Στη γεωμετρία , το θεώρημα Καρνό (αναφέρεται και ως θεώρημα Carnot ) είναι μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου .
Το εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων ισούται με το εμβαδόν των μπλε.
Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
και τα σημεία
P
A
,
P
B
,
P
Γ
{\displaystyle \mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }} }
οι τομές των τριών καθέτων με τις πλευρές του τριγώνου. Τότε, οι κάθετε συντρέχουν ανν[ 1] :203 [ 2] :184-186
A
P
B
2
+
Γ
P
A
2
+
B
P
Γ
2
=
A
P
Γ
2
+
Γ
P
B
2
+
B
P
A
2
.
{\displaystyle \mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}} ^{2}.}
Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λαζάρ Καρνό και είναι μία γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος .
Σχήμα απόδειξης του αντίστροφου θεωρήματος.
Έστω ένα σημείο
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
και οι προβολές του
P
A
,
P
B
,
P
Γ
{\displaystyle \mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }} }
επί των πλευρών του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
. Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα
A
P
B
P
{\displaystyle \mathrm {AP_{B}P} }
,
Γ
P
A
P
{\displaystyle \mathrm {\Gamma P_{A}P} }
και
B
P
Γ
P
{\displaystyle \mathrm {BP_{\Gamma }P} }
, έχουμε ότι
A
P
B
2
+
Γ
P
A
2
+
B
P
Γ
2
=
(
A
P
2
−
P
P
B
2
)
+
(
Γ
P
2
−
P
P
A
2
)
+
(
B
P
2
−
P
P
Γ
2
)
=
(
A
P
2
−
P
P
Γ
2
)
+
(
Γ
P
2
−
P
P
B
2
)
+
(
B
P
2
−
P
P
A
2
)
=
A
P
Γ
2
+
Γ
P
B
2
+
B
P
A
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}&=(\mathrm {AP} ^{2}-\mathrm {PP_{B}} ^{2})+(\mathrm {\Gamma P} ^{2}-\mathrm {PP_{A}} ^{2})+(\mathrm {BP} ^{2}-\mathrm {PP_{\Gamma }} ^{2})\\&=(\mathrm {AP} ^{2}-\mathrm {PP_{\Gamma }} ^{2})+(\mathrm {\Gamma P} ^{2}-\mathrm {PP_{B}} ^{2})+(\mathrm {BP} ^{2}-\mathrm {PP_{A}} ^{2})\\&=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}} ^{2},\end{aligned}}}
χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα
A
P
Γ
P
{\displaystyle \mathrm {AP_{\Gamma }P} }
,
Γ
P
B
P
{\displaystyle \mathrm {\Gamma P_{B}P} }
και
B
P
A
P
{\displaystyle \mathrm {BP_{A}P} }
.
Σχήμα απόδειξης του αντίστροφου θεωρήματος.
Για το αντίστροφο, έστω
ϵ
A
,
ϵ
B
,
ϵ
Γ
{\displaystyle \epsilon _{\mathrm {A} },\epsilon _{\mathrm {B} },\epsilon _{\Gamma }}
τρεις κάθετες στα σημεία
P
A
,
P
B
,
P
Γ
{\displaystyle \mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }} }
των πλευρών ενός τριγώνου που ικανοποιούν
A
P
B
2
+
Γ
P
A
2
+
B
P
Γ
2
=
A
P
Γ
2
+
Γ
P
B
2
+
B
P
A
2
.
{\displaystyle \mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}} ^{2}.}
(1 )
Επίσης, θεωρούμε
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
το σημείο τομής των
ϵ
B
{\displaystyle \epsilon _{\mathrm {B} }}
και
ϵ
Γ
{\displaystyle \epsilon _{\Gamma }}
.
Θεωρούμε
P
A
′
{\displaystyle \mathrm {P} _{\mathrm {A} }'}
την προβολή του
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
στο
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
. Θα δείξουμε ότι
P
A
′
=
P
A
{\displaystyle \mathrm {P} _{\mathrm {A} }'=\mathrm {P} _{\mathrm {A} }}
. Από το ευθύ του θεωρήματος, έχουμε ότι ικανοποιεί
A
P
B
2
+
Γ
P
A
′
2
+
B
P
Γ
2
=
A
P
Γ
2
+
Γ
P
B
2
+
B
P
A
′
2
.
{\displaystyle \mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}'} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}'} ^{2}.}
(2 )
Συνδυάζοντας τις (1 ) και (2 ), έχουμε ότι
B
P
A
′
2
−
Γ
P
A
′
2
=
B
P
A
2
−
Γ
P
A
2
{\displaystyle \mathrm {BP_{A}'} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}'} ^{2}=\mathrm {BP_{A}} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}}
Χρησιμοποιώντας ότι
B
P
A
′
=
B
Γ
−
Γ
P
A
′
{\displaystyle \mathrm {BP_{A}'} =\mathrm {B\Gamma } -\mathrm {\Gamma P_{A}'} }
και
B
P
A
=
B
Γ
−
Γ
P
A
{\displaystyle \mathrm {BP_{A}} =\mathrm {B\Gamma } -\mathrm {\Gamma P_{A}} }
, λαμβάνουμε ότι
B
P
A
′
2
−
Γ
P
A
′
2
=
B
P
A
2
−
Γ
P
A
2
,
{\displaystyle \mathrm {BP_{A}'} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}'} ^{2}=\mathrm {BP_{A}} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2},}
και συνεπώς τα σημεία
P
A
′
{\displaystyle \mathrm {P_{A}'} }
και
P
A
{\displaystyle \mathrm {P_{A}} }
ταυτίζονται.
↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά . Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0 .