Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο

Στη Στερεομετρία, το πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 92 έδρες: 80 ισόπλευρα τρίγωνα και 12 κανονικά πεντάγωνα. Έχει 60 κορυφές και 150 ακμές.

Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
Τύπος	Στερεό του Αρχιμήδη
Έδρες	92 80 τρίγωνα 12 πεντάγωνα
Ακμές	150
Κορυφές	60
Διαμόρφωση κορυφής	(3.3.3.3.5)
Ομάδα συμμετρίας	εικοσαεδρική (I)
Δυϊκό	Πενταγωνικό εξηκοντάεδρο
Ανάπτυγμα

Το στερεό απαντάται σε δύο μορφές, που είναι μεταξύ τους αντικατοπτρικές, οι οποίες λέγονται εναντιόμορφα, το ένα αριστερόστροφο και το άλλο δεξιόστροφο. Αυτό το φαινόμενο του εναντιομορφισμού παρουσιάζεται και σε ένα ακόμη στερεό του Αρχιμήδη, τον πεπλατυσμένο κύβο.

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά πεπλατυσμένου δωδεκαέδρου

Αν θεωρήσουμε $\alpha \,\!$ το μήκος της ακμής του στερεού, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο)	$R\approx 2,15583737\alpha$
Απόσταση ακμών από το κέντρο	$\rho \approx 2,09705383\alpha$
Συνολική επιφάνεια	$S=\left(20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)\alpha ^{2}\approx 55,287\alpha ^{2}$
Όγκος	$V={\frac {12\xi ^{2}(3\phi +1)-\xi (36\phi +7)-(53\phi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\alpha ^{3}\approx 37,61665\alpha ^{3}$

όπου

$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,6180339$ (ο χρυσός αριθμός),

$\xi ={\sqrt[{3}]{{\frac {\phi }{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\phi -{\frac {5}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {\phi }{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\phi -{\frac {5}{27}}}}}}\approx 1,7155615$

Κατασκευαστικά, το πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει από το δωδεκάεδρο, εάν απομακρύνουμε προς τα έξω (σε σχέση με το κέντρο του) όλες τις έδρες του κατά ορισμένη απόσταση και τις περιστρέψουμε ως προς το κέντρο τους (όλες αριστερόστροφα ή όλες δεξιόστροφα), έτσι ώστε τα κενά που δημιουργούνται να μπορούν να καλυφθούν από ισόπλευρα τρίγωνα.

Ένας άλλος τρόπος κατασκευής του πεπλατυσμένου δωδεκαέδρου είναι να λάβουμε ένα κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο και να του απαλείψουμε τις μισές κορυφές (ομοιόμορφα κατανεμημένα, αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα). Έτσι, τα 12 δεκάγωνα του αρχικού στερεού μετατρέπονται σε ισάριθμα πεντάγωνα, τα 20 εξάγωνα μετατρέπονται σε ισάριθμα τρίγωνα, όλα τα τετράγωνα εκφυλίζονται σε ακμές, ενώ οι 60 κορυφές που απαλείφονται σχηματίζουν ισάριθμα τρίγωνα.

Δωδεκάεδρο

Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο

Πηγές - Παραπομπές

• Weisstein, Eric W., Snub Dodecahedron (Αγγλικά)