Ύψος Νέρον-Τέιτ

Στη θεωρία αριθμών, το ύψος Νέρον-Τέιτ (ή κανονικός ύψος) είναι μια τετραγωνική μορφή στην ομάδα Μορντέλ-Βέιλ των ρητών σημείων μιας αβελιανής ποικιλίας που ορίζεται σε ένα συνολικό σώμα. Πήρε το όνομά του από τους Αντρέ Νέρον και Τζον Τέιτ.

Ορισμός και ιδιότητες

Ο Νέρον όρισε το ύψος Νέρον-Τέιτ ως άθροισμα τοπικών υψών. Αν και το συνολικό ύψος Νέρον-Τέιτ είναι τετραγωνικό, τα τοπικά ύψη που το αποτελούν δεν είναι ακριβώς τετραγωνικά. Ο Τέιτ (αδημοσίευτο) το όρισε σφαιρικά παρατηρώντας ότι το λογαριθμικό ύψος $h_{L}$ που συνδέεται με ένα συμμετρικό αντιστρέψιμο δεμάτιο $L$ σε μια αβελιανή ποικιλία $A$ είναι "σχεδόν τετραγωνικό", και το χρησιμοποίησε αυτό για να δείξει ότι το όριο

${\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N^{2}}}$

υπάρχει, ορίζει μια τετραγωνική μορφή στην ομάδα Μορντέλ-Βέιλ των ρητών σημείων και ικανοποιεί

${\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1),$

όπου η υπονοούμενη σταθερά $O(1)$ είναι ανεξάρτητη του $P$. Αν το $L$ είναι αντισυμμετρικό, δηλαδή $[-1]^{*}L=L^{-1}$, τότε το ανάλογο όριο

${\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N}}$

συγκλίνει και ικανοποιεί ${\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)$, αλλά σε αυτή την περίπτωση ${\hat {h}}_{L}$ είναι μια γραμμική συνάρτηση στην ομάδα Μορντέλ-Βέιλ. Για γενικά αντιστρέψιμα δεμάτια, γράφει κανείς $L^{\otimes 2}=(L\otimes [-1]^{*}L)\otimes (L\otimes [-1]^{*}L^{-1})$ ως γινόμενο ενός συμμετρικού δεματίου και ενός αντισυμμετρικού δεματίου, και τότε

${\hat {h}}_{L}(P)={\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L}(P)+{\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L^{-1}}(P)$

είναι η μοναδική τετραγωνική συνάρτηση που ικανοποιεί

${\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)\quad {\mbox{and}}\quad {\hat {h}}_{L}(0)=0.$

Το ύψος Νέρον-Τέιτ εξαρτάται από την επιλογή ενός αντιστρέψιμου δεματίου στην αβελιανή ποικιλία, αν και η σχετική διγραμμική μορφή εξαρτάται μόνο από την εικόνα του $L$ στο στην ομάδα Νέρον-Σέβερι της $A$. Αν η αβελιανή ποικιλία $A$ ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα K και το αντιστρέψιμο δεμάτιο είναι συμμετρικό και άφθονο, τότε το ύψος Νέρον-Τέιτ είναι θετικά ορισμένο με την έννοια ότι εξαφανίζεται μόνο σε στοιχεία στρέψης της ομάδας Μορντέλ-Βέιλ $A(K)$. Γενικότερα, το ${\hat {h}}_{L}$ επάγει μια θετικά ορισμένη τετραγωνική μορφή στον πραγματικό διανυσματικό χώρο $A(K)\otimes \mathbb {R}$.

Σε μια ελλειπτική καμπύλη, η ομάδα Νέρον-Σεβέρι είναι πρώτου βαθμού και έχει μια μοναδική άφθονη γεννήτρια, οπότε αυτή η γεννήτρια χρησιμοποιείται συχνά για τον ορισμό του ύψους Νέρον-Τέιτ, το οποίο συμβολίζεται ${\hat {h}}$ χωρίς αναφορά σε μια συγκεκριμένη δέσμη γραμμών. (Ωστόσο, το ύψος που εμφανίζεται φυσικά στη δήλωση της εικασίας των Μπιρτς και Σουίνερτον-Ντάιερ είναι το διπλάσιο αυτού του ύψους). Σε αβελιανές ποικιλίες υψηλότερης διάστασης, δεν χρειάζεται να υπάρχει μια συγκεκριμένη επιλογή της μικρότερης άφθονης δέσμης γραμμών που θα χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό του ύψους Νέρον-Τέιτ, και το ύψος που χρησιμοποιείται στη διατύπωση της εικασίας Μπιρτς-Σγουίνερτον-Ντάιερ είναι το ύψος Νέρον-Τέιτ που σχετίζεται με τη δέσμη γραμμών Πουανκαρέ στο $A\times {\hat {A}}$, το γινόμενο του $A$ με το δυϊκό του.

Οι ελλειπτικοί και αβελιανοί ρυθμιστές

Η διγραμμική μορφή που σχετίζεται με το κανονικό ύψος ${\hat {h}}$ σε μια ελλειπτική καμπύλη E είναι

$\langle P,Q\rangle ={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\hat {h}}(P+Q)-{\hat {h}}(P)-{\hat {h}}(Q){\bigr )}.$

Ο ελλειπτικός ρυθμιστής του E/K είναι

$\operatorname {Reg} (E/K)=\det {\bigl (}\langle P_{i},P_{j}\rangle {\bigr )}_{1\leq i,j\leq r},$

όπου P₁,...,P_r είναι μια βάση για την ομάδα Μόρντελ-Βέιλ E(K) modulo torsion (βλ. προσδιοριστής Γκραμ). Ο ελλειπτικός ρυθμιστής δεν εξαρτάται από την επιλογή της βάσης.

Γενικότερα, έστω A/K μια αβελιανή ποικιλία, έστω B ≅ Pic⁰(A) η δυϊκή αβελιανή ποικιλία της A, και έστω P να είναι η δέσμη γραμμών Πουανκαρέ στο A × B. Τότε ο αβελιανός ρυθμιστής του A/K ορίζεται επιλέγοντας μια βάση Q₁,...,Q_r για την ομάδα Μόρντελ-Βέιλ A'(K) modulo torsion και μια βάση η₁,...,η_r για την ομάδα Μόρντελ-Βέιλ B(K) modulo torsion και θέτοντας

$\operatorname {Reg} (A/K)=\det {\bigl (}\langle Q_{i},\eta _{j}\rangle _{P}{\bigr )}_{1\leq i,j\leq r}.$

(Οι ορισμοί του ελλειπτικού και του αβελιανού ρυθμιστή δεν είναι απόλυτα συνεπείς, αφού αν η Α είναι ελλειπτική καμπύλη, τότε η τελευταία είναι 2^r φορές η πρώτη.)

Οι ελλειπτικοί και αβελιανοί ρυθμιστές εμφανίζονται στην εικασία Μπιρτς - Σουίνερτον - Ντάιερ.

Κατώτερα όρια για το ύψος Νέρον - Τέιτ

Υπάρχουν δύο θεμελιώδεις εικασίες που δίνουν κατώτερα όρια για το ύψος Νέρον-Τέιτ. Στην πρώτη, το πεδίο K είναι σταθερό και η ελλειπτική καμπύλη E/K και το σημείο P ∈ E(K) μεταβάλλονται, ενώ στη δεύτερη, την ελλειπτική εικασία Λέμερ, η καμπύλη E/K είναι σταθερή ενώ το πεδίο ορισμού του σημείου P μεταβάλλεται.

• (Λανγκ)     ${\hat {h}}(P)\geq c(K)\log \max {\bigl \{}\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }\operatorname {Disc} (E/K),h(j(E)){\bigr \}}\quad$ για όλα $E/K$ και όλα τα μη στρεπτά $P\in E(K).$
• (Λέμερ)     ${\hat {h}}(P)\geq {\frac {c(E/K)}{[K(P):K]}}$ για όλα τα μη στρεπτά $P\in E({\bar {K}}).$

Και στις δύο εικασίες, οι σταθερές είναι θετικές και εξαρτώνται μόνο από τις αναφερόμενες ποσότητες. (Μια ισχυρότερη μορφή της εικασίας του Λανγκ ισχυρίζεται ότι το $c$ εξαρτάται μόνο από τον βαθμό $[K:\mathbb {Q} ]$.) Είναι γνωστό ότι η εικασία abc συνεπάγεται την εικασία του Λανγκ και ότι το ανάλογο της εικασίας του Λανγκ πάνω από μονοδιάστατα χαρακτηριστικά 0 συναρτησιακά σώματα είναι άνευ όρων αληθές. Το καλύτερο γενικό αποτέλεσμα για την εικασία του Λέμερ είναι η ασθενέστερη εκτίμηση ${\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{3+\varepsilon }$ που οφείλεται στον Μάσερ. Όταν η ελλειπτική καμπύλη έχει μιγαδικό πολλαπλασιασμό, αυτό έχει βελτιωθεί σε ${\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{1+\varepsilon }$ από τον Λοράν. Υπάρχουν ανάλογες εικασίες για αβελιανές ποικιλίες, με τη συνθήκη μη στρέψης να αντικαθίσταται από τη συνθήκη ότι τα πολλαπλάσια του $P$ σχηματίζουν ένα πυκνό υποσύνολο Ζαρίσκι του $A$, και το κατώτερο όριο στην εικασία του Λανγκ αντικαθίσταται από ${\hat {h}}(P)\geq c(K)h(A/K)$, όπου $h(A/K)$ είναι το ύψος Φάλτινγκς του $A/K$.

Γενικεύσεις

Ένα πολωμένο αλγεβρικό δυναμικό σύστημα είναι μια τριάδα $(V,\varphi ,L)$ που αποτελείται από μια (ομαλή προβολική) αλγεβρική ποικιλία $V$, έναν ενδομορφισμό $\varphi :V\to V$, και μια δέσμη γραμμών $L\to V$ με την ιδιότητα ότι $\varphi ^{*}L=L^{\otimes d}$ για κάποιο ακέραιο $d>1$. Το σχετικό κανονικό ύψος δίνεται από το όριο Τέιτ

${\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=\lim _{n\to \infty }{\frac {h_{V,L}(\varphi ^{(n)}(P))}{d^{n}}},$

όπου $\varphi ^{(n)}=\varphi \circ \cdots \circ \varphi$ είναι η n-πλάσια επανάληψη της $\varphi$. Παραδείγματος χάριν, οποιοσδήποτε μορφισμός $\varphi :\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n}$ βαθμού $d>1$ δίνει ένα κανονικό ύψος που σχετίζεται με τη σχέση δέσμης γραμμών $\varphi ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(n)$. Αν η $V$ ορίζεται πάνω από ένα αριθμητικό σώμα και η $L$ είναι άφθονη, τότε το κανονικό ύψος είναι μη αρνητικό και

${\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=0~~\Longleftrightarrow ~~P{\text{ is preperiodic for }}\varphi .$

("Το $P$ είναι προπεριοδικό αν η εμπρόσθια τροχιά του $P,\varphi (P),\varphi ^{2}(P),\varphi ^{3}(P),\ldots$ περιέχει μόνο πεπερασμένα πολλά διακριτά σημεία.)

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Έμι Νέτερ
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
• Τοπολογία Ζαρίσκι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Algebraic Geometry II: Cohomology of Schemes: With Examples and Exercises
• The Gross-Zagier Formula on Shimura Curves
• O-Minimality and Diophantine Geometry
• Heights in Diophantine Geometry
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Bombieri, Enrico· Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. 
• Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023. 
• Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051. 
• J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, ISBN 0-387-96203-4
• Alexandrov, Pavel S. (1981), «In Memory of Emmy Noether», στο: Brewer, James W; Smith, Martha K, επιμ., Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, σελ. 99–111, ISBN 0-8247-1550-0 .
• Blue, Meredith (2001), Galois Theory and Noether's Problem, Thirty-Fourth Annual Meeting: Florida Section of The Mathematical Association of America, http://mcc1.mccfl.edu/fl_maa/proceedings/2001/blue.pdf, ανακτήθηκε στις 2013-06-10 .
• Byers, Nina (2–4 December 1996), «E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws», Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, IL: Bar-Ilan University, http://arxiv.org/abs/physics/9807044 .