Υπεροκτάεδρο

κανονικό κυρτό πολύτοπο

Στη γεωμετρία, το υπεροκτάεδρο ή πολύτοπο-διασταύρωσης ή ορθόπλεξη (Αγγλικά: hyperoctahedron, cocube, cross-polytope,[1] ή orthoplex,[2]) είναι ένα κανονικό κυρτό πολύτοπο που υπάρχει σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων. Οι κορυφές σε ένα υπεροκτάεδρο είναι όλες οι παραλλαγές (±1, 0, 0, ..., 0). Το υπεροκτάεδρο είναι το κυρτό περίβλημα των κορυφών του. Οι έδρες του υπεροκταέδρου είναι πλέγματα της προηγούμενης διάστασης, ενώ το σχήμα των κορυφών του είναι ένα άλλο υπεροκτάεδρο επίσης από την προηγούμενη διάσταση.

Το ν διαστάσεων υπεροκτάεδρο μπορεί επίσης να οριστεί ως μία κλειστή μονάδα ("unit ball"), ή στα όριά του (σύμφωνα με ορισμένους συγγραφείς), με την ℓ1-νόρμα στο Rn:

Σε 1 διάσταση το υπεροκτάεδρο είναι απλά ένα ευθύγραμμο τμήμα [−1, +1], σε 2 διαστάσεις είναι ένα τετράγωνο (ή διαμάντι στην ξενόγλωσση βιβλιογραφία) με κορυφές {(±1, 0), (0, ±1)}. Σε 3 διαστάσεις είναι ένα οκτάεδρο (ένα από τα πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα που είναι γνωστά ως πλατωνικά στερεά). Σε υψηλότερες διαστάσεις τα υπεροκτάεδρα είναι γενικεύσεις των προηγουμένων διαστάσεων.

2-υπεροκτάεδρο 3-υπεροκτάεδρο 4-υπεροκτάεδρο
2 διαστάσεις
Τετράγωνο
3 διαστάσεις
Οκτάεδρο
4 διαστάσεις
Δεκαεξάχωρο

Το υπεροκτάεδρο είναι το διπλό πολύτοπο του υπερκύβου. Ο μονοδιάστατος σκελετός ενός ν διαστάσεων υπεροκταέδρου είναι ένα γράφημα Turán: T(2ν,ν).

4 διαστάσειςΕπεξεργασία

Το υπεροκτάεδρο 4-διαστάσεων είναι επίσης γνωστό με το όνομα δεκαεξάχωρο (αγγλικά: hexadecachoron ή 16-cell). Είναι ένα από τα έξι κυρτά κανονικά πολύτοπα 4-διαστάσεων. Τα πολύχωρα αυτά περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Ελβετό μαθηματικό Ludwig Schläfli στα μέσα του 19ου αιώνα.

Υψηλότερες διαστάσειςΕπεξεργασία

Η οικογένεια υπεροκταέδρων είναι μία από τις τρεις οικογένειες κανονικών πολυτόπων, οι οποίες φέρουν Coxeter ως βν, οι άλλες δύο είναι η οικογένεια υπερκύβων, ως γν, και τα πλέγματα, ως αν. Μία τέταρτη οικογένεια, είναι οι άπειρες ψηφιδοθετήσεις των υπερκύβων (hypercubic honeycomb), που χαρακτηρίζονται ως δν.

Τα ν διαστάσεων υπεροκτάεδρα έχουν 2ν κορυφές, και 2ν έδρες (ν−1 διαστάσεων τμήματα) οι οποίες είναι όλες ν−1 πλέγματα. Τα σχήματα κορυφών είναι όλα ν−1 υπεροκτάεδρα. Το σύμβολο Schläfli του υπεροκταέδρου είναι {3,3,…,3,4}. Η δίεδρη γωνία των n διαστάσεων υπεροκταέδρων είναι:

 .

Ο αριθμός των συνιστωσών k-διαστάσεων (κορυφές, ακμές, επιφάνειες, ..., έδρες) σε n διαστάσεων υπεροκτάεδρα δίνεται (με βάση τον διωνυμικό συντελεστή) από την:

 

Ο όγκος των υπεροκταέδρων n-διαστάσεων είναι:

 

Υπάρχουν πολλές πιθανές ορθογραφικές προβολές που μπορεί να δείξουν τα υπεροκτάεδρα σε γραφικά 2-διαστάσεων. Οι προβολές του Πέτρι πολυγώνου χαρτογραφούν τα σημεία σε ένα κανονικό -γώνιο ή κατώτερης τάξης κανονικά πολύγωνα. Μια δεύτερη προβολή παίρνει το 2(ν-1)-γώνιο Πέτρι πολύγωνο της κάτω διάστασης, δείχνοντάς το ως μια διπυραμίδα, που προβάλεται κάτω από τον άξονα, με 2 κορυφές της να αντιστοιχίζονται στο κέντρο.

Στοιχεία υπεροκταέδρου
n βn
k11
Ονομασίες
Γραφικά
Γραφικά
2n-γώνια
Γραφικά
2(n-1)-γώνια
Schläfli Coxeter-Dynkin Κορυφές Ακμές Επιφάνειες Κελιά 4-Επιφ. 5-Επιφ. 6-Επιφ. 7-Επιφ. 8-Επιφ. 9-Επιφ.
1 β1 ευθύγραμμο τμήμα
1-ορθόπλεξη
  {}  
 
2                  
2 β2
−111
τετράγωνο
2-ορθόπλεξη
Bicross
    {4}
{}+{}
   
   
4 4                
3 β3
011
οκτάεδρο
3-ορθόπλεξη
Tricross
    {3,4}
{30,1,1}
{}+{}+{}
     
   
     
6 12 8              
4 β4
111
δεκαεξάχωρο
4-ορθόπλεξη
Tetracross
    {3,3,4}
{31,1,1}
4{}
       
     
       
8 24 32 16            
5 β5
211
5-ορθόπλεξη
Pentacross
    {33,4}
{32,1,1}
5{}
         
       
         
10 40 80 80 32          
6 β6
311
6-ορθόπλεξη
Hexacross
    {34,4}
{33,1,1}
6{}
           
         
           
12 60 160 240 192 64        
7 β7
411
7-ορθόπλεξη
Heptacross
    {35,4}
{34,1,1}
7{}
             
           
             
14 84 280 560 672 448 128      
8 β8
511
8-ορθόπλεξη
Octacross
    {36,4}
{35,1,1}
8{}
               
             
               
16 112 448 1120 1792 1792 1024 256    
9 β9
611
9-ορθόπλεξη
Enneacross
    {37,4}
{36,1,1}
9{}
                 
               
                 
18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512  
10 β10
711
10-ορθόπλεξη
Decacross
    {38,4}
{37,1,1}
10{}
                   
                 
                   
20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024
...
n βn
k11
n-ορθόπλεξη
n-cross
{3n − 2,4}
{3n − 3,1,1}
n{}
     ...      
    ...     
        ...  
2n 0-επιφάνειες, ...   k-επιφάνειες ..., 2n (n-1)-επιφάνειες

Όλες οι κορυφές ενός ευθυγραμμισμένου άξονα υπεροκταέδρου είναι σε ίση απόσταση με την κάθε άλλη κορυφή σε απόσταση Manhattan (L1 νόρμα). Ο Kusner στις Εικασίες του δηλώνει ότι αυτό το σύνολο των 2d σημείων είναι το μεγαλύτερο δυνατό ισαπέχον σύνολο για την απόσταση αυτή.[3]

ΠαραπομπέςΕπεξεργασία

  1. Elte, E. L. (1912). The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Groningen: University of Groningen.  Chapter IV, five dimensional semiregular polytope.
  2. Ο John Horton Conway το αναφέρει ως n-orthoplex for orthant complex.
  3. Guy, Richard K. (1983), «An olla-podrida of open problems, often oddly posed», American Mathematical Monthly 90 (3): 196–200 .

ΠηγέςΕπεξεργασία

  • Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (3η έκδοση). Νέα Υόρκη: Dover Publications. σελίδες 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  σελ. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5).

Εξωτερικοί σύνδεσμοιΕπεξεργασία