Τύπος του Γιακόμπι

Στον υπολογισμό πινάκων, ο τύπος του Γιακόμπι εκφράζει την παράγωγο της ορίζουσας ενός πίνακα Α ως προς την συζυγή του Α και την παράγωγο του Α.

Εάν ο A είναι ένας διαφορίσιμος χάρτης από τους πραγματικούς αριθμούς σε πίνακες n × n, τότε

${\frac {d}{dt}}\det A(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)=\left(\det A(t)\right)\cdot \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\cdot \,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)$

όπου tr(X) είναι το ίχνος του πίνακα X. (Η τελευταία ισότητα ισχύει μόνο αν ο A'(t) είναι αντιστρέψιμος).

Ως ειδική περίπτωση,

${\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}.$

Ισοδύναμα, αν dA συμβολίζει το διαφορικό του A, ο γενικός τύπος είναι

$d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).$

Ο τύπος πήρε το όνομά του από τον μαθηματικό Καρλ Γκούσταβ Γιάκομπ Γιάκομπι.

Παραγωγίση

Μέσω υπολογισμού πινάκων

Αποδεικνύουμε πρώτα ένα προκαταρκτικό λήμμα:

Λήμμα. Έστω Α και Β ένα ζεύγος τετραγωνικών πινάκων της ίδιας διάστασης n. Τότε

$\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (A^{\rm {T}}B).$

Απόδειξη. Το γινόμενο ΑΒ του ζεύγους πινάκων έχει συνιστώσες

$(AB)_{jk}=\sum _{i}A_{ji}B_{ik}.$

Η αντικατάσταση του πίνακα A από την αντιμετάθεσή του A^T είναι ισοδύναμη με την αντιμετάθεση των δεικτών των συνιστωσών του:

$(A^{\rm {T}}B)_{jk}=\sum _{i}A_{ij}B_{ik}.$

Το αποτέλεσμα προκύπτει λαμβάνοντας το ίχνος και των δύο πλευρών:

$\operatorname {tr} (A^{\rm {T}}B)=\sum _{j}(A^{\rm {T}}B)_{jj}=\sum _{j}\sum _{i}A_{ij}B_{ij}=\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}.\ \square$

Θεώρημα. (τύπος Γιακόμπι) Για κάθε διαφορίσιμο χάρτη A από τους πραγματικούς αριθμούς σε n × n πίνακες,

$d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).$

Απόδειξη. Ο τύπος του Λαπλάς για την ορίζουσα ενός πίνακα Α μπορεί να διατυπωθεί ως εξής

$\det(A)=\sum _{j}A_{ij}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.$

Σημειώστε ότι το άθροισμα γίνεται σε κάποια αυθαίρετη γραμμή i του πίνακα.

Η ορίζουσα του A μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μια συνάρτηση των στοιχείων του A:

$\det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})$

έτσι ώστε, σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, το διαφορικό του είναι

$d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}.$

Αυτό το άθροισμα πραγματοποιείται σε όλα τα n×n στοιχεία του πίνακα.

Για να βρούμε το ∂F/∂A_ij ας θεωρήσουμε ότι στη δεξιά πλευρά του τύπου Λαπλάς, ο δείκτης i μπορεί να επιλεγεί κατά βούληση. (Προκειμένου να βελτιστοποιηθούν οι υπολογισμοί: Οποιαδήποτε άλλη επιλογή θα έδινε τελικά το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά θα μπορούσε να είναι πολύ πιο δύσκολη). Συγκεκριμένα, μπορεί να επιλεγεί ώστε να ταιριάζει με τον πρώτο δείκτη του ∂ / ∂A_ij:

${\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}$

Έτσι, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου,

${\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}.$

Τώρα, αν ένα στοιχείο ενός πίνακα A_ij και ένας συντελεστής adj^T(A)_ik του στοιχείου A_ik βρίσκονται στην ίδια γραμμή (ή στήλη), τότε ο συντελεστής δεν θα είναι συνάρτηση του A_ij, επειδή ο συντελεστής του A_ikεκφράζεται σε όρους στοιχείων που δεν βρίσκονται στη δική του γραμμή (ούτε στήλη). Συνεπώς,

${\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0,$

οπότε

${\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}.$

Όλα τα στοιχεία του Α είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, δηλ.

${\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk},$

όπου δ είναι το δέλτα Κρόνεκερ, οπότε

${\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.$

Ως εκ τούτου,

$d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij},$

και εφαρμόζοντας το Λήμμα προκύπτει

$d(\det(A))=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).\ \square$

Διαγώνια διαγωνοποίηση

Και οι δύο πλευρές του τύπου Γιακόμπι είναι πολυώνυμα του πίνακα συντελεστές των A και A'. Επομένως, είναι αρκεί να επαληθεύσουμε την πολυωνυμική ταυτότητα στο πυκνό υποσύνολο όπου οι ιδιοτιμές του A είναι διακριτές και μη μηδενικές.

Εάν η A είναι διαφοροποιήσιμη ως $A=BC$, τότε

$\mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} ((BC)^{-1}(BC)')=\mathrm {tr} (B^{-1}B')+\mathrm {tr} (C^{-1}C').$

Ειδικότερα, αν L είναι αντιστρέψιμη, τότε $I=L^{-1}L$ και

$0=\mathrm {tr} (I^{-1}I')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (L^{-1}L').$

Δεδομένου ότι η A έχει διακριτές ιδιοτιμές, υπάρχει ένας διαφορίσιμος μιγαδικός αντιστρέψιμος πίνακας L τέτοιος ώστε $A=L^{-1}DL$ και D είναι διαγώνιος. Τότε

$\mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (D^{-1}D')+\mathrm {tr} (L^{-1}L')=\mathrm {tr} (D^{-1}D').$

Έστω $\lambda _{i}$, $i=1,\ldots ,n$ είναι οι ιδιοτιμές της A. Τότε

${\frac {\det(A)'}{\det(A)}}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}'/\lambda _{i}=\mathrm {tr} (D^{-1}D')=\mathrm {tr} (A^{-1}A'),$

ο οποίος είναι ο τύπος Γιακόμπι για πίνακες A με ξεχωριστές μη μηδενικές ιδιοτιμές.

Συμπεράσματα

Η ακόλουθη είναι μια χρήσιμη σχέση που συνδέει το ίχνος με τον προσδιοριστή του εκθετικού του σχετικού πίνακα:

$\det e^{B}=e^{\operatorname {tr} \left(B\right)}$

Η δήλωση αυτή είναι σαφής για διαγώνιους πίνακες και ακολουθεί η απόδειξη του γενικού ισχυρισμού.

Για οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα $A(t)$, στην προηγούμενη ενότητα "Μέσω του κανόνα της αλυσίδας", δείξαμε ότι

${\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\;\operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)$

Θεωρώντας $A(t)=\exp(tB)$ σε αυτή την εξίσωση προκύπτει:

${\frac {d}{dt}}\det e^{tB}=\operatorname {tr} (B)\det e^{tB}$

Το επιθυμητό αποτέλεσμα προκύπτει ως λύση αυτής της συνήθους διαφορικής εξίσωσης.

Εφαρμογές

Διάφορες μορφές του τύπου βρίσκονται πίσω από τον αλγόριθμο Φαντέεφ-Λεβεριέ για τον υπολογισμό του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, καθώς και ρητές εφαρμογές του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον. Παραδείγματος χάριν, ξεκινώντας από την ακόλουθη εξίσωση, η οποία αποδείχθηκε παραπάνω:

${\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\ \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)$

και χρησιμοποιώντας $A(t)=tI-B$, έχουμε:

${\frac {d}{dt}}\det(tI-B)=\det(tI-B)\operatorname {tr} [(tI-B)^{-1}]=\operatorname {tr} [\operatorname {adj} (tI-B)]$

όπου adj συμβολίζει τον προσαρτημένο πίνακα.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Ορίζουσα
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
• A Treatise on the Theory of Bessel Functions
• The Jacobi-Perron Algorithm: Its Theory and Application
• Jacobi's Lectures on Dynamics: Delivered at the University of Konigsberg in ...

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Dirichlet, P. G. Lejeune (1855), «Gedächtnißrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi», Journal für die reine und angewandte Mathematik 52: 193–217, ISSN 0075-4102, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002149478 
•  Το παρόν λήμμα ενσωματώνει κείμενο από έκδοση που είναι πλέον κοινό κτήμα: Chisholm, Hugh, επιμ.. (1911) «Jacobi, Karl Gustav Jacob» Εγκυκλοπαίδεια Μπριτάννικα 15 (11η έκδοση) Cambridge University Press, σελ. 117 
• James, Ioan Mackenzie (2002). Remarkable Mathematicians: From Euler to Von Neumann. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-52094-2. 
• Koenigsberger, Leo (1904). Carl Gustav Jacob Jacobi. Festschrift zur Feier der hundertsten Wiederkehr seines Geburtstages (στα Γερμανικά). Leipzig: B.G. Teubner.