Πίνακας Γουάλς
Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Γουάλς[1] είναι ένας συγκεκριμένος τετραγωνικός πίνακας διαστάσεων 2n, όπου n είναι κάποιος συγκεκριμένος φυσικός αριθμός. Οι καταχωρήσεις του πίνακα είναι είτε +1 είτε -1 και οι γραμμές καθώς και οι στήλες του είναι ορθογώνιες. Ο πίνακας Γουάλς προτάθηκε από τον Τζόζεφ Λ. Γουάλς το 1923[2]. Κάθε γραμμή ενός πίνακα Γουάλς αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση Γουάλς.[3]
Οι πίνακες Γουάλς είναι μια ειδική περίπτωση των πινάκων Χανταμάρ όπου οι γραμμές αναδιατάσσονται έτσι ώστε ο αριθμός των αλλαγών προσήμου σε μια γραμμή να είναι σε αύξουσα σειρά. Εν ολίγοις, ένας πίνακας Χαντάμαρ[4] ορίζεται από τον παρακάτω αναδρομικό τύπο και είναι φυσικά διατεταγμένος, ενώ ένας πίνακας Γουάλς είναι διατεταγμένος με σειρά[2]. Συγκεχυμένα, διαφορετικές πηγές αναφέρονται σε κάθε πίνακα ως πίνακα Γουάλς.
Ο πίνακας Γουάλς (και οι συναρτήσεις Γουάλς) χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό του μετασχηματισμού Γουάλς και έχουν εφαρμογές στην αποδοτική υλοποίηση ορισμένων λειτουργιών επεξεργασίας σήματος.
Τύπος
ΕπεξεργασίαΟι πίνακες Χανταμάρ με διάσταση για δίνονται από τον αναδρομικό τύπο (η χαμηλότερη τάξη του πίνακα Χανταμάρ είναι 2):[5]
και γενικότερα
για 2 ≤ k ∈ N, where ⊗ δηλώνει το γινόμενο Κρόνεκερ.
Μετάθεση
ΕπεξεργασίαΜπορούμε να πάρουμε έναν πίνακα Γουάλς από έναν πίνακα Χανταμάρ. Για το σκοπό αυτό, δημιουργούμε πρώτα τον πίνακα Χανταμάρ για μια δεδομένη διάσταση. Στη συνέχεια, μετράμε τον αριθμό των αλλαγών προσήμου κάθε γραμμής. Τέλος, αναδιατάσσουμε τις γραμμές του πίνακα σύμφωνα με τον αριθμό των αλλαγών προσήμου σε αύξουσα σειρά.
Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πίνακα Χανταμάρ διάστασης
- ,
όπου οι διαδοχικές σειρές έχουν 0, 3, 1 και 2 αλλαγές προσήμου (μετράμε τον αριθμό των φορών που αλλάζουμε από θετικό 1 σε αρνητικό 1 και αντίστροφα). Αν αναδιατάξουμε τις γραμμές σε σειρά διαδοχής, έχουμε:
όπου οι διαδοχικές γραμμές έχουν 0, 1, 2 και 3 αλλαγές προσήμου.
Εναλλακτικές μορφές του πίνακα Γουάλς
ΕπεξεργασίαΣυχνότητα ταξινόμησης
ΕπεξεργασίαΗ διάταξη αλληλουχίας των γραμμών του πίνακα Γουάλς μπορεί να προκύψει από τη διάταξη του πίνακα Χανταμάρ[4], εφαρμόζοντας πρώτα την μετάθεση αντιστροφής bit και στη συνέχεια την μετάθεση κώδικα Γκρέι:[6][7]
όπου οι διαδοχικές σειρές έχουν 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7 αλλαγές προσήμου.
Δυαδική ταξινόμηση
Επεξεργασίαόπου οι διαδοχικές γραμμές έχουν 0, 1, 3, 2, 7, 6, 4 και 5 αλλαγές προσήμου.
Φυσική διάταξη
Επεξεργασίαόπου οι διαδοχικές γραμμές έχουν 0, 7, 3, 4, 1, 6, 2 και 5 αλλαγές προσήμου (πίνακας Χανταμάρ).
Δείτε επίσης
Επεξεργασία- Field Arithmetic
- Πραγματικό προβολικό επίπεδο
- Εσωτερικό γινόμενο
- Αντιερμιτιανός πίνακας
- Πίνακας (μαθηματικά)
- Τριγωνικός πίνακας
- Πραγματικός αριθμός
- Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
- Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
- Ντάβιντ Χίλμπερτ
- Διωνυμικός συντελεστής
- High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
- Algorithm overview
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Επεξεργασία- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Matrix calculator
- Matrix Analysis
- Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
- Integral Matrices
- An Introduction to Computational Physics
- Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory
- Matrix Computations
- A Hilbert Space Problem Book
- Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices
Δημοσιεύσεις
Επεξεργασία- Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
- Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
- Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375
- Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices ». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116.
- Seberry, J.; Wysocki, B.; Wysocki, T. (2005). «On some applications of Hadamard matrices». Metrika 62 (2–3): 221–239. doi:. https://ro.uow.edu.au/infopapers/595.
- Spence, Edward (1995). «Classification of hadamard matrices of order 24 and 28». Discrete Math. 140 (1–3): 185–242. doi: .
- Yarlagadda, R. K.· Hershey, J. E. (1997). Hadamard Matrix Analysis and Synthesis. Boston: Kluwer. ISBN 978-0-7923-9826-4.
- Fuhrmann, Paul A. (2012). A polynomial approach to linear algebra. Universitext (2 έκδοση). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-0338-8. ISBN 978-1-4614-0337-1. Zbl 1239.15001.
- Victor Y. Pan (2001). Structured matrices and polynomials: unified superfast algorithms. Birkhäuser. ISBN 0817642404.
- J.R. Partington (1988). An introduction to Hankel operators. LMS Student Texts. 13. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36791-3.
Παραπομπές
Επεξεργασία- ↑ «Walsh matrix». www.scientificlib.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Αυγούστου 2024.
- ↑ 2,0 2,1 Kanjilal, P. P. (1995). Adaptive Prediction and Predictive Control. Stevenage: IET. σελ. 210. ISBN 0-86341-193-2.
- ↑ «A Compact Guide to the Hadamard and Walsh Matrices (CDT-64)».
- ↑ 4,0 4,1 Horadam, K. J. (6 Ιανουαρίου 2012). Hadamard Matrices and Their Applications. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-4290-2.
- ↑ Deb, Anish· Roychoudhury, Srimanti (9 Οκτωβρίου 2018). Control System Analysis and Identification with MATLAB®: Block Pulse and Related Orthogonal Functions. CRC Press. ISBN 978-1-351-39957-9.
- ↑ Yuen, C.-K. (1972). «Remarks on the Ordering of Walsh Functions». IEEE Transactions on Computers 21 (12): 1452. doi: .
- ↑ Stankovic, Radomir· Butzer, Paul Leo (29 Δεκεμβρίου 2015). Dyadic Walsh Analysis from 1924 Onwards Walsh-Gibbs-Butzer Dyadic Differentiation in Science Volume 2 Extensions and Generalizations: A Monograph Based on Articles of the Founding Authors, Reproduced in Full. Springer. ISBN 978-94-6239-163-5.
- Baumert, L. D.; Hall, Marshall (1965). «Hadamard matrices of the Williamson type». Math. Comp. 19 (91): 442–447. doi: . MR 0179093. https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1965-07_19_91/page/442.
- Georgiou, S.· Koukouvinos, C.· Seberry, J. (2003). «Hadamard matrices, orthogonal designs and construction algorithms». Designs 2002: Further computational and constructive design theory. Boston: Kluwer. σελίδες 133–205. ISBN 978-1-4020-7599-5.