Μιγαδική αναλυτική ποικιλία

Στα μαθηματικά, και ειδικότερα στη διαφορική γεωμετρία και τη μιγαδική γεωμετρία, μια μιγαδική αναλυτική ποικιλία ή ένας μιγαδικός αναλυτικός χώρος είναι η γενίκευση μιας μιγαδικής πολλαπλότητας που επιτρέπει ιδιομορφίες. Οι σύνθετες αναλυτικές ποικιλίες είναι τοπικά ανελλιπείς χώροι που είναι τοπικά ισομορφικοί με τοπικούς χώρους μοντέλων, όπου ένας τοπικός χώρος μοντέλων είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του τόπου φυγής ενός πεπερασμένου συνόλου ολομορφικών συναρτήσεων.

Ορισμός

Συμβολίζουμε το σταθερό δεμάτιο σε έναν τοπολογικό χώρο με τιμή $\mathbb {C}$ με ${\underline {\mathbb {C} }}$. Ένας $\mathbb {C}$-χώρος είναι ένας τοπικά δακτυλιωμένος χώρος $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, του οποίου το δομικό δεμάτιο είναι μια άλγεβρα πάνω στο ${\underline {\mathbb {C} }}$.

Επιλέγουμε ένα ανοικτό υποσύνολο $U$ κάποιου μιγαδικού αφινικού χώρου $\mathbb {C} ^{n}$, και ορίζουμε πεπερασμένα πολλές ολομορφικές συναρτήσεις $f_{1},\dots ,f_{k}$ στο $U$. Έστω $X=V(f_{1},\dots ,f_{k})$ ο κοινός τόπος φυγής αυτών των ολομορφικών συναρτήσεων, δηλαδή $X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}$. Ορίζουμε ένα δεμάτιο δακτυλίων στο $X$ αφήνοντας ${\mathcal {O}}_{X}$ να είναι ο περιορισμός στο $X$ του ${\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{k})$, όπου ${\mathcal {O}}_{U}$ είναι το δεμάτιο ολομορφικών συναρτήσεων στο $U$. Τότε ο τοπικά δακτυλιωμένος $\mathbb {C}$-χώρος $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ είναι ένας τοπικός πρότυπος χώρος.

Μια μιγαδική αναλυτική ποικιλία είναι ένα τοπικό δακτύλιο. $\mathbb {C}$-space $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ που είναι τοπικά ισομορφικό με έναν τοπικό πρότυπο χώρο.

Οι μορφισμοί των μιγαδικών αναλυτικών ποικιλιών ορίζονται ως μορφισμοί των υποκείμενων τοπικά δακτυλιωμένων χώρων, ονομάζονται επίσης ολομορφικοί χάρτες. Μια δομική δέσμη μπορεί να έχει μηδενικό στοιχείο, και επίσης, όταν ο μιγαδικός αναλυτικός χώρος του οποίου η δομική δέσμη είναι αναγωγική, τότε ο μιγαδικός αναλυτικός χώρος είναι αναγωγικός, δηλαδή ο μιγαδικός αναλυτικός χώρος μπορεί να μην είναι αναγωγικός.

Ένας σχετιζόμενος μιγαδικός αναλυτικός χώρος (ποικιλία) $X_{h}$ είναι τέτοιος ώστε;

Έστω X σχήματα πεπερασμένου τύπου πάνω από $\mathbb {C}$, και καλύψτε το X με ανοικτό αφινικό υποσύνολο $Y_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}$ ($X=\cup Y_{i}$) (φάσμα ενός δακτυλίου). Τότε κάθε $A_{i}$ είναι μια άλγεβρα πεπερασμένου τύπου πάνω στο $\mathbb {C}$, και $A_{i}\simeq \mathbb {C} [z_{1},\dots ,z_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})$. Όπου $f_{1},\dots ,f_{m}$ είναι πολυώνυμα στο $z_{1},\dots ,z_{n}$, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως ολομορφική συνάρτηση στο $\mathbb {C}$. Επομένως, το κοινό τους μηδέν του συνόλου είναι ο μιγαδικός αναλυτικός υποχώρος $(Y_{i})_{h}\subseteq \mathbb {C}$. Εδώ, το σχήμα X λαμβάνεται με την συγκόλληση των δεδομένων του συνόλου $Y_{i}$, και στη συνέχεια τα ίδια δεδομένα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την συγκόλληση του μιγαδικού αναλυτικού χώρου $(Y_{i})_{h}$ σε έναν μιγαδικό αναλυτικό χώρο $X_{h}$, οπότε ονομάζουμε $X_{h}$ έναν συσχετισμένο μιγαδικό αναλυτικό χώρο με το X. Ο μιγαδικός αναλυτικός χώρος X είναι μειωμένος αν και μόνο αν ο συσχετισμένος μιγαδικός αναλυτικός χώρος $X_{h}$ μειωμένος.

Δημοσιεύσεις

• Lectures on Complex Analytic Varieties (MN-14), Volume 14: Finite Analytic
• Complex Analytic Geometry: From The Localization Viewpoint
• Several Complex Variables and Complex Geometry, Part III

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry
• Αλγεβρική ποικιλία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Kiran Kedlaya. 18.726 Algebraic Geometry (LEC # 30 - 33 GAGA)Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.
• Tasty Bits of Several Complex Variables (p. 137) open source book by Jiří Lebl BY-NC-SA.
• Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Analytic space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• El'kin, A.G. (2001) [1994], "Analytic set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Huckleberry, Alan (2013). «Hans Grauert (1930–2011)». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 115: 21–45. doi:10.1365/s13291-013-0061-7. 

Σημειώσεις

• Aroca, José Manuel· Hironaka, Heisuke· Vicente, José Luis (3 Νοεμβρίου 2018). Complex Analytic Desingularization. doi:10.1007/978-4-431-49822-3. ISBN 978-4-431-49822-3. 
• Bloom, Thomas; Herrera, Miguel (1969). «De Rham cohomology of an analytic space». Inventiones Mathematicae 7 (4): 275–296. doi:10.1007/BF01425536. Bibcode: 1969InMat...7..275B. https://www.researchgate.net/publication/226554588. 
• Cartan, H.· Bruhat, F.· Cerf, Jean.· Dolbeault, P.· Frenkel, Jean.· Hervé, Michel· Malatian.· Serre, J-P. «Séminaire Henri Cartan, Tome 4 (1951-1952)».  (no.10-13)
• Fischer, G. (14 Νοεμβρίου 2006). Complex Analytic Geometry. Springer. ISBN 978-3-540-38121-1. 
• Gunning, Robert Clifford· Rossi, Hugo (2009). «Chapter III. Variety (Sec. B. Anlytic cover)». Analytic Functions of Several Complex Variables. American Mathematical Soc. ISBN 9780821821657. 
• Gunning, Robert Clifford· Rossi, Hugo (2009). «Chapter V. Anlytic space». Analytic Functions of Several Complex Variables. American Mathematical Soc. ISBN 9780821821657. 
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1958). «Komplexe Räume». Mathematische Annalen 136 (3): 245–318. doi:10.1007/BF01362011. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002286920. 
• Grauert, H.· Remmert, R. (6 Δεκεμβρίου 2012). Coherent Analytic Sheaves. Springer. ISBN 978-3-642-69582-7. 
• Grauert, H.· Peternell, Thomas· Remmert, R. (9 Μαρτίου 2013). Several Complex Variables VII: Sheaf-Theoretical Methods in Complex Analysis. Springer. ISBN 978-3-662-09873-8. 
• Grothendieck, Alexander· Raynaud, Michèle (2002). «Revêtements étales et groupe fondamental§XII. Géométrie algébrique et géométrie analytique». Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (στα Γαλλικά). arXiv:math/0206203 . doi:10.1007/BFb0058656. ISBN 978-2-85629-141-2. 
• Hartshorne, Robin (1970). Ample Subvarieties of Algebraic Varieties. Lecture Notes in Mathematics. 156. doi:10.1007/BFb0067839. ISBN 978-3-540-05184-8. 
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 52. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
• Huckleberry, Alan (2013). «Hans Grauert (1930–2011)». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 115: 21–45. doi:10.1365/s13291-013-0061-7. 
• Remmert, Reinhold (1998). «From Riemann Surfaces to Complex Spaces». Séminaires et Congrès. Zbl 1044.01520. 
• Serre, Jean-Pierre (1956). «Géométrie algébrique et géométrie analytique». Annales de l'Institut Fourier 6: 1–42. doi:10.5802/aif.59. ISSN 0373-0956. MR 0082175. http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0. 
• Tognoli, A. (2 Ιουνίου 2011). Tognoli, A, επιμ. Singularities of Analytic Spaces: Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Bressanone (Bolzano), Italy, June 16-25, 1974. doi:10.1007/978-3-642-10944-7. ISBN 978-3-642-10944-7. 
• «Chapter II. Preliminaries». Zariski-decomposition and Abundance. Mathematical Society of Japan Memoirs. 14. Mathematical Society of Japan. 2004. σελίδες 13–78. doi:10.2969/msjmemoirs/01401C020. ISBN 978-4-931469-31-0. 
• Flores, Arturo Giles; Teissier, Bernard (2018). «Local polar varieties in the geometric study of singularities». Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse: Mathématiques 27 (4): 679–775. doi:10.5802/afst.1582.