Προσανατολισμός (διανυσματικός χώρος)

Ο προσανατολισμός ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου ή απλώς ο προσανατολισμός ενός διανυσματικού χώρου είναι η αυθαίρετη επιλογή των διατεταγμένων βάσεων που είναι "θετικά" προσανατολισμένες και των βάσεων που είναι "αρνητικά" προσανατολισμένες. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, οι δεξιόστροφες βάσεις συνήθως δηλώνονται ως θετικά προσανατολισμένες, αλλά η επιλογή είναι αυθαίρετη, καθώς μπορεί επίσης να τους αποδοθεί αρνητικός προσανατολισμός. Ένας διανυσματικός χώρος με επιλεγμένο προσανατολισμό ονομάζεται προσανατολισμένος διανυσματικός χώρος, ενώ ένας χώρος που δεν έχει επιλεγμένο προσανατολισμό, ονομάζεται μη προσανατολισμένος.

Ο αριστερόχειρας προσανατολισμός απεικονίζεται στα αριστερά και ο δεξιόχειρας στα δεξιά.

Στα μαθηματικά, η προσανατολιστικότητα είναι μια ευρύτερη έννοια που, σε δύο διαστάσεις, επιτρέπει να πούμε πότε ένας κύκλος περιστρέφεται δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα, και σε τρεις διαστάσεις πότε ένα σχήμα είναι αριστερόστροφο ή δεξιόστροφο. Στη γραμμική άλγεβρα πάνω στους πραγματικούς αριθμούς, η έννοια του προσανατολισμού έχει νόημα σε οποιαδήποτε πεπερασμένη διάσταση και είναι ένα είδος ασυμμετρίας που καθιστά αδύνατη την αναπαραγωγή μιας αντανάκλασης μέσω μιας απλής μετατόπισης. Έτσι, στις τρεις διαστάσεις, είναι αδύνατο να μετατρέψουμε το αριστερό χέρι μιας ανθρώπινης φιγούρας στο δεξί χέρι της φιγούρας εφαρμόζοντας μόνο μια μετατόπιση, αλλά είναι δυνατό να το κάνουμε με την αντανάκλαση της φιγούρας σε έναν καθρέφτη. Κατά συνέπεια, στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, οι δύο δυνατοί βασικοί προσανατολισμοί ονομάζονται δεξιόχειρας και αριστερόχειρας (ή δεξιόστροφος και αριστερόστροφος).

Ορισμός

Έστω V ένας πεπερασμένης διάστασης πραγματικός διανυσματικός χώρος και έστω b₁ και b₂ δύο διατεταγμένες βάσεις για τον V. Είναι ένα τυπικό αποτέλεσμα της γραμμικής άλγεβρας ότι υπάρχει ένας μοναδικός γραμμικός μετασχηματισμός A : V → V που μετατρέπει το b₁ σε b₂. Οι βάσεις b₁ και b₂ λέγεται ότι έχουν τον ίδιο προσανατολισμό (ή ότι είναι σταθερά προσανατολισμένες) αν ο A έχει θετική ορίζουσα- αλλιώς έχουν αντίθετους προσανατολισμούς. Η ιδιότητα να έχουν τον ίδιο προσανατολισμό ορίζει μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο όλων των διατεταγμένων βάσεων για το V. Αν το V είναι μη μηδενικό, υπάρχουν ακριβώς δύο κλάσεις ισοδυναμίας που καθορίζονται από αυτή τη σχέση. Ένας προσανατολισμός στο V είναι μια ανάθεση του +1 στη μία κλάση ισοδυναμίας και του −1 στην άλλη.

Κάθε διατεταγμένη βάση βρίσκεται στη μία ή την άλλη κλάση ισοδυναμίας. Έτσι, κάθε επιλογή μιας προνομιακής διατεταγμένης βάσης για το V καθορίζει έναν προσανατολισμό: η κλάση προσανατολισμού της προνομιακής βάσης δηλώνεται ως θετική.

Παραδείγματος χάριν, η τυπική βάση στον Rⁿ παρέχει έναν τυπικό προσανατολισμό στον Rⁿ (με τη σειρά του, ο προσανατολισμός της τυπικής βάσης εξαρτάται από τον προσανατολισμό του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων πάνω στο οποίο είναι δομημένη). Οποιαδήποτε επιλογή ενός γραμμικού ισομορφισμού μεταξύ του V και του Rⁿ θα παρέχει τότε έναν προσανατολισμό στο V.

Η διάταξη των στοιχείων σε μια βάση είναι ζωτικής σημασίας. Δύο βάσεις με διαφορετική διάταξη θα διαφέρουν κατά κάποια μετάθεση. Θα έχουν τον ίδιο/αντίθετο προσανατολισμό ανάλογα με το αν η υπογραφή αυτής της μετατροπής είναι ±1. Αυτό συμβαίνει επειδή η ορίζουσα ενός πίνακα μετάθεσης είναι ίση με την υπογραφή της σχετικής μετάθεσης.

Ομοίως, έστω A μια μη ιδιάζουσα γραμμική απεικόνιση του διανυσματικού χώρου Rⁿ στον Rⁿ. Αυτή η απεικόνιση είναι διατηρητική του προσανατολισμού αν η ιδιάζουσα της είναι θετική. Παραδείγματος χάριν, στον R³ μια περιστροφή γύρω από τον καρτεσιανό άξονα Z κατά γωνία α είναι διατηρητική του προσανατολισμού:

$\mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

ενώ μια αντανάκλαση από το XY καρτεσιανό επίπεδο δεν διατηρεί τον προσανατολισμό:

$\mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

Περίπτωση μηδενικών διαστάσεων

Η έννοια του προσανατολισμού εκφυλίζεται στην περίπτωση των μηδενικών διαστάσεων. Ένας μηδενικής διάστασης διανυσματικός χώρος έχει μόνο ένα σημείο, το μηδενικό διάνυσμα. Συνεπώς, η μόνη βάση ενός μηδενικής διάστασης διανυσματικού χώρου είναι το κενό σύνολο $\emptyset$. Επομένως, υπάρχει μία μόνο κλάση ισοδυναμίας διατεταγμένων βάσεων, δηλαδή η κλάση $\{\emptyset \}$ της οποίας μοναδικό μέλος είναι το κενό σύνολο. Αυτό σημαίνει ότι ένας προσανατολισμός ενός μηδενικής διάστασης χώρου είναι μια συνάρτηση

$\{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.$

Επομένως, είναι δυνατόν να προσανατολιστεί ένα σημείο με δύο διαφορετικούς τρόπους, θετικό και αρνητικό.

Επειδή υπάρχει μόνο μία διατεταγμένη βάση $\emptyset$, ένας μηδενικής διάστασης διανυσματικός χώρος είναι ο ίδιος με έναν μηδενικής διάστασης διανυσματικό χώρο με διατεταγμένη βάση. Επιλέγοντας $\{\emptyset \}\mapsto +1$ ή $\{\emptyset \}\mapsto -1$ επιλέγουμε επομένως έναν προσανατολισμό κάθε βάσης κάθε μηδενικής διάστασης διανυσματικού χώρου. Εάν σε όλους τους μηδενικών διαστάσεων διανυσματικούς χώρους ανατεθεί αυτός ο προσανατολισμός, τότε, επειδή όλοι οι ισομορφισμοί μεταξύ μηδενικών διανυσματικών χώρων διατηρούν την διατεταγμένη βάση, διατηρούν επίσης τον προσανατολισμό. Αυτό είναι αντίθετο με την περίπτωση των διανυσματικών χώρων υψηλότερων διαστάσεων όπου δεν υπάρχει τρόπος επιλογής ενός προσανατολισμού έτσι ώστε να διατηρείται κάτω από όλους τους ισομορφισμούς.

Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις όπου είναι επιθυμητό να δίνεται διαφορετικός προσανατολισμός σε διαφορετικά σημεία. Παραδείγματος χάριν, ας θεωρήσουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού ως παράδειγμα του Θεωρήματος του Στόουκς. Ένα κλειστό διάστημα [a', b] είναι μια μονοδιάστατη πολλαπλότητα με σύνορο, και το σύνορό της είναι το σύνολο {a, b}. Για να έχουμε τη σωστή δήλωση του θεμελιώδους θεωρήματος του λογισμού, το σημείο b πρέπει να είναι προσανατολισμένο θετικά, ενώ το σημείο a πρέπει να είναι προσανατολισμένο αρνητικά.

Σε μια γραμμή

Η μονοδιάστατη περίπτωση ασχολείται με μια γραμμή η οποία μπορεί να διανύεται προς μία από τις δύο κατευθύνσεις. Υπάρχουν δύο προσανατολισμοί σε μια γραμμή, όπως ακριβώς υπάρχουν δύο προσανατολισμοί σε έναν κύκλο. Στην περίπτωση ενός ευθύγραμμου τμήματος (ένα συνδεδεμένο υποσύνολο μιας γραμμής), οι δύο δυνατοί προσανατολισμοί οδηγούν σε κατευθυνόμενα ευθύγραμμα τμήματα. Σε μια προσανατολισμένη επιφάνεια μερικές φορές ο επιλεγμένος προσανατολισμός υποδεικνύεται από τον προσανατολισμό μιας γραμμής κάθετης στην επιφάνεια.

Εναλλακτικές απόψεις

Πολυγραμμική άλγεβρα

Για κάθε n-διάστατο πραγματικό διανυσματικό χώρο V μπορούμε να σχηματίσουμε την kth- εξωτερική δύναμη του V, που συμβολίζεται ΛkV. Αυτός είναι ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος διάστασης ${\tbinom {n}{k}}$. Ο διανυσματικός χώρος ΛⁿV (που ονομάζεται κορυφαία εξωτερική δύναμη) έχει επομένως διάσταση 1. Δηλαδή, ο ΛⁿV είναι απλώς μια πραγματική γραμμή. Δεν υπάρχει εκ των προτέρων επιλογή για το ποια κατεύθυνση σε αυτή τη γραμμή είναι θετική. Ένας προσανατολισμός είναι ακριβώς μια τέτοια επιλογή. Οποιαδήποτε μη μηδενική γραμμική μορφή ω στη ΛⁿV καθορίζει έναν προσανατολισμό της V δηλώνοντας ότι το x βρίσκεται στη θετική κατεύθυνση όταν ω(x) > 0. Προκειμένου να συνδεθούμε με την άποψη της βάσης λέμε ότι οι θετικά προσανατολισμένες βάσεις είναι εκείνες στις οποίες η ω αποτιμάται σε θετικό αριθμό (αφού η ω είναι μια n-μορφή μπορούμε να την αποτιμήσουμε σε ένα διατεταγμένο σύνολο n διανυσμάτων, δίνοντας ένα στοιχείο του R). Η μορφή ω ονομάζεται μορφή προσανατολισμού. Αν {ei} είναι μια προνομιακή βάση για το V και {e_i^∗} είναι μια δυϊκή βάση, τότε η μορφή προσανατολισμού που δίνει τον τυπικό προσανατολισμό είναι e₁^∗ ∧ e₂^∗ ∧ … ∧ e_n^∗.

Η σύνδεση αυτού με την άποψη του προσδιοριστή είναι η εξής: ο προσδιοριστής ενός ενδομορφισμού $T:V\to V$ μπορεί να ερμηνευτεί ως η επαγόμενη δράση στην κορυφαία εξωτερική δύναμη.

Θεωρία ομάδων Λι

Έστω B το σύνολο όλων των διατεταγμένων βάσεων για το V. Τότε η γενική γραμμική ομάδα GL(V) δρα ελεύθερα και μεταβατικά στο B. (Σε φανταχτερή γλώσσα, το B είναι ένας GL(V)-torsor). Αυτό σημαίνει ότι ως πολλαπλότητα, η B είναι (μη κανονικά) ομοιομορφική με την GL(V). Ας σημειωθεί ότι η ομάδα GL(V) δεν είναι συνδεδεμένη, αλλά έχει δύο συνδεδεμένες συνιστώσες ανάλογα με το αν η ορίζουσα του μετασχηματισμού είναι θετική ή αρνητική (εκτός από την GL₀, η οποία είναι η τετριμμένη ομάδα και επομένως έχει μία μόνο συνδεδεμένη συνιστώσα- αυτό αντιστοιχεί στον κανονικό προσανατολισμό σε έναν μηδενικής διάστασης διανυσματικό χώρο). Η συνιστώσα ταυτότητας της GL(V) συμβολίζεται GL⁺(V) και αποτελείται από τους μετασχηματισμούς με θετική ορίζουσα. Η δράση του GL⁺(V) επί του B δεν είναι μεταβατική: υπάρχουν δύο τροχιές που αντιστοιχούν στις συνδεδεμένες συνιστώσες του B. Αυτές οι τροχιές είναι ακριβώς οι κλάσεις ισοδυναμίας που αναφέρθηκαν παραπάνω. Εφόσον η B δεν έχει ένα διακεκριμένο στοιχείο (δηλαδή μια προνομιακή βάση) δεν υπάρχει φυσική επιλογή για το ποια συνιστώσα είναι θετική. Σε αντίθεση με την GL(V) η οποία έχει μια προνομιακή συνιστώσα: τη συνιστώσα της ταυτότητας. Μια συγκεκριμένη επιλογή ομοιομορφισμού μεταξύ του B και του GL(V) είναι ισοδύναμη με την επιλογή μιας προνομιακής βάσης και επομένως καθορίζει έναν προσανατολισμό.

Πιο επίσημα: $\pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}$ και η πολλαπλότητα Στέφελ των n-πλαισίων στο $V$ είναι ένα $\operatorname {GL} (V)$-torsor, οπότε το $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ είναι ένα torsor πάνω στο $\{\pm 1\}$, δηλαδή στα 2 σημεία του, και η επιλογή του ενός από αυτά είναι ένας προσανατολισμός.

Αλγεβρική γεωμετρία

Παράλληλα επίπεδα τμήματα με την ίδια στάση, το ίδιο μέγεθος και τον ίδιο προσανατολισμό, τα οποία αντιστοιχούν στον ίδιο διάνυσμα a ∧ b.

Τα διάφορα αντικείμενα της αλγεβρικής γεωμετρίας είναι φορτισμένα με τρία χαρακτηριστικά ή γνωρίσματα: στάση, προσανατολισμός και μέγεθος. Παραδείγματος χάριν, ένα διάνυσμα έχει μια στάση που δίνεται από μια ευθεία παράλληλη σε αυτό, έναν προσανατολισμό που δίνεται από την έννοια του (συχνά υποδεικνύεται από μια κεφαλή βέλους) και ένα μέγεθος που δίνεται από το μήκος του. Παρομοίως, ένα διάνυσμα στις τρεις διαστάσεις έχει μια στάση που δίνεται από την οικογένεια των επιπέδων που συνδέονται με αυτό (ενδεχομένως προσδιορίζεται από την κανονική ευθεία που είναι κοινή σε αυτά τα επίπεδα ), έναν προσανατολισμό (μερικές φορές συμβολίζεται με ένα καμπύλο βέλος στο επίπεδο) που υποδηλώνει την επιλογή της κατεύθυνσης διέλευσης του ορίου του (την "κυκλοφορία" του), και ένα μέγεθος που δίνεται από το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τα δύο διανύσματά του.

Προσανατολισμός στις πολλαπλότητες

Κύριο άρθρο: Δυνατότητα προσανατολισμού (μαθηματικά)

Ο προσανατολισμός ενός όγκου μπορεί να καθοριστεί από τον προσανατολισμό στο σύνορό του, που υποδεικνύεται από τα κυκλικά βέλη.

Κάθε σημείο p σε μια n-διάστατη διαφορίσιμη πολλαπλότητα έχει έναν εφαπτόμενο χώρο T_pM που είναι ένας n-διάστατος πραγματικός διανυσματικός χώρος. Σε κάθε έναν από αυτούς τους διανυσματικούς χώρους μπορεί να αποδοθεί ένας προσανατολισμός. Ορισμένοι προσανατολισμοί μεταβάλλονται ομαλά από σημείο σε σημείο. Λόγω ορισμένων τοπολογικών περιορισμών, αυτό δεν είναι πάντα δυνατό. Μια πολλαπλότητα που δέχεται μια ομαλή επιλογή προσανατολισμών για τους εφαπτόμενους χώρους της λέγεται προσανατολίσιμη.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Ορίζουσα
• Υπερβολική γεωμετρία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Coordinate Geometry for JEE Advanced, 3E (Free Sample)
• Complex Geometry: An Introduction
• The Elements Of Co-ordinate Geometry By S.L. Loney | Cartesian and Polar ...
• Theoretical Physics at the End of the Twentieth Century: Lecture Notes of ...
• Vector Analysis
• Analysis in Vector Spaces
• Manifolds and Differential Geometry

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York, NY: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 
• von Petersdorff, Tobias (2006), «Critical Points of Autonomous Systems», Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), https://www.math.umd.edu/~petersd/246/stab.html 
• Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York, NY: Dover Publications, σελ. 128, ISBN 0-486-66103-2 
• Agarwal, A., Study on the Nash Equilibrium (Lecture Notes), http://www.cse.iitd.ernet.in/~rahul/cs905/lecture3/nash1.html#SECTION00041000000000000000 
• Hilbert, David· Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd έκδοση). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.