Βικιπαίδεια

Λάσλο Φέγες Τοτ

Ο Λάσλο Φέγες Τοτ (ουγγρικά: László Fejes Tóth , 12 Μαρτίου 1915 - 17 Μαρτίου 2005) ήταν Ούγγρος μαθηματικός με εξειδίκευση στη γεωμετρία. Απέδειξε ότι ένα μοτίβο πλέγματος είναι ο πιο αποτελεσματικός τρόπος για να συσκευάσουμε κεντρικά συμμετρικά κυρτά σύνολα στο ευκλείδειο επίπεδο (γενίκευση του θεωρήματος του Thue, ένα δισδιάστατο ανάλογο της εικασίας του Κέπλερ)[4] Επίσης, διερεύνησε το πρόβλημα του πακεταρίσματος σφαιρών. Ήταν ο πρώτος που έδειξε, το 1953, ότι η απόδειξη της εικασίας του Κέπλερ μπορεί να αναχθεί σε μια ανάλυση πεπερασμένων περιπτώσεων και, αργότερα, ότι το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί με τη χρήση υπολογιστή.

Λάσλο Φέγες Τοτ
Γενικές πληροφορίες
Όνομα στη
μητρική γλώσσα		László Fejes Tóth (Ουγγρικά)
Γέννηση12 Μαρτίου 1915
Σέγκεντ[1]
Θάνατος17 Μαρτίου 2005
Βουδαπέστη[2]
Χώρα πολιτογράφησηςΟυγγαρία
Εκπαίδευση και γλώσσες
Ομιλούμενες γλώσσεςΓερμανικά[3]
ΣπουδέςΠανεπιστήμιο Έτβες Λόραντ (έως 1938)
Πληροφορίες ασχολίας
Ιδιότηταμαθηματικός
Αξιώματα και βραβεύσεις
Βραβεύσειςβραβείο Κόσουτ (1957)
μετάλλιο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1977)
επίτιμος διδάκτωρ του Πανεπιστημίου του Σάλτσμπουργκ (1991)
Commons page Σχετικά πολυμέσα
δεδομένα

Ήταν μέλος της Ουγγρικής Ακαδημίας Επιστημών (από το 1962) και διευθυντής του Ινστιτούτου Μαθηματικών Άλφρεντ Ρένι(1970-1983). Έλαβε το βραβείο Κοσσούθ (1957) και το κρατικό βραβείο (1973)[5][6].

Μαζί με τον H.S.M. Κοξέτερ και τον Πολ Έρντος, έθεσε τα θεμέλια της διακριτής γεωμετρίας[7][8].

Νεανική ηλικία και σταδιοδρομία Επεξεργασία

Όπως επεσήμανε ο Ίστβαν Χαργκίταϊ σε συνέντευξή του το 1999, ο πατέρας του Φέγες Τοτ ήταν υπάλληλος σιδηροδρόμων, ο οποίος προόδευσε στη καριέρα του στον οργανισμό σιδηροδρόμων και τελικά έλαβε διδακτορικό στη νομική. Η μητέρα του Φέγες Τοτ δίδασκε ουγγρική και γερμανική λογοτεχνία σε γυμνάσιο. Η οικογένεια μετακόμισε στη Βουδαπέστη όταν ο Φέγες Τοτ ήταν πέντε ετών, όπου φοίτησε στο δημοτικό σχολείο και στο γυμνάσιο Széchenyi István Reálgimnázium, όπου άρχισε να ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά[6].

Ο Φέγες Τοτ φοίτησε στο Πανεπιστήμιο Πέτερ Πάζμαν, το σημερινό Πανεπιστήμιο Λόραντ Έτβος. Ως πρωτοετής φοιτητής, ανέπτυξε μια γενικευμένη λύση σχετικά με την εκθετική σειρά Cauchy, την οποία δημοσίευσε στα πρακτικά της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών-1935.[6][9] Στη συνέχεια έλαβε το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο Πέτερ Πάζμαν, υπό τη διεύθυνση του Λίποτ Fejér[10].

Μετά το πανεπιστήμιο, υπηρέτησε ως στρατιώτης για δύο χρόνια, αλλά πήρε ιατρική απαλλαγή. Το 1941 εισήχθη στο Πανεπιστήμιο του Κολόζσβαρ (Κλουζ)[10]. Εκεί άρχισε να ενδιαφέρεται για τα προβλήματα συσκευασίας.[11] Το 1944 επέστρεψε στη Βουδαπέστη για να διδάξει μαθηματικά στο Γυμνάσιο Árpád. Μεταξύ 1946 και 1949 δίδαξε στο Πανεπιστήμιο Πέτερ Πάζμαν και από το 1949 έγινε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Veszprém (σήμερα Πανεπιστήμιο της Pannonia) για 15 χρόνια,[6] όπου ήταν ο κύριος δημιουργός της θεωρίας των "γεωμετρικών μοτίβων" "του επιπέδου, της σφαίρας και του επιφανειακού χώρου" και όπου "είχε μελετήσει τις μη πλέγμα-ομοειδείς δομές και τους οιονεί κρυστάλλους", οι οποίοι αργότερα έγιναν ανεξάρτητος κλάδος, όπως αναφέρει ο János Pach[10].

Οι συντάκτες ενός βιβλίου αφιερωμένου στον Φέγες Τοτ περιέγραψαν μερικά από τα σημαντικότερα σημεία του πρώιμου έργου του- παραδείγματος χάριν, ότι έδειξε ότι η μέγιστη πυκνότητα μιας συσσώρευσης επαναλαμβανόμενων συμμετρικών κυρτών σωμάτων εμφανίζεται με ένα μοτίβο συσσώρευσης πλέγματος. Έδειξε επίσης ότι, από όλα τα κυρτά πολύτοπα δεδομένης επιφάνειας που είναι ισοδύναμα με ένα δεδομένο πλατωνικό στερεό (π.χ. ένα τετράεδρο ή ένα οκτάεδρο), ένα κανονικό πολύτοπο έχει πάντα τον μεγαλύτερο δυνατό όγκο

Ανέπτυξε μια τεχνική που αποδείκνυε την εικασία του Στάινερ για τον κύβο και για το δωδεκάεδρο[11]. Μέχρι το 1953, ο Φέγες Τοτ είχε γράψει δεκάδες εργασίες αφιερωμένες σε αυτού του είδους τα θεμελιώδη ζητήματα[10]. Η διακεκριμένη ακαδημαϊκή του καριέρα του επέτρεψε να ταξιδέψει στο εξωτερικό πέρα από το Σιδηρούν Παραπέτασμα για να συμμετάσχει σε διεθνή συνέδρια και να διδάξει σε διάφορα πανεπιστήμια, μεταξύ άλλων στο Φράιμπουργκ, στο Μάντισον του Ουισκόνσιν, στο Οχάιο και στο Σάλτσμπουργκ[6].

Οι συντάκτες ενός βιβλίου αφιερωμένου στον Φέγες Τοτ περιέγραψαν μερικά από τα σημαντικότερα σημεία του πρώιμου έργου του- π.χ. ότι απέδειξε ότι η μέγιστη πυκνότητα μιας συσκευασίας επαναλαμβανόμενων συμμετρικών κυρτών σωμάτων εμφανίζεται με ένα μοτίβο πλέγματος συσκευασίας. Απέδειξε επίσης ότι, από όλα τα κυρτά πολύτοπα δεδομένης επιφάνειας που είναι ισοδύναμα με ένα δεδομένο πλατωνικό στερεό (π.χ. ένα τετράεδρο ή ένα οκτάεδρο), ένα κανονικό πολύτοπο έχει πάντα τον μεγαλύτερο δυνατό όγκο. Ανέπτυξε μια τεχνική που αποδείκνυε την εικασία του Στάινερ για τον κύβο και για το δωδεκάεδρο[11]. Μέχρι το 1953, ο Φέγες Τοτ είχε γράψει δεκάδες εργασίες αφιερωμένες σε αυτού του είδους τα θεμελιώδη ζητήματα[10]. Η διακεκριμένη ακαδημαϊκή του καριέρα του επέτρεψε να ταξιδέψει στο εξωτερικό πέρα από το Σιδηρούν Παραπέτασμα για να συμμετάσχει σε διεθνή συνέδρια και να διδάξει σε διάφορα πανεπιστήμια, μεταξύ άλλων στο Φράιμπουργκ, στο Μάντισον του Ουισκόνσιν, στο Οχάιο και στο Σάλτσμπουργκ[6].

Ο Φέγες Τοτ γνώρισε τη σύζυγό του στο πανεπιστήμιο. Ήταν χημικός. Ήταν γονείς τριών παιδιών, δύο γιους -ο ένας καθηγητής μαθηματικών στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Αλφρέντ Ρένι, ο άλλος καθηγητής φυσιολογίας στο Κολέγιο Ντάρτμουθ- και μία κόρη, ψυχολόγος[6]. του άρεσε ο αθλητισμός, καθώς ήταν επιδέξιος στο επιτραπέζιο τένις, την αντισφαίριση και τη γυμναστική. Μία οικογενειακή φωτογραφία τον δείχνει να αιωρείται με τα χέρια του πάνω από την κορυφή ενός ψηλού σίδερου, όταν ήταν περίπου πενήντα ετών[10].

Ο Φέγες Τοτ κατείχε τις ακόλουθες θέσεις κατά τη διάρκεια της καριέρας του:[5]

  • Βοηθός καθηγητή, Πανεπιστήμιο του Κολόζσβαρ (Κλουζ) (1941-44)
  • Καθηγητής, Γυμνάσιο του Άρπαντ (1944-48)
  • Ιδιωτικός λέκτορας, Πανεπιστήμιο Πέτερ Πάζμαν (1946-48)
  • Καθηγητής, Πανεπιστήμιο του Βέσπρεμ (1949-64)[6].
  • Ερευνητής, στη συνέχεια διευθυντής (το 1970), Ινστιτούτο Μαθηματικών Ερευνών (Ινστιτούτο Μαθηματικών Αλφρέντ Ρένι) (1965-83)

Εκτός από τα υπηρεσιακά του καθήκοντα, ήταν αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας Επιστημών και Ανθρωπιστικών Επιστημών της Σαξονίας, της Ακαδημίας των Επιστημών της DDR[12] και της Braunschweigische Wissenschaftlische Gesellschaft.

Εργασία σε κανονικά σχήματα Επεξεργασία

Σύμφωνα με τον J. A. Τοντ,[13] έναν κριτικό του βιβλίου Regular Figures του Φέγες Τοτ.[14]. Ο Φέγες Τοτ χώρισε το θέμα σε δύο ενότητες. Η μία, με τίτλο "Systematology of the Regular Figures", αναπτύσσει μια θεωρία των "κανονικών και αρχιμήδειων πολυέδρων και των κανονικών πολυτόπων". Ο Τοντ εξηγεί ότι η επεξεργασία περιλαμβάνει:

  • Επίπεδα στολίδια, συμπεριλαμβανομένων των δισδιάστατων κρυσταλλογραφικών ομάδων
  • Σφαιρικές διατάξεις, συμπεριλαμβανομένης της απαρίθμησης των 32 κρυσταλλικών κατηγοριών
  • Υπερβολικά ψηφιδωτά, εκείνες οι διακριτές ομάδες που παράγονται από δύο πράξεις των οποίων το γινόμενο είναι αναπόσπαστο
  • Πολύεδρα, συμπεριλαμβανομένων των κανονικών στερεών και των κυρτών Αρχιμήδειων στερεών
  • Κανονικά πολύτοπα
  •  
    Σε εργασία αφιερωμένη στον Φέγες Τοτ, αυτή η συμπαγής δυαδική συσκευασία κύκλων αποδείχθηκε ότι είναι η πυκνότερη δυνατή επίπεδη συσκευασία δίσκων με αυτόν τον λόγο μεγέθους.[15][16]
  •  
    Ένα πυκνό πακετάρισμα σφαιρών[17]
  •  
    Δωδεκάεδρο (Κανονικό κυρτό πολύεδρο)
  •  
    Μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο
  •  
    Επτάγωνο (Ένα 2-διάστατο κανονικό πολύτοπο)
  •  
    Ένα ημικανονικό ψηφιδωτό με τρία πρωτότυπα: ένα τρίγωνο, ένα τετράγωνο και ένα εξάγωνο.

Η άλλη ενότητα, με τίτλο "Γενετική των κανονικών μορφών", καλύπτει μια σειρά από ειδικά προβλήματα, σύμφωνα με τον Todd. Τα προβλήματα αυτά περιλαμβάνουν "συσκευασίες και καλύψεις κύκλων σε ένα επίπεδο, και ... με ψηφίδες σε μια σφαίρα" και επίσης προβλήματα "στο υπερβολικό επίπεδο, και στον Ευκλείδειο χώρο τριών ή περισσότερων διαστάσεων". Εκείνη την εποχή, ο Todd έκρινε ότι τα προβλήματα αυτά ήταν "ένα θέμα στο οποίο υπάρχουν ακόμη πολλά περιθώρια για έρευνα και το οποίο απαιτεί σημαντική εφευρετικότητα στην προσέγγιση των προβλημάτων του"[13].

Βραβεία Επεξεργασία

 
Διάγραμμα της εξαγωνικής στενής συσκευασίας (αριστερά) και της κυβικής στενής συσκευασίας (δεξιά), όπως φαίνονται από διαφορετικές γωνίες.

Ο Ίμρε Μπάρανυ αποδίδει στον Φέγες Τοτ αρκετές σημαντικές αποδείξεις στον τομέα της διακριτής και κυρτής γεωμετρίας, που αφορούν συσκευασίες και καλύψεις από κύκλους, κυρτά σύνολα στο επίπεδο και συσκευασίες και καλύψεις σε υψηλότερες διαστάσεις, συμπεριλαμβανομένης της πρώτης σωστής απόδειξης του θεωρήματος του Thue. Ο ίδιος αποδίδει στον Φέγες Τοτ, μαζί με τον Πολ Έρντος, ότι βοήθησε στη "δημιουργία της σχολής της ουγγρικής διακριτής γεωμετρίας"[8].

Η μονογραφία του Φέγες Τοτ, Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum,[18][19] η οποία μεταφράστηκε στα ρωσικά και στα ιαπωνικά, του χάρισε το βραβείο Κοσσούθ το 1957 και την ιδιότητα του μέλους της Ουγγρικής Ακαδημίας Επιστημών το 1962[5][10]

Ο Γουίλιαμ Ετζ,[20] ένας άλλος κριτικός του Regular Figures,[14] αναφέρει το προηγούμενο έργο του Φέγες Τοτ, Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum,[18] ως βάση για το δεύτερο κεφάλαιο του Regular Figures. Τονίζει ότι, κατά την εποχή του έργου αυτού, το πρόβλημα του ανώτερου ορίου για την πυκνότητα μιας συσσώρευσης ίσων σφαιρών ήταν ακόμη άλυτο.

Η προσέγγιση που πρότεινε ο Φέγες Τοτ σε εκείνο το έργο, η οποία μεταφράζεται ως "πακετάρισμα [αντικειμένων] σε ένα επίπεδο, σε μια σφαίρα και σε ένα χώρο", παρείχε στον Thomas Hales μια βάση για την απόδειξη της εικασίας του Κέπλερ το 1998. Η εικασία του Κέπλερ, που πήρε το όνομά της από τον Γερμανό μαθηματικό και αστρονόμο του 17ου αιώνα Γιοχάνες Κέπλερ, λέει ότι καμία διάταξη από σφαίρες ίσου μεγέθους που γεμίζουν τον χώρο δεν έχει μεγαλύτερη μέση πυκνότητα από εκείνη της κυβικής στενής συσκευασίας (face-centered cubic) και της εξαγωνικής στενής συσκευασίας. Ο Hales χρησιμοποίησε μια απόδειξη μέσω εξάντλησης που περιλαμβάνει τον έλεγχο πολλών μεμονωμένων περιπτώσεων, χρησιμοποιώντας πολύπλοκους υπολογισμούς σε υπολογιστή[21][22][23][24][25].

Ο Φέγες Τοτ έλαβε τα ακόλουθα βραβεία:[5]

  • Βραβείο Κλουγκ Λίποτ (1943)
  • Βραβείο Κοσσούθ (1957)
  • Κρατικό βραβείο (νυν βραβείο Széchenyi) (1973)
  • Βραβείο Τιμπόρ Σέλε (1977)
  • Μετάλλιο για τη διεκατονταετηρίδα του Γκάους (1977)
  • Χρυσό μετάλλιο της Ουγγρικής Ακαδημίας Επιστημών (2002)

Έλαβε τιμητικούς τίτλους από το Πανεπιστήμιο του Σάλτσμπουργκ (1991) και το Πανεπιστήμιο του Βέσπρεμ (1997).

Το 2008, στη μνήμη του Φέγες Τοτ διεξήχθη ένα συνέδριο στη Βουδαπέστη από την περίοδο 30 Ιουνίου - 6 Ιουλίου[5], το οποίο γιόρτασε τον όρο "Διαισθητική Γεωμετρία", τον οποίο επινόησε ο Φέγες Τοτ για να αναφερθεί στο είδος της γεωμετρίας που είναι προσιτό στον "άνθρωπο του δρόμου". Σύμφωνα με τους διοργανωτές του συνεδρίου, ο όρος περιλαμβάνει τη συνδυαστική γεωμετρία, τη θεωρία της συσκευασίας, της κάλυψης και των πλακιδίων, την κυρτότητα, την υπολογιστική γεωμετρία, τη θεωρία ακαμψίας, τη γεωμετρία των αριθμών, την κρυσταλλογραφία και την κλασική διαφορική γεωμετρία.

Το Πανεπιστήμιο της Παννονίας διαχειρίζεται το Βραβείο László Φέγες Τοτ (ουγγρικά: Fejes Tóth László-díj) για την αναγνώριση "εξαιρετικών συνεισφορών και εξελίξεων στον τομέα των μαθηματικών επιστημών"[26]. 2015, έτος της εκατονταετηρίδας από τη γέννηση του Φέγες Τοτ, το βραβείο απονεμήθηκε στον Κάρολι Μπέζντεκ του Πανεπιστημίου του Κάλγκαρι σε τελετή που πραγματοποιήθηκε στις 19 Ιουνίου 2015 στο Βέσπρεμ της Ουγγαρίας[27] .

Σημαντικής δημοσιεύσεις Επεξεργασία

 
Ο Φέγες Τοτ στη Βιέννη, 1987
  • Fejes Tóth, László (1935). «Des séries exponentielles de Cauchy» (στα γαλλικά). C. R. Acad. Sci. 200: 1712–1714. 
  • Fejes Tóth, László (1938). «Über einige Extremumaufgaben bei Polyedern» (στα hu, de). Mat. Fiz. Lapok 45: 191–199. 
  • Fejes Tóth, László (1939). «Über das Schmiegungspolyeder» (στα hu, de). Mat. Fiz. Lápok 46: 141–145. 
  • Fejes Tóth, László (1938). «Sur les séries exponentielles de Cauchy» (στα hu, fr). Mat. Fiz. Lapok 45: 115–132. 
  • Fejes Tóth, László (1939). «Über zwei Maximumaufgaben bei Polyedern» (στα γερμανικά). Tôhoku Math. J. 46: 79–83. 
  • Fejes Tóth, László (1939). «Über die Approximation konvexer Kurven durch Polygonfolgen» (στα γερμανικά). Compositio Mathematica (Groningen) 6: 456–467. 
  • Fejes Tóth, László (1939). «Two inequalities concerning trigonometric polynomials». J. London Math. Soc. 14: 44–46. doi:10.1112/jlms/s1-14.1.44. 
  • Fejes Tóth, László (1940). «Über ein extremales Polyeder» (στα hu, de). Math.-naturw. Anz. Ungar. Akad. Wiss. 59: 476–479. 
  • Fejes Tóth, László (1940). «Eine Bemerkung zur Approximation durch n-Eckringe» (στα γερμανικά). Compositio Mathematica (Groningen) 7: 474–476. 
  • Fejes Tóth, László (1940). «Sur un théorème concernant l'approximation des courbes par des suites de polygones» (στα γαλλικά). Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa, Sci. Fis. Mat 2 (9): 143–145. 
  • Fejes Tóth, László (1940). «Über einen geometrischen Satz» (στα γερμανικά). Math. Z. 46: 83–85. doi:10.1007/bf01181430. 
  • Fejes Tóth, László (1942). «Die regulären Polyeder, als Lösungen von Extremalaufgaben» (στα hu, de). Math.-naturw. Anz. Ungar. Akad. Wiss. 61: 471–477. 
  • Fejes Tóth, László (1942). «Das gleichseitige Dreiecksgitter als Lösung von Extremalaufgaben». Mat. Fiz. Lapok 49: 238–248. 
  • Fejes Tóth, László (1942). «Über die Fouriersche Reihe der Abkühlung» (στα hu, de). Math.-naturw. Anz. Ungar. Akad. Wiss 61: 478–495. 
  • Fejes Tóth, László (1950). «Some packing and covering theorems». Acta Sci. Math. 12A: 62–67. 
  • Fejes Tóth, László (1953), Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, LXV, Berlin, New York: Springer-Verlag, σελ. 238 
  • Fejes Tóth, László (1964), Regular Figures, Oxford: Pergamon Press, σελ. 339 
  • Fejes Tóth, László (1965), Reguläre Figuren, Budapest: Akadémiai Kiadó, σελ. 316 
  • Fejes Tóth, László (1971), «Lencsék legsűrűbb elhelyezése a síkban», Matematikai Lapok 22: 209–213 
  • Fejes Tóth, László (1986), «Densest packing of translates of the union of two circles», Discrete and Computational Geometry 1 (4): 307–314, doi:10.1007/bf02187703, Zbl 0606.52004 

Παραπομπές Επεξεργασία

  1. ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας: (Γερμανικά) Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 15  Δεκεμβρίου 2014.
  2. ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας: (Γερμανικά) Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 31  Δεκεμβρίου 2014.
  3. ↑ «Identifiants et Référentiels». (Γαλλικά) IdRef. Agence bibliographique de l'enseignement supérieur. Ανακτήθηκε στις 11  Μαΐου 2020.
  4. ↑ Fejes Tóth, László (1950). «Some packing and covering theorems». Acta Sci. Math. 12A: 62–67. 
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 Kántor-Varga, T. (2010), «Fejes Tóth László», στο: Horváth, János, επιμ., A Panorama of Hungarian Mathematics in the Twentieth Century, I, New York: Springer, σελ. 573–574, ISBN 9783540307211 
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 Hargittai, István (2005). «Interview (with László Fejes Tóth)» (στα Ουγγρικά). Hungarian Science. σελ. 318. Ανακτήθηκε στις 16 Νοεμβρίου 2013. 
  7. ↑ Katona, G. O. H. (2005), «Laszlo Fejes Toth – Obituary», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 42 (2): 113 
  8. ↑ 8,0 8,1 Bárány, Imre Horváth, János, επιμ.. (2010), «Discrete and convex geometry», A Panorama of Hungarian Mathematics in the Twentieth Century, I, New York: Springer, σελ. 431–441, ISBN 9783540307211 
  9. ↑ Fejes Tóth, László (1935). «Des séries exponentielles de Cauchy» (στα γαλλικά). Comptes rendus de l'Académie des sciences (Paris) (200): 1712–1714. 
  10. ↑ 10,0 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 János Pach «Ötvenévesen a nyújtón—Fejes Tóth László emlékezete», Népszabadság, 2005-04-09, http://www.nol.hu/archivum/archiv-358109?ref=sso, ανακτήθηκε στις 2013-12-06 
  11. ↑ 11,0 11,1 11,2 Bárány, Imre· Böröczky, Károly· και άλλοι. (2014). Bárány, I.· Böröczky, K.J.· Fejes Tóth, G.· Pach, J, επιμ. Geometry - Intuitive, Discrete, and Convex—A Tribute to László Fejes Tóth. Bolyai Society Mathematical Studies. 24. Berlin: Springer. σελίδες 7–8. ISSN 1217-4696. 
  12. ↑ Staff (2010). «Mitglieder der Vorgängerakademien». Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 29 Σεπτεμβρίου 2018. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2018. 
  13. ↑ 13,0 13,1 Todd, J.A, Fejes Toth, L., Regular Figures, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 14, Cambridge, England: Cambridge University Press, 1964, σελ. 174–175, doi:10.1017/S0013091500026055 
  14. ↑ 14,0 14,1 Fejes Tóth, László (1964), Regular Figures, Oxford: Pergamon Press, σελ. 339 
  15. ↑ Heppes, Aladár (1 August 2003). «Some Densest Two-Size Disc Packings in the Plane». Discrete and Computational Geometry 30 (2): 241–262. doi:10.1007/s00454-003-0007-6. 
  16. ↑ Tom Kennedy (2006). «Compact packings of the plane with two sizes of discs». Discrete and Computational Geometry 35 (2): 255–267. doi:10.1007/s00454-005-1172-4. 
  17. ↑ O’Toole, P. I.; Hudson, T. S. (2011). «New High-Density Packings of Similarly Sized Binary Spheres». The Journal of Physical Chemistry C 115 (39): 19037. doi:10.1021/jp206115p. 
  18. ↑ 18,0 18,1 Fejes Tóth, László (1953), Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, LXV, Berlin, New York: Springer-Verlag, σελ. 238 
  19. ↑ Coxeter, H. S. M. «Review: Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum by L. Fejes Tóth». Bull. Amer. Math. Soc. 60 (2): 202–206. 1954. doi:10.1090/S0002-9904-1954-09805-1. 
  20. ↑ Edge, W.L. (October 1965), Regular Figures by L. Fejes Toth, 49, Leicester, England: The Mathematical Gazette, σελ. 343–345 
  21. ↑ Hales, Thomas C. (2000), «Cannonballs and honeycombs», Notices of the American Mathematical Society 47 (4): 440–449, ISSN 0002-9920, https://www.ams.org/notices/200004/  An elementary exposition of the proof of the Kepler conjecture.
  22. ↑ Hales, Thomas C. (1994), «The status of the Kepler conjecture», The Mathematical Intelligencer 16 (3): 47–58, doi:10.1007/BF03024356, ISSN 0343-6993 
  23. ↑ Hales, Thomas C. (2006), «Historical overview of the Kepler conjecture», Discrete & Computational Geometry 36 (1): 5–20, doi:10.1007/s00454-005-1210-2, ISSN 0179-5376 
  24. ↑ Hales, Thomas C.; Ferguson, Samuel P. (2006), «A formulation of the Kepler conjecture», Discrete & Computational Geometry 36 (1): 21–69, doi:10.1007/s00454-005-1211-1, ISSN 0179-5376 
  25. ↑ Hales, Thomas C.; Ferguson, Samuel P. (2011), The Kepler Conjecture: The Hales-Ferguson Proof, New York: Springer, ISBN 978-1-4614-1128-4 
  26. ↑ Friedler, Ferenc (2010), Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Szervezeti és Működési Rend, University of Pannonia, σελ. 29–30, https://mik.uni-pannon.hu/oktatas/oktatasi-dokumentumok/doc_download/14-mik-szervezeti-es-mukodesi-rendje [νεκρός σύνδεσμος]
  27. ↑ Centre for Computational and Discrete Geometry (2015), Professor Károly Bezdek awarded the László Fejes Tóth Prize, University of Calgary, https://math.ucalgary.ca/ccdg/news/professor-k%C3%A1roly-bezdek-awarded-l%C3%A1szl%C3%B3-fejes-t%C3%B3th-prize, ανακτήθηκε στις 2015-07-08 


Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Λάσλο_Φέγες_Τοτ&oldid=10212109"