κώνο, του οποίου η γενέτειρα γραμμή του κυλίνδρου διέρχεται από το αρχικό σημείο της έλικα για τον άξονά του. Από κάθε σημείο της καμπύλης τομής, χαράσσονται κάθετες στον άξονα. Οποιαδήποτε επίπεδη τομή της επιφάνειας του κοχλία (plectoidal of Pappus) που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο είναι η τετραγωνίστρια .

Τετραγωνίστρια του Δεινοστράτου (με κόκκινο)

Μια άλλη κατασκευή έχει ως εξής. $DAB$ είναι ένα τεταρτημόριο στο οποίο η ευθεία $DA$ και το τόξο $DB$ διαιρούνται σε ίσο αριθμό ίσων τμημάτων. Σχεδιάζονται ακτίνες από το κέντρο του τεταρτημορίου προς τα σημεία διαίρεσης του τόξου και οι ακτίνες αυτές τέμνονται από τις γραμμές που σχεδιάζονται παράλληλα προς την $AB$ και διέρχονται από τα αντίστοιχα σημεία της ακτίνας $DA$ . Ο τόπος αυτών των τομών είναι η τετραγωνίστρια .

Τετραγωνίστρια του Δεινοστράτουs με ένα κεντρικό τμήμα που πλαισιώνεται από άπειρες διακλαδώσεις

Έστω $A$ η αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, $D$ το σημείο $(a', 0)$ , $a$ μονάδες από την αρχή κατά μήκος του άξονα $x$ , και $B$ να είναι το σημείο $(0, a)$ , $a$ μονάδες από την αρχή κατά μήκος του άξονα $y$ , η ίδια η καμπύλη μπορεί να εκφραστεί από την εξίσωση ^[3]

y=x\cot \left({\frac {\pi x}{2a}}\right).

Επειδή η συνεφαπτόμενη συνάρτηση είναι αναλλοίωτη υπό την άρνηση του επιχειρήματός της και έχει έναν απλό πόλο σε κάθε πολλαπλάσιο του $π$ , η τετραγωνίστρια παρουσιάζει συμμετρία ανάκλασης κατά μήκος του άξονα $y$ , και ομοίως έχει έναν πόλο για κάθε τιμή του $x$ της μορφής $x = 2 na$ , για ακέραιες τιμές του $n$ , εκτός από το $x = 0$ όπου ο πόλος της συνεφαπτόμενης ακυρώνεται από τον παράγοντα του $x$ στον τύπο για την τετραγωνίστρια. Οι πόλοι αυτοί χωρίζουν την καμπύλη σε ένα κεντρικό τμήμα που πλαισιώνεται από άπειρους κλάδους. Το σημείο όπου η καμπύλη τέμνει τον άξονα $y$ έχει $y = 2 α/π$ - επομένως, αν ήταν δυνατόν να κατασκευαστεί με ακρίβεια η καμπύλη, θα μπορούσε κανείς να κατασκευάσει ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου το μήκος είναι ρητό πολλαπλάσιο του $1/ π$ , οδηγώντας σε λύση του κλασικού προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου. Εφόσον αυτό είναι αδύνατο με διαβήτη και χάρακα, η τετραγωνίστρια με τη σειρά της δεν μπορεί να κατασκευαστεί με διαβήτη και χάρακα.

Μια ακριβής κατασκευή της τετραγωνίστριας θα επέτρεπε επίσης τη λύση δύο άλλων κλασικών προβλημάτων που είναι γνωστό ότι είναι αδύνατα με πυξίδα και χάρακα: τον διπλασιασμό του κύβου και την τριχοτόμηση μιας γωνίας.

Τετραγωνίστρια του Τσιρνχάουζ (κόκκινη),
Τετραγωνίστρια του Ιππία (διακεκομμένη)

Τετραγωνίστρια του Τσιρνχάουζ

Η τετραγωνίστρια του Τσιρνχάουζ ^[4] κατασκευάζεται διαιρώντας το τόξο και την ακτίνα ενός τεταρτημορίου στον ίδιο αριθμό ίσων τμημάτων όπως και προηγουμένως. Οι αμοιβαίες τομές των ευθειών που σχεδιάζονται από τα σημεία διαίρεσης του τόξου παράλληλα προς το DA και των ευθειών που σχεδιάζονται παράλληλα προς το AB μέσω των σημείων διαίρεσης του DA, είναι σημεία της τετραγωνίστριας. Η καρτεσιανή εξίσωση είναι $y=a\cos \!{\big (}{\tfrac {\pi x}{2a}}{\big )}$ . Η καμπύλη είναι περιοδική και τέμνει τον άξονα x στα σημεία $x=(2n-1)a$ , $n$ είναι ακέραιος αριθμός- οι μέγιστες τιμές της $y$ είναι $a$ . Οι ιδιότητές του είναι παρόμοιες με εκείνες του τετραπλού της τετραγωνίστριας του Δεινοστράτου.

Άλλες τετραγωνίζουσες

Άλλες καμπύλες που έχουν ιστορικά χρησιμοποιηθεί για να τετραγωνίσουν τον κύκλο περιλαμβάνουν την Σπείρα του Αρχιμήδη και το κοχλιοειδές.

Δημοσιεύσεις

Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530.
Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley

Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6.

Richard I. Hartley (1992). «Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras». https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-55426-2_62.

Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3.

Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246.
Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), When less is more: Visualizing basic inequalities, The Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, Washington, DC, ISBN 978-0-88385-342-9
George David Birkhoff, NNDB MAPPER, https://www.nndb.com/people/926/000166428/
Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987), Mathematical Recreations and Essays (13th έκδοση), Dover, footnote, p. 77, ISBN 0-486-25357-0
Baloglou, George; Helfgott, Michel (2008), «Angles, area, and perimeter caught in a cubic», Forum Geometricorum 8: 13–25, http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200803.pdf, ανακτήθηκε στις 2018-06-03
Roland, Brossard (1964), «Birkhoff's Axioms for Space Geometry», The American Mathematical Monthly, https://www.jstor.org/stable/2312318
Barnes, John (2012), Gems of Geometry (2nd, illustrated έκδοση), Springer, σελ. 27, ISBN 9783642309649, https://books.google.com/books?id=7YCUBUd-4BQC&pg=PA27

Δείτε επίσης

Field Arithmetic
Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
Πραγματικό προβολικό επίπεδο
Στοιχεία του Ευκλείδη
Ευκλείδειος χώρος
Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
Ομογενές πολυώνυμο
Παραμετρικές εξισώσεις
Παραβολή (γεωμετρία)
Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
Σπείρα του Αρχιμήδη
Συνέχεια συνάρτησης
Πάππος ο Αλεξανδρεύς
Πολλαπλασιασμός πινάκων
Πραγματικός αριθμός
Τετραγωνισμός του κύκλου
Μηδενοδύναμο στοιχείο
Μονοδύναμο στοιχείο
High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ «Ehrenfried Walter von Tschirnhaus - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Σεπτεμβρίου 2024.
↑ «Quadratrix». web.archive.org. 4 Φεβρουαρίου 2012. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 4 Φεβρουαρίου 2012. Ανακτήθηκε στις 30 Σεπτεμβρίου 2024.
↑ Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Dinostratus quadratrix», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Dinostratus_quadratrix
↑ See definition and drawing in the following online source: Hutton C. (1815). A Philosophical and Mathematical Dictionary Containing... Memoirs of the Lives and Writings of the Most Eminent Authors. 2. London. σελίδες 271–272.

* Β. Ζώτας; Μ. Ρεκλείτης (1980). «Η δημιουργία του συνόλου των πραγματικών αριθμών». Ευκλείδης Β΄ (2): 100-104. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3764.
Trisecting the Angle: The Quadratrix of Hippias
Paolo Vighi, Igino Aschieri: From Art to Mathematics in the Paintings of Theo van Doesburg. In: Vittorio Capecchi (Hrsg.), Massimo Buscema (Hrsg.), Pierluigi Contucci (Hrsg.), Bruno D’Amore (Hrsg.): Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer, 2010, ISBN 978-90-481-8581-8, S. 601–610, insbesondere S. 303–306
The Trisection Problem JSTOR Collection

[1] «Ehrenfried Walter von Tschirnhaus - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Σεπτεμβρίου 2024.

[2] «Quadratrix». web.archive.org. 4 Φεβρουαρίου 2012. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 4 Φεβρουαρίου 2012. Ανακτήθηκε στις 30 Σεπτεμβρίου 2024.

[3] Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Dinostratus quadratrix», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Dinostratus_quadratrix

[4] See definition and drawing in the following online source: Hutton C. (1815). A Philosophical and Mathematical Dictionary Containing... Memoirs of the Lives and Writings of the Most Eminent Authors. 2. London. σελίδες 271–272.

[1]

[2]

[3]

[4]