Θεώρημα Καρνό (κάθετοι)

αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου

Στη γεωμετρία, το θεώρημα Καρνό (αναφέρεται και ως θεώρημα Carnot) είναι μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου.

Το εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων ισούται με το εμβαδόν των μπλε.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο και τα σημεία οι τομές των τριών καθέτων με τις πλευρές του τριγώνου. Τότε, οι κάθετε συντρέχουν ανν[1]:203[2]:184-186

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λαζάρ Καρνό και είναι μία γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Απόδειξη

Επεξεργασία
 
Σχήμα απόδειξης του αντίστροφου θεωρήματος.

Έστω ένα σημείο   και οι προβολές του   επί των πλευρών του τριγώνου  . Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα  ,   και  , έχουμε ότι

 

χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα  ,   και  .

 
Σχήμα απόδειξης του αντίστροφου θεωρήματος.

Αντίστροφο

Επεξεργασία

Για το αντίστροφο, έστω   τρεις κάθετες στα σημεία   των πλευρών ενός τριγώνου που ικανοποιούν

 

 

 

 

 

(1)

Επίσης, θεωρούμε   το σημείο τομής των   και  .

Θεωρούμε   την προβολή του   στο  . Θα δείξουμε ότι  . Από το ευθύ του θεωρήματος, έχουμε ότι ικανοποιεί

 

 

 

 

 

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι

 

Χρησιμοποιώντας ότι   και  , λαμβάνουμε ότι

 

και συνεπώς τα σημεία   και   ταυτίζονται.

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Επεξεργασία