Πρώτο θεώρημα διαμέσων

Στην γεωμετρία, το πρώτο θεώρημα διαμέσων (ή θεώρημα Απολλωνίου) ονομάζεται το θεώρημα που σχετίζει τα τετράγωνα των πλευρών ενός τριγώνου και το τετράγωνο της διαμέσου. Πιο συγκεκριμένα,

Διάμεσος $\mathrm {AM}$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$ (και $\mathrm {M}$ το μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$).

Θεώρημα: Σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με διάμεσο την $\mathrm {AM}$, ισχύει ότι

$\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}$.

Το θεώρημα αποτελεί ειδική περίπτωση του θεωρήματος Στιούαρτ.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης πρώτου θεωρήματος διαμέσων.

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\mathrm {AMB}$ έχουμε ότι

$\mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}-2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {MB} \cdot \cos \phi$.

(1)

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\mathrm {AM\Gamma }$ έχουμε ότι

$\mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {M\Gamma } \cdot \cos(180^{o}-\phi )$

${\phantom {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {MB} \cdot \cos \phi$,

(2)

καθώς $\mathrm {MB} =\mathrm {M\Gamma }$, αφού $\mathrm {M}$ το μέσο του $\mathrm {B\Gamma }$.

Προσθέτοντας τις εξισώσεις (1) και (2), λαμβάνουμε ότι

$\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+2\mathrm {MB} ^{2}.$

Χρησιμοποιώντας ότι $\mathrm {MB} =\mathrm {M\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma }$ λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση. $\square$

Συνέπειες

Τα μήκη των διαμέσων ενός τριγώνου δίνονται από

$\mu _{\rm {A}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}}$,

$\mu _{\rm {B}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}$,

$\mu _{\rm {\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}$.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ως συνέπεια του πρώτου θεωρήματος διαμέσων αφού $\mathrm {AM} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma }$, και επομένως

$\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}={\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}=\mathrm {B\Gamma } ^{2}$.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Δεύτερο θεώρημα διαμέσων
• Θεώρημα Στιούαρτ
• Νόμος των συνημιτόνων
• Πυθαγόρειο θεώρημα