Προβλεπτική κατανομή πιθανότητας

Στον κλάδο της Στατιστικής, και συγκεκριμένα στην Μπεϋζιανή προσέγγιση της Στατιστικής, η κατανομή των μελλοντικών παρατηρήσεων καλείται προβλεπτική κατανομή πιθανότητας. Η προβλεπτική κατανομή πιθανότητας λαμβάνει διαφορετική μορφή ανάλογα με το αν έχουμε συλλέξει παρατηρήσεις της υπό πρόβλεψη μεταβλητής, σε κάθε περίπτωση όμως είναι η μέση τιμή της πιθανοφάνειας ως προς την κατανομή των παραμέτρων. Η εν λόγω κατανομή αποδεικνύεται χρήσιμη τόσο για την πρόβλεψη μελλοντικών παρατηρήσεων, όσο και για την δημιουργία διαγνωστικών ελέγχων για την προσαρμογή και τις παραδοχές του μοντέλου.

Πρότερη και ύστερη προβλεπτική κατανομή πιθανότητας

Όταν δεν έχουμε συλλέξει ακόμα παρατηρήσεις, η προβλεπτική κατανομή είναι η μέση τιμή της πιθανοφάνειας ως προς την πρότερη κατανομή των παραμέτρων $f(\theta )$

$$f(y')=\int _{\theta \in \Theta }f(y|\theta )f(\theta )d\theta ,$$

και καλείται πρότερη προβλεπτική κατανομή πιθανότητας. Μόλις τα δεδομένα είναι διαθέσιμα, η κατανομή των παραμέτρων είναι πλέον η ύστερη κατανομή $f(\theta |y)$. Κάνοντας χρήση αυτής της κατανομής για τις παραμέτρους $\theta$, η προβλεπτική κατανομή είναι η

$$f(y'|y)=\int _{\theta \in \Theta }f(y|\theta )f(\theta |y)d\theta ,$$

και καλείται ύστερη προβλεπτική κατανομή.

Χρήση της ύστερης προβλεπτικής κατανομής

Μέσα από την προσομοίωση τιμών από την ύστερη προβλεπτική κατανομή μπορούμε να παραγάγουμε προβλέψεις για τις μελλοντικές παρατηρήσεις. Η ύστερη προβλεπτική κατανομή μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την ανίχνευση απροσδόκητων/ακραίων τιμών. Επίσης, με τη βοήθεια της ύστερης προβλεπτικής κατανομής μπορούμε να δημιουργήσουμε τους λεγόμενους ύστερους προβλεπτικούς διαγνωστικούς ελέγχους. Οι έλεγχοι αυτοί μπορεί να σχετίζονται με την ποιότητα προσαρμογής του Μπεϋζιανού Στατιστικού μοντέλου ή τις παραδοχές του (π.χ. Επιλογή μεσόκυρτης πρότερης κατανομής).

Υπολογισμός της ύστερης προβλεπτικής κατανομής

Στην Μπεϋζιανή Στατιστική υπάρχουν δύο σκοπιές για τον υπολογισμό ύστερων κατανομών, είτε αναλυτικά με την μέθοδο Λαπλάς, είτε προσομοιώνοντας τιμές από την κατανομή με την μέθοδο MCMC. Η πρώτη κάνει χρήση του αναπτύγματος Taylor. Η τελευταία, της οποίας το μαθηματικό υπόβαθρο ξεφεύγει του λήμματος, χρησιμοποιεί εξειδικευμένα πακέτα λογισμικών για να γεννήσει τιμές από την ύστερη προβλεπτική κατανομή (π.χ. OpenBUGS, JAGS, STAN).

Παραπομπές

1. Christensen, R., (2011), Bayesian Ideas and Data Analysis, CRC Press, Boca Raton, FL.
2. Ntzoufras, I., (2009), Bayesian modeling using WinBUGS, Wiley, Hoboken, N.J.
3. Gelman, A., Carlin, J., Stern, H. and Rubin, D., (2003), Bayesian Data Analysis, Second Edition, Chapman & Hall/CRC, London.