Άνοιγμα κυρίου μενού

Στα μαθηματικά, ένας υπερβατικός αριθμός είναι ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός, ο οποίος δεν είναι αλγεβρικός, δηλ. δεν είναι ρίζα κάποιας μη-μηδενικής πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Οι πιο γνωστοί υπερβατικοί αριθμοί είναι ο π και ο e. Αν και γνωρίζουμε μόνο μερικές κλάσεις υπερβατικών αριθμών, εν μέρει διότι είναι πολύ δύσκολο να δείξεις ότι κάποιος αριθμός είναι υπερβατικός, οι υπερβατικοί αριθμοί δεν είναι σπάνιοι. Πράγματι, σχεδόν όλοι οι πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί είναι υπερβατικοί, καθώς οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι μετρήσιμοι ενώ τα σύνολα των πραγματικών και μιγαδικών αριθμών είναι και τα δύο μη μετρήσιμα. Όλοι οι πραγματικοί υπερβατικοί αριθμοί είναι άρρητοι, αφού όλοι οι ρητοί είναι αλγεβρικοί. Το αντίστροφο δεν ισχύει: δεν είναι όλοι οι άρρητοι και υπερβατικοί, π.χ. η ρίζα του 2 είναι άρρητος αλλά όχι υπερβατικός, αφού είναι λύση της εξίσωσης x2 − 2 = 0.


Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Transcendental number (έκδοση 680511734) της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).