Υπεροκτάεδρο

Στη γεωμετρία, το υπεροκτάεδρο ή πολύτοπο-διασταύρωσης ή ορθόπλεξη (Αγγλικά: hyperoctahedron, cocube, cross-polytope,^[1] ή orthoplex,^[2]) είναι ένα κανονικό κυρτό πολύτοπο που υπάρχει σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων. Οι κορυφές σε ένα υπεροκτάεδρο είναι όλες οι παραλλαγές (±1, 0, 0, ..., 0). Το υπεροκτάεδρο είναι το κυρτό περίβλημα των κορυφών του. Οι έδρες του υπεροκταέδρου είναι πλέγματα της προηγούμενης διάστασης, ενώ το σχήμα των κορυφών του είναι ένα άλλο υπεροκτάεδρο επίσης από την προηγούμενη διάσταση.

Το ν διαστάσεων υπεροκτάεδρο μπορεί επίσης να οριστεί ως μία κλειστή μονάδα ("unit ball"), ή στα όριά του (σύμφωνα με ορισμένους συγγραφείς), με την ℓ₁-νόρμα στο Rⁿ:

\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.

Σε 1 διάσταση το υπεροκτάεδρο είναι απλά ένα ευθύγραμμο τμήμα [−1, +1], σε 2 διαστάσεις είναι ένα τετράγωνο (ή διαμάντι στην ξενόγλωσση βιβλιογραφία) με κορυφές {(±1, 0), (0, ±1)}. Σε 3 διαστάσεις είναι ένα οκτάεδρο (ένα από τα πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα που είναι γνωστά ως πλατωνικά στερεά). Σε υψηλότερες διαστάσεις τα υπεροκτάεδρα είναι γενικεύσεις των προηγουμένων διαστάσεων.


2 διαστάσεις Τετράγωνο		3 διαστάσεις Οκτάεδρο		4 διαστάσεις Δεκαεξάχωρο

Το υπεροκτάεδρο είναι το διπλό πολύτοπο του υπερκύβου. Ο μονοδιάστατος σκελετός ενός ν διαστάσεων υπεροκταέδρου είναι ένα γράφημα Turán: T(2ν,ν).

4 διαστάσεις Επεξεργασία

Το υπεροκτάεδρο 4-διαστάσεων είναι επίσης γνωστό με το όνομα δεκαεξάχωρο (αγγλικά: hexadecachoron ή 16-cell). Είναι ένα από τα έξι κυρτά κανονικά πολύτοπα 4-διαστάσεων. Τα πολύχωρα αυτά περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Ελβετό μαθηματικό Ludwig Schläfli στα μέσα του 19ου αιώνα.

Υψηλότερες διαστάσεις Επεξεργασία

Η οικογένεια υπεροκταέδρων είναι μία από τις τρεις οικογένειες κανονικών πολυτόπων, οι οποίες φέρουν Coxeter ως β_ν, οι άλλες δύο είναι η οικογένεια υπερκύβων, ως γ_ν, και τα πλέγματα, ως α_ν. Μία τέταρτη οικογένεια, είναι οι άπειρες ψηφιδοθετήσεις των υπερκύβων (hypercubic honeycomb), που χαρακτηρίζονται ως δ_ν.

Τα ν διαστάσεων υπεροκτάεδρα έχουν 2ν κορυφές, και 2^ν έδρες (ν−1 διαστάσεων τμήματα) οι οποίες είναι όλες ν−1 πλέγματα. Τα σχήματα κορυφών είναι όλα ν−1 υπεροκτάεδρα. Το σύμβολο Schläfli του υπεροκταέδρου είναι {3,3,…,3,4}. Η δίεδρη γωνία των n διαστάσεων υπεροκταέδρων είναι:

\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)

.

Ο αριθμός των συνιστωσών k-διαστάσεων (κορυφές, ακμές, επιφάνειες, ..., έδρες) σε n διαστάσεων υπεροκτάεδρα δίνεται (με βάση τον διωνυμικό συντελεστή) από την:

2^{k+1}{n \choose {k+1}}

Ο όγκος των υπεροκταέδρων n-διαστάσεων είναι:

{\frac {2^{n}}{n!}}.

Υπάρχουν πολλές πιθανές ορθογραφικές προβολές που μπορεί να δείξουν τα υπεροκτάεδρα σε γραφικά 2-διαστάσεων. Οι προβολές του Πέτρι πολυγώνου χαρτογραφούν τα σημεία σε ένα κανονικό 2ν-γώνιο ή κατώτερης τάξης κανονικά πολύγωνα. Μια δεύτερη προβολή παίρνει το 2(ν-1)-γώνιο Πέτρι πολύγωνο της κάτω διάστασης, δείχνοντάς το ως μια διπυραμίδα, που προβάλεται κάτω από τον άξονα, με 2 κορυφές της να αντιστοιχίζονται στο κέντρο.

Στοιχεία υπεροκταέδρου
n	β_n k₁₁	Ονομασίες Γραφικά	Schläfli	Coxeter-Dynkin	Κορυφές	Ακμές	Επιφάνειες	Κελιά	4-Επιφ.	5-Επιφ.	6-Επιφ.	7-Επιφ.	8-Επιφ.	9-Επιφ.
1	β₁	ευθύγραμμο τμήμα 1-ορθόπλεξη	{}		2
2	β₂ −1₁₁	τετράγωνο 2-ορθόπλεξη Bicross	{4} {}+{}		4	4
3	β₃ 0₁₁	οκτάεδρο 3-ορθόπλεξη Tricross	{3,4} {3^0,1,1} {}+{}+{}		6	12	8
4	β₄ 1₁₁	δεκαεξάχωρο 4-ορθόπλεξη Tetracross	{3,3,4} {3^1,1,1} 4{}		8	24	32	16
5	β₅ 2₁₁	5-ορθόπλεξη Pentacross	{3³,4} {3^2,1,1} 5{}		10	40	80	80	32
6	β₆ 3₁₁	6-ορθόπλεξη Hexacross	{3⁴,4} {3^3,1,1} 6{}		12	60	160	240	192	64
7	β₇ 4₁₁	7-ορθόπλεξη Heptacross	{3⁵,4} {3^4,1,1} 7{}		14	84	280	560	672	448	128
8	β₈ 5₁₁	8-ορθόπλεξη Octacross	{3⁶,4} {3^5,1,1} 8{}		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256
9	β₉ 6₁₁	9-ορθόπλεξη Enneacross	{3⁷,4} {3^6,1,1} 9{}		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512
10	β₁₀ 7₁₁	10-ορθόπλεξη Decacross	{3⁸,4} {3^7,1,1} 10{}		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
...
n	β_n k₁₁	n-ορθόπλεξη n-cross	{3^n − 2,4} {3^{n − 3,1,1}} n{}	... ... ...	2n 0-επιφάνειες, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-επιφάνειες ..., 2ⁿ (n-1)-επιφάνειες

Όλες οι κορυφές ενός ευθυγραμμισμένου άξονα υπεροκταέδρου είναι σε ίση απόσταση με την κάθε άλλη κορυφή σε απόσταση Manhattan (L¹ νόρμα). Ο Kusner στις Εικασίες του δηλώνει ότι αυτό το σύνολο των 2d σημείων είναι το μεγαλύτερο δυνατό ισαπέχον σύνολο για την απόσταση αυτή.^[3]

Παραπομπές Επεξεργασία

↑ Elte, E. L. (1912). The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Groningen: University of Groningen. Chapter IV, five dimensional semiregular polytope.
↑ Ο John Horton Conway το αναφέρει ως n-orthoplex for orthant complex.
↑ Guy, Richard K. (1983), «An olla-podrida of open problems, often oddly posed», American Mathematical Monthly 90 (3): 196–200 .

Πηγές Επεξεργασία

Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (3η έκδοση). Νέα Υόρκη: Dover Publications. σελίδες 121–122. ISBN 0-486-61480-8. σελ. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι Επεξεργασία

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Υπεροκτάεδρο

Weisstein, Eric W., "Cross polytope" από το MathWorld.
Olshevsky, George, Glossary for Hyperspace: Cross polytope.

[1] Elte, E. L. (1912). The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Groningen: University of Groningen. Chapter IV, five dimensional semiregular polytope.

[2] Ο John Horton Conway το αναφέρει ως n-orthoplex for orthant complex.

[3] Guy, Richard K. (1983), «An olla-podrida of open problems, often oddly posed», American Mathematical Monthly 90 (3): 196–200 .

[1]

[2]

[3]