Επίπεδο πρότυπο

Στην ομολογική άλγεβρα και αλγεβρική γεωμετρία, ένα πρότυπο επίπεδο πάνω από ένα δακτύλιο R είναι μια R-μονάδα Μ τέτοια ώστε, λαμβάνοντας το προϊόν του τανυστή πάνω στο R με M διατηρεί ακριβείς ακολουθίες. Μια ενότητα είναι πιστά επίπεδη εάν παίρνετε το προϊόν του τανυστή με μια ακολουθία παράγει μια ακριβή αλληλουχία αν και μόνο αν η αρχική σειρά είναι ακριβής.

Διανυσματικοί χώροι πάνω από ένα πεδίο είναι επίπεδες ενότητες. Δωρεάν ενότητες, ή γενικότερα προβολικές ενότητες, είναι επίσης επίπεδες, σε οποιοδήποτε R. Για πεπερασμένα παραγομένες ενότητες πάνω από ένα Noetherian δακτύλιο, η επιπεδότητα και η προβολικότητα είναι ισοδύναμες. Για πεπερασμένα παραγόμενες μονάδες πάνω από τους τοπικούς δακτυλίους, η ομαλότητα, η προβολικότητα και freeness είναι όλα ισοδύναμα. ^[1] Το πεδίο πηλίκο του αναπόσπαστου τομέα, και γενικότερα, οποιοσδήποτε εντοπισμός ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι ένα πρότυπο επίπεδο. Το προϊόν των τοπικών δακτυλίων ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι ένα πιστό πρότυπο επίπεδο.

Η ομαλότητα εισήχθη από τον Serre (1956) στην εργασία του Αλγεβρική Γεωμετρία και Αναλυτική Γεωμετρία. Βλέπε επίσης επίπεδος μορφισμός.

Ορισμός Επεξεργασία

Αντιμεταθετικός δακτύλιος Επεξεργασία

Έστω M μια R-ενότητα. Οι ακόλουθες συνθήκες είναι όλες ισοδύναμες, έτσι το Μ είναι επίπεδο εάν ικανοποιεί κάποια (ή όλα) από τα παρακάτω:

Ο συναρτητής

F_{M}:Mod(R)\to Mod(R),\quad N\mapsto M\otimes _{R}N

είναι ακριβώς, όπου το $Mod(R)$ είναι κατηγορία των $R$ -ενοτήτων.

Για κάθε παρεμβαλόμενο μορφισμό $\phi :K\to L$ των $R$ -ενοτήτων $K$ και $L$ , ο επαγόμενος χάρτης

F_{M}(\phi ):M\otimes _{R}K\to M\otimes _{R}L

,

είναι παρεμβαλόμενος.

Για κάθε πεπερασμένα παραγώμενα ιδεώδη $I\hookrightarrow R$ , ο επαγόμενος μορφισμός $I\otimes _{R}M\to R\otimes _{R}M\cong M$ είναι παρεμβαλόμενος.
Υπάρχει ένα κατευθυνόμενο σύστημα $R$ -ενοτήτων $\{F_{\alpha }\}_{\alpha }$ με τις ακόλουθες ιδιότητες:

Για όλα τα $\alpha$ , $F_{\alpha }$ υπάρχει μια πεπερασμένα παραγόμενη, ελεύθερη $R$ -ενότητα.
Το άμεσο όριο είναι $M$ : $\varinjlim _{\alpha }F_{\alpha }=M$ .

^[2]Για κάθε γραμμική εξάρτηση $M$ ,

r^{T}x=\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}=0

,

όπου $r_{i}\in R,x_{i}\in M$ , υπάρχει ένας πίνακας $A\in R^{k\times j}$ τέτοιος ώστε

$Ay=x$ έχει λύση για κάποια $y\in M^{j}$ .
$r^{T}A=0$ .

Για κάθε $R$ -ενότητα $N$ ,

\mathrm {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0

Για κάθε πεπερασμένα παραγόμενο ιδεώδες $I\subset R$ ,

\mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/I,M)=0

.

Για κάθε παράσταση του $f:F\to M$ , όπου $F$ είναι μια πεπερασμένα παραγόμενη ελέυθερη $R$ -ενότητα, και για κάθε πεπερασμένα παραγόμενη $R$ -υποενότητα $K\leq \ker f$ , $f$ παράγοντες μέσο μιας παράστασης σε μια ελέυθερη $R$ -ενότητα $G$ που σκοτώνει $K$ :

Factor property of a flat module

Γενικοί Δακτύλιοι Επεξεργασία

Όταν το R δεν είναι αντιμεταθετικό χρειάζεται κανείς πιο προσεκτική δήλωση ώστε, αν το Μ είναι ένα αριστερό επίπεδο R-ενότητας, το προϊόν τανυστή με M παραστάσεις ακριβείς ακολουθίες της δεξιάς R-ενότητας με τις ακριβείς ακολουθίες των αβελιανών ομάδων.

Λαμβάνοντας προϊόντα τανυστή (πάνω από αυθαίρετους δακτυλίους) είναι πάντα ένας δεξιός ακριβείς συναρτητής. Ως εκ τούτου, η R-ενότητα Μ είναι επίπεδη, αν και μόνο αν για οποιοδήποτε παρεμβαλόμενο ομορφισμό K → L των R-ενοτήτων, ο προκαλούμενος ομορφισμός K $\otimes$ M → L $\otimes$ M είναι επίσης παρεμβαλόμενος.

Παραδείγματα Επεξεργασία

Για οποιοδήποτε πολλαπλασιαστικά κλειστό υποσύνολο S ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R, ο εντοπισμός του δακτυλίου $S^{-1}R$ είναι επίπεδη όπως μια R-ενότητα. Για παράδειγμα, $\mathbb {Q}$ είναι επίπεδο πάνω στο $\mathbb {Z}$ (αν και δεν είναι προβολική).
$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ δεν είναι επίπεδη πάνω στο $\mathbb {Z}$ , επειδή, για παράδειγμα, $n:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,\,x\mapsto nx$ είναι παρεμβαλόμενο, αλλά δεν είναι εναλλασσόμενο με $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ .
Ομοίως, $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ δεν είναι επίπεδο πάνω στο $\mathbb {Z}$ .
Έστω $R=k[t],k$ ένα πεδίο, και $S=R[x]/(tx-1)$ . Δεδομένου ότι το S είναι το ίδιο πράγμα με τον εντοπισμό $R[t^{-1}]$ , είναι επίπεδη πάνω στο R. Από την άλλη πλευρά, το $R[x]/(tx-t)$ δεν είναι επίπεδο πάνω στο R δεδομένου ότι το t είναι ένα στοιχείο στρέψης σε αυτό (οπότε είναι με στρέψη).
Έστω Α ένας Noetherian δακτύλιος και I ένα ιδεώδες. Τότε, η ολοκλήρωση $A\to {\widehat {A}}$ σε σχέση με το Ι είναι επίπεδη. ^[3] Είναι πιστά επίπεδη, αν και μόνο αν το I περιέχεται στην ρίζα Jacobson του Α. ^[4] (cf. Zariski ring.)
Το άμεσο άθροισμα $\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ είναι επίπεδο αν και μόνο αν κάθε $M_{i}$ είναι επίπεδο.
Κάθε προϊόν της A-ενότητας είναι επίπεδο αν και μόνο αν το Aείναι ένας συνεκτικός δακτύλιος.^[5]
(Kunz) Ένας Noetherian δακτύλιος που περιέχει ένα πεδίο μιας χαρακτηριστικής p είναι κανονική αν και μόνο αν ο Φορμπένιους μορφισμός R →R είναι επίπεδος και το R είναι μειωμένο.

Περίπτωση αντιμεταθετικού δακτυλίου Επεξεργασία

Όταν το Μ είναι finitely-generated (είναι ένα πρότυπο που έχει πεπερασμένο σύνολο παραγωγής) R-πρότυπο,το να είναι επίπεδο είναι ίδιο με το να έιναι τοπικά ελεύθερο με την ακόλουθη έννοια: Μ είναι ένα επίπεδο R-πρότυπο αν και μόνο αν για κάθε πρώτο ιδεώδες (ή ακόμα και ακριβώς για κάθε μέγιστη ιδεώδες)P of R, ο localization (μια κατασκευή για την εισαγωγή παρονομαστών σε ένα πρότυπο για ένα δακτύλιο) $M_{P}$ είναι free (θα αναφερόμαστε σε αυτό ως ελεύθερο εννοούμε ένα πρότυπο που έχει βάση δηλαδή που παράγεται από γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία) σαν πρότυπο πάνω στο localization (είναι μία συστηματική μέθοδος προσθήκης αντιστρόφων σε ένα δακτύλιο) $R_{P}$ .

Έστω R ένας τοπικός δακτύλιος με nilpotent (ένα στοιχείο, χ, ενός δακτυλίου, R, καλείται nilpotent εάν υπάρχει κάποιος θετικός ακέραιος αριθμός, n, τέτοιο ώστε χ^n = 0) μέγιστα ιδεώδη (π.χ. ένας Artinian (ένας δακτύλιος που ικανοποιεί τις Ascending chain condition δηλαδή ένα σύνολο ιδιοτήτων για ιδεώδη) τοπικός δακτύλιος) και Μ ένα πρότυπο πάνω σε αυτόν. Τότε Μ επίπεδο συνεπάγεται Μ ελεύθερο.^[1]

Το τοπικό κριτήριο για την ομαλότητα δηλώνει:^[6]

Ας είναι R ένας τοπικός Noetherian δακτύλιος(ο Noetherian δακτύλιος είναι ένας δακτύλιος που ικανοποιεί τις Ascending chain condition δηλαδή ένα σύνολο ιδιοτήτων για ιδεώδη σε ορισμένους αντιμεταθετικούς δακτυλίους),S ένα τοπικό Noetherian R - άλγεβρα (ομομορφισμός δακτυλίων) με ${\mathfrak {m}}_{R}S\subset {\mathfrak {m}}_{S}$ ,και Μ ένα finitely-generated S-πρότυπο.Τότε Μ επίπεδο πάνω στο R αν και μόνο αν $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R/{\mathfrak {m}}_{R})=0.$

Η σημασία αυτού είναι ότι ο S δεν χρειάζεται να είναι πεπερασμένος πάνω στον R και πρέπει μόνο να εξεταστεί το μέγιστο ιδεώδες του R αντί ενός αυθαίρετου ιδανικού του R.

Το επόμενο κριτήριο είναι επίσης χρήσιμο για τη δοκιμή ομαλότητας:^[7]

Ας είναι R, S όπως στο τοπικό κριτήριο για την ομαλότητα.Ας υποθέσουμε ότι το S είναι Cohen - Macaulay(είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με κάποιες αλγεβρογεωμετρικές ιδιότητες) και R είναι regular (στην αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ένας noetherian τοπικός δακτύλιος που έχει την ιδιότητα ο ελάχιστος αριθμός γεννητόρων των μέγιστων ιδεωδών να ισούται με Krull dimension (που είναι το supremum των μηκών όλων των αλυσίδων των πρώτων ιδεωδών)).Τότε το S είναι επίπεδο πάνω στον R αν και μόνο αν $\operatorname {dim} S=\operatorname {dim} R+\operatorname {dim} S/{\mathfrak {m}}_{R}S$ .

Αν S είναι ένας R - άλγεβρα , δηλαδή , έχουμε ένα ομομορφισμό f , τότε S έχει τη δομή ενός R -προτύπου, και ως εκ τούτου είναι λογικό να αναρωτηθούμε αν S είναι επίπεδη πάνω R. Σε αυτό το πλαίσιο έχουμε:

Αν S είναι επίπεδο πάνω στον R,τότε το S είναι ΄΄πιστό επίπεδο΄΄ πάνω R αν και μόνο αν κάθε πρώτο ιδεώδες της R είναι η αντίστροφη εικόνα της f ενός πρώτου ιδεώδους της S. Με άλλα λόγια , αν και μόνο αν $f^{*}\colon \mathrm {Spec} (S)\to \mathrm {Spec} (R)$ .

Τα επίπεδα πρότυπα σε αντιμεταθετικούς δακτυλίους είναι πάντα Torsion-free (είναι ένα πρότυπο πάνω σε ένα δακτύλιο έτσι ώστε το 0 να είναι το μόνο στοιχείο που εξουδετερώνεται από ένα κανονικό στοιχείο (μη μηδενικό διαιρέτη) του δακτυλίου.Projective module (προβολικά πρότυπα πάνω σε ένα δακτύλιο που αποτελούν γενίκευση των ελεύθερων προτύπων και επομένως τα ελεύθερα πρότυπα) είναι πάντα επίπεδα.Για ορισμένες κοινές κλάσεις δακτυλίων,οι καταστάσεις αυτές μπορούν να αντιστραφούν(για παράδειγμα κάθε torsion-free πρότυπο πάνω από ένα Dedekind ring (αποτελεί αναπόσπαστο τομέα στον οποίο κάθε μη μηδενικό κατάλληλο ιδεώδες παραγόντων ανάγεται σε ένα πρώτο ιδεώδες) είναι αυτόματα επίπεδο ,και επίπεδο πρότυπο πάνω από τέλειους δακτυλίους είναι πάντα προβολικό),όπως έχει ενταχθεί στο ακόλουθο διάγραμμα των ιδιοτήτων των προτύπων:

Μία ακεραία περιοχή ονομάζεται Prüfer domain (είναι ένας τύπος δακτυλίων που γενικεύει Dedekind περιοχές σε μη-Noetherian πλαίσιο) αν κάθε torsion-free πρότυπο πάνω της είναι επίπεδο.

Κατηγορικά Σύνορα Επεξεργασία

Σε γενικές γραμμές, τα αυθαίρετα direct sum (άμεσα αθροίσματα) (είναι μια κατασκευή που συνδυάζει πολλά επίπεδα σε ένα νέο μεγαλύτερο επίπεδο) και direct limits (άμεσα όρια) των πρότυπων επιπέδων είναι επίπεδα,μία συνέπεια του γεγονότος ότι το προϊόν του τανυστή ανταλλάσσει με άμεσα αθροίσματα και άμεσα όρια(στην πραγματικότητα με όλα τα σύνορα), και τόσο τα άμεσα αθροίσματα όσο και τα άμεσα όρια είναι exact functors(είναι μία ΄΄χαρτογράφηση΄΄ που διατηρεί ακριβείς ακολουθίες). Υποπρότυπα και πρότυπα παράγοντες των πρότυπων επιπέδων δεν είναι επίπεδα σε γενικές γραμμές (( Π.χ. Z / NZ δεν είναι ένα επίπεδο Z-πρότυπο για n > 1 ). Ωστόσο,έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: η ομομορφική εικόνα ενός επίπεδου προτύπου Μ είναι επίπεδη, αν και μόνο αν ο πυρήνας είναι pure submodule (η έννοια της ΄΄καθαρής υποενότητας ΄΄ παρέχει μια γενίκευση του άμεσου αθροίσματος, που είναι μία πράξη στην ΄΄αφηρημένη άλγεβρα΄΄ ενός κλάδου των μαθηματικών) του Μ.

Ο Daniel Lazard (γεννήθηκε το 1941 και είναι Γάλλος που σπούδαζε μαθηματικά και πληροφορική) απέδειξε το 1969 ότι ένα πρότυπο Μ είναι επίπεδο, αν και μόνο αν το Μ είναι το άμεσο άθροισμα ελεύθερων προτύπων που έχουν πεπερασμένο σύνολο παραγωγής.^[8] Σαν συνέπεια λοιπόν έχουμε ότι κάθε ελεύθερο πρότυπο που έχει πεπερασμένο σύνολο παραγωγής είναι προβολικό.

Μια αβελιανή ομάδα είναι επίπεδη ( θεωρείται ως Z - πρότυπο) αν και μόνο αν είναι torsion-free (έχουμε αναφέρει πιο πάνω τι σημαίνει αυτός ο όρος).

Ομολογική άλγεβρα Επεξεργασία

Η ομαλότητα μπορεί επίσης να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τους Tor συναρτητές (οι οποίοι είναι οι παράγωγες ΄΄χαρτογραφήσεις΄΄) των αριστερά προερχόμενων συναρτητών των προϊόντων του τανυστή. Ένα αριστερό R-πρότυπο Μ είναι επίπεδο αν και μόνο αν Tor_n^R(–, M) για όλα τα $n\geq 1$ (δηλαδή, εάν και μόνο εάν Tor_n^R(X, M) = 0 για όλα τα $n\geq 1$ και όλα τα δεξιά R-πρότυπα Χ).Ομοίως ένα δεξιό R-πρότυπο είναι επίπεδο αν και μόνο αν Tor_n^R(M, X) = 0 για όλα τα $n\geq 1$ και όλα τα αριστερά R-πρότυπα Χ.Χρησιμοποιώντας τους Τορ συναρτητές ΄΄χαρτογραφήσεις΄΄ για τις μεγάλες ακριβείς ακολουθίες, έπειτα είναι εύκολο κανείς να αποδείξει την παρακάτω μικρή ακριβή ακολουθία

0\longrightarrow A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0

Εαν το A και το C είναι επίπεδα, τότε είναι και το B
Εαν το B και το C είναι επίπεδα, τότε είναι και το A

Εαν το A και το B είναι επίπεδα, το C δεν χρειάζεται να είναι επίπεδο πιο γενικά. Ωστόσο μπορεί να δειχθεί το εξής:

Εαν το A είναι καθαρή υποενότητα (μια γενίκευση του άμεσου αθροίσματος) στο B και το B είναι επίπεδο,τότε το A και το C είναι επίπεδα.

Ανάλυση επιπέδου Επεξεργασία

Μια ανάλυση επιπέδου ενός προτύπου M είναι μια ανάλυση της μορφής

... → F₂ → F₁ → F₀ → M → 0

όπου τα F_i είναι όλα επίπεδα πρότυπα. Κάθε ελεύθερη ή προβολική ανάλυση είναι απαραίτητα μια επίπεδη ανάλυση. Οι αναλύσεις επιπέδου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογιστεί η Tor ΄΄χαρτογράφηση΄΄.

Το μήκος μιας πεπερασμένης επίπεδης ανάλυσης είναι ο πρώτος δείκτης n τέτοιος ώστε F_n να είναι μη μηδενικό και F_i=0 για i μεγαλύτερο του n.Εάν ένα πρότυπο Μ επαληθεύει μία πεπερασμένα επίπεδη ανάλυση, το ελάχιστο μήκος μεταξύ όλων των πεπερασμένων επίπεδων αναλύσεων του M ονομάζεται επίπεδη διάσταση ( flat dimension )^[9] και συμβολίζεται με fd(M). Αν το M δεν επαληθεύει μια πεπερασμένη επίπεδη ανάλυση θα θεωρούμε με σύμβαση ότι η επίπεδή τού διάσταση ισούται με άπειρο. Ως παράδειγμα, σκεφτείτε μια μονάδα M τέτοια ώστε fd(M) = 0. Σε αυτήν την περίπτωση , η ακρίβεια της ακολουθίας 0 → F₀ → M → 0 δείχνει ότι το βέλος στο κέντρο είναι ισομορφισμός , και ως εκ τούτου το ίδιο το Μ είναι επίπεδο.^[10]

Σε ορισμένες περιοχές της θεωρίας προτύπων, μια επίπεδη ανάλυση πρέπει να ικανοποιεί την επιπρόσθετη προϋπόθεση ότι κάθε ΄΄χάρτης΄΄ είναι μια επίπεδη προ-κάλυψη του πυρήνα του ΄΄χάρτη΄΄ προς τα δεξιά. Για προβολικές αναλύσεις , αυτή η κατάσταση είναι σχεδόν ΄΄αόρατη΄΄: μια προβολική προ-κάλυψη είναι απλά ένας επιμορφισμός από ένα προβολικό πρότυπο.Αυτές οι ιδέες εμπνευσμένες από το έργο του Auslander σε στρογγυλοποιήσεις. Αυτές οι ιδέες είναι επίσης γνωστές από την πιο κοινή έννοια της ελάχιστης προβολικής ανάλυσης,όπου κάθε ΄΄χάρτης΄΄ πρέπει να είναι μια προβολική κάλυψη του πυρήνα του χάρτη προς τα δεξιά. Ωστόσο, οι προβολικές καλύψεις δεν χρειάζεται να υπάρχουν σε γενικές γραμμές, οπότε ελάχιστες προβολικές αναλύσεις έχουν μόνο περιορισμένη χρήση πάνω από δακτυλίους, όπως οι ακέραιοι.

Επίπεδη κάλυψη Επεξεργασία

Ενώ δεν υπάρχουν πάντα προβολικές καλύψεις για τα πρότυπα,υπήρχε η άποψη για ορισμένους δακτυλίους ότι κάθε πρότυπο έχει μία επίπεδη κάλυψη,δηλαδή,κάθε πρότυπο M θα είναι ο επιμορφισμός της εικόνας ενός επίπεδου προτύπου F έτσι ώστε κάθε ΄΄χάρτης΄΄ από ένα επίπεδο πρότυπο σε M παράγοντες μέσα στο F , καθώς και κάθε ενδομορφισμός της F πάνω M να είναι ένας αυτομορφισμός. Η κατ' εικασία τότε κάλυψη κατ' εικασία τότε κάλυψη αναφέρεται πρώτη φορά (Enochs 1981, σελίδα 196). Η εικασία αυτή αποδείχθηκε ταυτόχρονα από τους L. Bican, R. El Bashir και E. Enochs.^[11] Αυτό η απόδειξη έγινε πράξη με τη σημαντική συνεισφορά των P. Eklof, J. Trlifaj και J. Xu.

Δεδομένου ότι υπάρχουν επίπεδες καλύψεις για όλα τα πρότυπα πάνω από όλους τους δακτυλίους οι ελάχιστες επίπεδες αναλύσεις μπορούν να πάρουν τη θέση των ελάχιστων προβολικών αναλύσεων σε πολλές περιπτώσεις.Η μέτρηση της παρέκκλισης της επίπεδης ανάλυσης από την προβολική ανάλυση ονομάζεται σχετική ομολογική άλγεβρα και ο κλάδος αυτός καλύπτεται από την δουλειά (MacLane 1963) και πιο πρόσφατα από την δουλειά (Enochs & Jenda 2000) εστιάζοντας στην επίπεδη ανάλυση.

Εποικοδομητικά Μαθηματικά Επεξεργασία

Τα επίπεδα πρότυπα έχουν αυξημένη σημασία στα εποικοδομητικά μαθηματικά(constructive mathematics) όπου τα προβολικά πρότυπα έχουν λιγότερη σημασία.Για παράδειγμα το ότι όλα τα ελεύθερα πρότυπα είναι προβολικά ισοδυναμεί με το πλήρες αξίωμα της επιλογής (axiom of choice),έτσι τα θεωρήματα για προβολικά πρότυπα,ακόμα και αν αποδειχθούν εποικοδομητικά,δεν ισχύουν απαραίτητα για ελεύθερα πρότυπα.Αντίθετα, είναι σίγουρο ότι ισχύει ότι τα ελεύθερα πρότυπα είναι επίπεδα,έτσι τα θεωρήματα σχετικά με τα επίπεδα πρότυπα εξακολουθούν να ισχύουν.^[12]

Δείτε ακόμη Επεξεργασία

Το θεώρημα της γενικής ομαλότητας και της γενικής ΄΄ελευθερίας΄΄ που δηλώνουν ότι σύμφωνα με ορισμένες προϋποθέσεις μία δέσμη προτύπων σε ένα σύστημα είτε είναι επίπεδο είτε είναι ελεύθερο.(generic flatness)

Αναφορές Επεξεργασία

↑ ^1,0 ^1,1 Matsumura 1970, Proposition 3.G
↑ Bourbaki, Ch. I, § 2. Proposition 13, Corollay 1.
↑ Matsumura 1970, Theorem 55
↑ Matsumura 1970, Theorem 56
↑ http://mathoverflow.net/questions/120403/flatness-of-power-series-rings/
↑ Eisenbud 1994, Theorem 6.8
↑ Eisenbud 1994, Theorem 6.8
↑ Lazard, D. (1969), «Autour de la platitude», Bulletin de la Société Mathématique de France 97: 81–128, http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__81_0
↑ Lam 1999, p. 183.
↑ A module isomorphic to an flat module is of course flat.
↑ Bican, El Bashir & Enochs 2001.
↑ Richman 1997.

[Matsumura-1] 1,0 ^1,1 Matsumura 1970, Proposition 3.G

[2] Bourbaki, Ch. I, § 2. Proposition 13, Corollay 1.

[3] Matsumura 1970, Theorem 55

[4] Matsumura 1970, Theorem 56

[5] ttp://mathoverflow.net/questions/120403/flatness-of-power-series-rings/

[6] Eisenbud 1994, Theorem 6.8

[7] Eisenbud 1994, Theorem 6.8

[8] Lazard, D. (1969), «Autour de la platitude», Bulletin de la Société Mathématique de France 97: 81–128, http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__81_0

[FOOTNOTELam1999p._183-9] Lam 1999, p. 183.

[10] A module isomorphic to an flat module is of course flat.

[FOOTNOTEBicanEl_BashirEnochs2001-11] Bican, El Bashir & Enochs 2001.

[FOOTNOTERichman1997-12] Richman 1997.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]