Ελλειπτική συνάρτηση

Στο μαθηματικό πεδίο της μιγαδικής ανάλυσης, οι ελλειπτικές συναρτήσεις είναι ειδικά είδη μερομορφικών συναρτήσεων που ικανοποιούν δύο συνθήκες περιοδικότητας. Ονομάζονται ελλειπτικές συναρτήσεις επειδή προέρχονται από ελλειπτικά ολοκληρώματα. Αυτά τα ολοκληρώματα ονομάζονται με τη σειρά τους ελλειπτικά επειδή πρωτοεμφανίστηκαν για τον υπολογισμό του μήκους τόξου μιας έλλειψης.

Σημαντικές ελλειπτικές συναρτήσεις είναι οι ελλειπτικές συναρτήσεις Ιακόμπι και Βάιερστρας.

Η περαιτέρω ανάπτυξη αυτής της θεωρίας οδήγησε στις υπερελλειπτικές συναρτήσεις και στη modular μορφή.

Ορισμός Επεξεργασία

Μια μερομορφική συνάρτηση ονομάζεται ελλειπτική συνάρτηση, αν υπάρχουν δύο $\mathbb {R}$ -γραμμικοί ανεξάρτητοι μιγαδικοί αριθμοί $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ έτσι ώστε

f(z+\omega _{1})=f(z)

and

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

.

Έτσι, οι ελλειπτικές συναρτήσεις έχουν δύο περιόδους και επομένως είναι διπλά περιοδικές συναρτήσεις.

Περιοδικό πλέγμα και θεμελιώδης τομέας Επεξεργασία

Παραλληλόγραμμο όπου οι απέναντι πλευρές ταυτίζονται

Αν $f$ είναι ελλειπτική συνάρτηση με περιόδους $\omega _{1},\omega _{2}$ ισχύει επίσης ότι

f(z+\gamma )=f(z)

για κάθε γραμμικό συνδυασμό $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ με $m,n\in \mathbb {Z}$ .

Η αβελιανή ομάδα

\Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}

ονομάζεται περιοδικό πλέγμα.

Το παραλληλόγραμμο που δημιουργείται από $\omega _{1}$ and $\omega _{2}$

\{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}

είναι ένας θεμελιώδης τομέας του $\Lambda$ που ενεργεί στο $\mathbb {C}$ .

Γεωμετρικά, το μιγαδικό επίπεδο είναι καλυμμένο με παραλληλόγραμμα. Ό,τι συμβαίνει σε ένα θεμελιώδες πεδίο επαναλαμβάνεται σε όλα τα άλλα. Για το λόγο αυτό μπορούμε να θεωρήσουμε τις ελλειπτικές συναρτήσεις ως συναρτήσεις με την ομάδα πηλίκο $\mathbb {C} /\Lambda$ ως πεδίο ορισμού τους. Αυτή η πηλίκο ομάδα, που ονομάζεται ελλειπτική καμπύλη, μπορεί να απεικονιστεί ως ένα παραλληλόγραμμο όπου οι αντίθετες πλευρές ταυτίζονται, το οποίο τοπολογικά είναι ένας τόρος^[1].

Τα θεωρήματα του Λιούβιλ Επεξεργασία

Τα ακόλουθα τρία θεωρήματα είναι γνωστά ως θεωρήματα του Λιουβίλ (1847).

1ο θεώρημα Επεξεργασία

Μια ολόμορφη ελλειπτική συνάρτηση είναι σταθερή^[2].

Αυτή είναι η αρχική μορφή του θεωρήματος του Λιουβίλ και μπορεί να προκύψει από αυτόv^[3]. Μια ολόμορφη ελλειπτική συνάρτηση είναι φραγμένη αφού παίρνει όλες τις τιμές της στο θεμελιώδες πεδίο που είναι συμπαγές. Άρα είναι σταθερή σύμφωνα με το θεώρημα του Λιουβίλ.

2ο θεώρημα Επεξεργασία

Κάθε ελλειπτική συνάρτηση έχει πεπερασμένους πόλους στο $\mathbb {C} /\Lambda$ και το άθροισμα των καταλοίπων της είναι μηδέν^[4].

Αυτό το θεώρημα συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει ελλειπτική συνάρτηση μη ίση με το μηδέν με ακριβώς έναν πόλο τάξης ένα ή ακριβώς ένα μηδέν τάξης ένα στο θεμελιώδες πεδίο.

3ο θεώρημα Επεξεργασία

Μια μη σταθερή ελλειπτική συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή τον ίδιο αριθμό φορών στο $\mathbb {C} /\Lambda$ μετρημένο με την πολλαπλότητα.^[5]

Ελλειπτική ℘-συνάρτηση Επεξεργασία

Κύριο άρθρο: Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας

Μια από τις πιο σημαντικές ελλειπτικές συναρτήσεις είναι η Βάιερστρας $\wp$ -συνάρτηση . Για ένα δεδομένο πλέγμα περιόδου $\Lambda$ ορίζεται ως εξής

\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).

Κατασκευάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να έχει έναν πόλο τάξης δύο σε κάθε σημείο του πλέγματος. Ο όρος $-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ υπάρχει για να κάνει τη σειρά συγκλίνουσα.

$\wp$ είναι μια άρτια ελλειπτική συνάρτηση, δηλαδή, $\wp (-z)=\wp (z)$ .^[6]

Το παράγωγό της

\wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}

είναι μια περιττή συνάρτηση, δηλαδή. $\wp '(-z)=-\wp '(z).$ ^[6]

Ένα από τα κύρια αποτελέσματα της θεωρίας των ελλειπτικών συναρτήσεων είναι το ακόλουθο: Κάθε ελλειπτική συνάρτηση ως προς ένα δεδομένο πλέγμα περιόδου $\Lambda$ μπορεί να εκφραστεί ως ρητή συνάρτηση σε όρους των $\wp$ και $\wp '$ .^[7]

Η συνάρτηση $\wp$ ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση

\wp '^{2}(z)=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},

όπου $g_{2}$ και $g_{3}$ είναι σταθερές που εξαρτώνται από το $\Lambda$ . Πιο συγκεκριμένα, $g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})$ και $g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})$ , όπου $G_{4}$ και $G_{6}$ είναι οι λεγόμενες σειρές Άιζενστάιν.^[8]

Στην αλγεβρική γλώσσα, το πεδίο των ελλειπτικών συναρτήσεων είναι ισόμορφο με το πεδίο

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

,

όπου ο ισόμορφος συσχετισμός χαρτών $\wp$ to $X$ και $\wp '$ to $Y$ .

Συνάρτηση Βάιερστρας $\wp$ με πλέγμα περιόδου $\Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}$
Παράγωγος της συνάρτησης $\wp$

Σχέση με ελλειπτικά ολοκληρώματα Επεξεργασία

Η σχέση με τα ελλειπτικά ολοκληρώματα έχει κυρίως ιστορικό υπόβαθρο. Έλλειψη ολοκλήρωσης είχε μελετηθεί από τον Λεζάντρ, του οποίου το έργο είχε ληφθεί σε από τον Νιλς Χένρικ Άμπελ και τον Καρλ Γκούσταβ Τζακόμπι.

Ο Άμπελ ανακάλυψε τις ελλειπτικές συναρτήσεις παίρνοντας την αντίστροφη συνάρτηση $\varphi$ της ελλειπτικής ολοκληρωτικής συνάρτησης

\alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}

με $x=\varphi (\alpha )$ .^[9]

Επιπλέον ορίζονται οι συναρτήσεις ^[10]

f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}

και

F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}

.

Μετά τη συνέχιση στο μιγαδικό επίπεδο αποδείχθηκαν διπλά περιοδικές και είναι γνωστές ως ελλειπτικές συναρτήσεις Άμπελ.

Οι ελλειπτικές συναρτήσεις του Ιακόμπι προκύπτουν αντίστοιχα ως αντίστροφες συναρτήσεις ελλειπτικών ολοκληρωμάτων.

Ο Ιακόμπι θεώρησε την ολοκληρωτική συνάρτηση

\xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}

και το αντέστρεψε: $x=\operatorname {sn} (\xi )$ . $\operatorname {sn}$ σημαίνει sinus amplitudinis (πλάτος ημιτόνου) και είναι το όνομα της νέας συνάρτησης.^[11] Στη συνέχεια εισήγαγε τις συναρτήσεις cosinus amplitudinis (πλάτος συνημιτόνου) και delta amplitudinis, οι οποίες ορίζονται ως εξής:

\operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}

\operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}

.

Μόνο κάνοντας αυτό το βήμα, ο Ιακόμπι μπόρεσε να αποδείξει τον γενικό τύπο μετασχηματισμού των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων το 1827.^[12]

Ιστορία Επεξεργασία

Λίγο μετά την ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού, η θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων ξεκίνησε από τον Ιταλό μαθηματικό Τζούλιο ντι Φανιάνο και τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ. Όταν προσπάθησαν να υπολογίσουν το μήκος του τόξου μιας λεμνισκάτης αντιμετώπισαν προβλήματα που αφορούσαν ολοκληρώματα που περιείχαν την τετραγωνική ρίζα πολυωνύμων 3ου και 4ου βαθμού^[13]. ήταν σαφές ότι αυτά τα λεγόμενα ελλειπτικά ολοκληρώματα δεν μπορούσαν να επιλυθούν με τη χρήση στοιχειωδών συναρτήσεων. Ο Φανιάνο παρατήρησε μια αλγεβρική σχέση μεταξύ των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων, κάτι που δημοσίευσε το 1750.^[13] Ο Όιλερ αμέσως γενίκευσε τα αποτελέσματα του Φανιάνο και έθεσε το αλγεβρικό θεώρημα πρόσθεσης για τα ελλειπτικά ολοκληρώματα^[13].

Εκτός από ένα σχόλιο του Λάντεν^[14], οι ιδέες του δεν συνεχίστηκαν μέχρι το 1786, όταν ο Λεζάντρ δημοσίευσε την εργασία του Απομνημονεύματα για τις ολοκληρώσεις μέσω ελλειπτικών τόξων^[15]. Ο Λεζάντρ στη συνέχεια μελέτησε τα ελλειπτικά ολοκληρώματα και τα ονόμασε ελλειπτικές συναρτήσεις. Ο Λεζάντρ εισήγαγε μια τρεις-πολλαπλάσια ταξινόμηση -three είδη- που ήταν μια κρίσιμη απλοποίηση της μάλλον περίπλοκη θεωρία σε ότι χρόνο. Άλλα σημαντικά έργα του Λεζάντρ είναι τα εξής: (1792),^[16] Ασκήσεις ολοκληρωτικού υπολογισμού (1811-1817),^[17] Πραγματεία ελλειπτικών συναρτήσεων (1825-1832).^[18] Το έργο του Λεζάντρ έμεινε ως επί το πλείστον ανέγγιχτο από τους μαθηματικούς μέχρι το 1826.

Στη συνέχεια, οι Νιλς Χένρικ Άμπελ και Καρλ Γκούσταβ Τζακόμπι συνέχισαν τις έρευνες και ανακάλυψαν σύντομα νέα αποτελέσματα. Αρχικά αντέστρεψαν την ελλειπτική ολοκληρωτική συνάρτηση. Μετά από μια πρόταση του Ιακόμπι το 1829 οι αντίστροφες αυτές συναρτήσεις ονομάζονται πλέον ελλειπτικές συναρτήσεις. Ένα από τα σημαντικότερα έργα του Ιακόμπι είναι το Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (θεμελίωση της νέας θεωρίας των ελλειπτικών συναρτήσεων) το οποίο δημοσιεύτηκε το 1829.^[19] Το θεώρημα πρόσθεσης που βρήκε ο Όιλερ τέθηκε και αποδείχθηκε στη γενική του μορφή από τον Άμπελ το 1829. Να σημειωθεί ότι εκείνη την εποχή η θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων και η θεωρία των διπλά περιοδικών συναρτήσεων θεωρούνταν διαφορετικές θεωρίες. Συγκεντρώθηκαν από τους Μπριότ και Μπουκέ το 1856.^[20] Ο Γκάους ανακάλυψε πολλές από τις ιδιότητες των ελλειπτικών συναρτήσεων 30 χρόνια νωρίτερα, αλλά ποτέ δεν δημοσίευσε κάτι σχετικά με το θέμα^[21].

Δημοσιεύσεις Επεξεργασία

N. I. Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (See Chapter 1.)
E. T. Whittaker and G. N. Watson. A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Fanography - A tool to visually study the classification of threedimensional Fano varieties.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι Επεξεργασία

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
MAA, Translation of Abel's paper on elliptic functions.
Elliptic Functions and Elliptic Integrals στο YouTube, lecture by William A. Schwalm (4 hours)
Johansson, Fredrik (2018). «Numerical Evaluation of Elliptic Functions, Elliptic Integrals and Modular Forms». arXiv:1806.06725 [cs.NA].

Παραπομπές Επεξεργασία

↑ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
↑ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 258, ISBN 978-3-540-32058-6
↑ Jeremy Gray (2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century, Cham, pp. 118f, ISBN 978-3-319-23715-2
↑ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 260, ISBN 978-3-540-32058-6
↑ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 262, ISBN 978-3-540-32058-6
↑ ^6,0 ^6,1 K. Chandrasekharan (1985), Elliptic functions, Berlin: Springer-Verlag, p. 28, ISBN 0-387-15295-4
↑ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 275, ISBN 978-3-540-32058-6
↑ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 276, ISBN 978-3-540-32058-6
↑ Gray, Jeremy (14 October 2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century, Cham, p. 74, ISBN 978-3-319-23715-2
↑ Gray, Jeremy (14 October 2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century, Cham, p. 75, ISBN 978-3-319-23715-2
↑ Gray, Jeremy (14 October 2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century, Cham, p. 82, ISBN 978-3-319-23715-2
↑ Gray, Jeremy (14 October 2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century, Cham, p. 81, ISBN 978-3-319-23715-2
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. σελίδες 23f. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.
↑ John Landen: An Investigation of a general Theorem for finding the Length of any Arc of any Conic Hyperbola, by Means of Two Elliptic Arcs, with some other new and useful Theorems deduced therefrom. In: The Philosophical Transactions of the Royal Society of London 65 (1775), Nr. XXVI, S. 283–289, JSTOR 106197.
↑ Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse. In: Histoire de l’Académie royale des sciences Paris (1788), S. 616–643. – Ders.: Second mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse, et sur la comparaison de ces arcs. In: Histoire de l’Académie royale des sciences Paris (1788), S. 644–683.
↑ Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les transcendantes elliptiques, où l’on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces trancendantes, qui comprennent les arcs d’ellipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les applications du calcul intégral. Du Pont & Firmin-Didot, Paris 1792. Englische Übersetzung A Memoire on Elliptic Transcendentals. In: Thomas Leybourn: New Series of the Mathematical Repository. Band 2. Glendinning, London 1809, Teil 3, S. 1–34.
↑ Adrien-Marie Legendre: Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures. 3 Bände. (Band 1, Band 2, Band 3). Paris 1811–1817.
↑ Adrien-Marie Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique. 3 Bde. (Band 1, Band 2, Band 3/1, Band 3/2, Band 3/3). Huzard-Courcier, Paris 1825–1832.
↑ Carl Gustav Jacob Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Königsberg 1829.
↑ Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. σελ. 122. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.
↑ Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. σελ. 96. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.

[1] Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 259, ISBN 978-3-540-32058-6

[2] Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 258, ISBN 978-3-540-32058-6

[3] Jeremy Gray (2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century, Cham, pp. 118f, ISBN 978-3-319-23715-2

[4] Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 260, ISBN 978-3-540-32058-6

[5] Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 262, ISBN 978-3-540-32058-6

[:0-6] 6,0 ^6,1 K. Chandrasekharan (1985), Elliptic functions, Berlin: Springer-Verlag, p. 28, ISBN 0-387-15295-4

[7] Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 275, ISBN 978-3-540-32058-6

[8] Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (4., korr. und erw. Aufl έκδοση), Berlin: Springer, p. 276, ISBN 978-3-540-32058-6

[9] Gray, Jeremy (14 October 2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century, Cham, p. 74, ISBN 978-3-319-23715-2

[10] Gray, Jeremy (14 October 2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century, Cham, p. 75, ISBN 978-3-319-23715-2

[11] Gray, Jeremy (14 October 2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century, Cham, p. 82, ISBN 978-3-319-23715-2

[12] Gray, Jeremy (14 October 2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century, Cham, p. 81, ISBN 978-3-319-23715-2

[:1-13] 13,0 ^13,1 ^13,2 Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. σελίδες 23f. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.

[14] John Landen: An Investigation of a general Theorem for finding the Length of any Arc of any Conic Hyperbola, by Means of Two Elliptic Arcs, with some other new and useful Theorems deduced therefrom. In: The Philosophical Transactions of the Royal Society of London 65 (1775), Nr. XXVI, S. 283–289, JSTOR 106197.

[15] Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse. In: Histoire de l’Académie royale des sciences Paris (1788), S. 616–643. – Ders.: Second mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse, et sur la comparaison de ces arcs. In: Histoire de l’Académie royale des sciences Paris (1788), S. 644–683.

[16] Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les transcendantes elliptiques, où l’on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces trancendantes, qui comprennent les arcs d’ellipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les applications du calcul intégral. Du Pont & Firmin-Didot, Paris 1792. Englische Übersetzung A Memoire on Elliptic Transcendentals. In: Thomas Leybourn: New Series of the Mathematical Repository. Band 2. Glendinning, London 1809, Teil 3, S. 1–34.

[17] Adrien-Marie Legendre: Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures. 3 Bände. (Band 1, Band 2, Band 3). Paris 1811–1817.

[18] Adrien-Marie Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique. 3 Bde. (Band 1, Band 2, Band 3/1, Band 3/2, Band 3/3). Huzard-Courcier, Paris 1825–1832.

[19] Carl Gustav Jacob Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Königsberg 1829.

[20] Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. σελ. 122. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.

[21] Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. σελ. 96. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]