Διάμεσος (γεωμετρία)

Στη γεωμετρία, η διάμεσος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά. Συνήθως οι διάμεσοι συμβολίζονται ως $\mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}$ ή $\mu _{\alpha },\mu _{\beta },\mu _{\gamma }$ αντίστοιχα.

Διάμεσος $\mathrm {AM}$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$ (και $\mathrm {M}$ το μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$).

Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κέντρο βάρους του.

Στην περίπτωση των ισοσκελών και ισόπλευρων τριγώνων, η διάμεσος είναι και διχοτόμος και ύψος μίας κορυφής, της οποίας οι δύο προσκείμενες πλευρές της είναι ίσες.

Βαρύκεντρο

Θεώρημα — Σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$, οι τρεις διάμεσοι $\mathrm {AM_{A}} ,\mathrm {BM_{B}} ,\mathrm {\Gamma M_{\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\mathrm {G}$, το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου. Επιπλέον ισχύει ότι $\mathrm {AG} ={\tfrac {2}{3}}\mu _{\rm {A}}$.

Απόδειξη με θεώρημα Θαλή  

Σχήμα για την πρώτη απόδειξη.

Έστω ${\rm {BM_{B}}}$ και ${\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}$ οι διάμεσοι του τριγώνου και ${\rm {G'}}$ το σημείο της τομής τους. Επίσης, θεωρούμε το σημείο ${\rm {A'}}$ το συμμετρικό του ${\rm {A}}$ ως προς το ${\rm {G'}}$, και ${\rm {M'}}$ το σημείο τομής του ${\rm {B\Gamma }}$ με το ${\rm {A'G'}}$.

Τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {{M_{B}G}'}}$ και ${\rm {BA'}}$ χωρίζουν τo ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {G'A'}}$ σε ίσα μέρη. Από το θεώρημα τομής του Θαλή, προκύπτει ότι

${\rm {M_{\Gamma }G'//BA'}}$,

και αντίστοιχα για τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {M_{\Gamma }G'}}$ και ${\rm {\Gamma A'}}$

${\rm {M_{B}G'//\Gamma A'.}}$

Επομένως, το τετράπλευρο ${\rm {BA'\Gamma G'}}$ έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα ${\rm {M'}}$ είναι το μέσο του ${\rm {B\Gamma }}$ και άρα ${\rm {AM'}}$ η διάμεσος της κορυφής ${\rm {A}}$. Επίσης, ${\rm {M'}}$ το μέσο του ${\rm {G'A'}}$ και άρα ${\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM'}}$. $\square$

Απόδειξη με διανύσματα  

Θεωρούμε ένα σημείο αναφοράς ${\rm {O}}$ και το σημείο

${\overrightarrow {\rm {OG}}}={\tfrac {1}{3}}\cdot ({\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}}).$

Θα δείξουμε ότι η προέκταση της ${\rm {AG}}$ κατά ${\tfrac {3}{2}}$ είναι διάμεσος.

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\tfrac {3}{2}}{\overrightarrow {\rm {AG}}}&={\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\tfrac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}})-{\frac {3}{2}}{\overrightarrow {\rm {OA}}}\\&={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}}),\end{aligned}}$

που είναι το μέσο του ${\rm {B\Gamma }}$. $\square$

1^ο Θεώρημα Διαμέσων

Θεώρημα — Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με διάμεσο την ${\rm {AM}}$, ισχύει ότι

${\rm {AB^{2}+A\Gamma ^{2}=2\cdot AM^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης πρώτου θεωρήματος διαμέσων.

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ${\rm {AMB}}$ έχουμε ότι

${\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB}}\cdot \cos \phi$.

(1)

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ${\rm {AM\Gamma }}$ έχουμε ότι

${\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+M\Gamma ^{2}-2\cdot AM\cdot M\Gamma }}\cdot \cos(180^{o}-\phi )$

${\phantom {\rm {A\Gamma ^{2}}}}={\rm {AM^{2}+MB^{2}+2\cdot AM\cdot MB}}\cdot \cos \phi$,

(2)

καθώς ${\rm {MB=M\Gamma }}$, αφού ${\rm {M}}$ το μέσο του ${\rm {B\Gamma }}$.

Προσθέτοντας τις εξισώσεις (1) και (2), λαμβάνουμε ότι

$\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+2\mathrm {MB} ^{2}.$

Χρησιμοποιώντας ότι ${\rm {MB=M\Gamma ={\tfrac {1}{2}}B\Gamma }}$ λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση. $\square$

Πόρισμα — Το μήκος της διαμέσου $\mu _{a}$ δίνεται από τον τύπο

$\mu _{\rm {A}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}}$,

και αντίστοιχα

$\mu _{\rm {B}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}$ και $\mu _{\rm {\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}$.

2^ο Θεώρημα Διαμέσων

Θεώρημα — Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {A\Gamma >AB}}$, διάμεσο την ${\rm {AM}}$ και ύψος ${\rm {AH}}$, ισχύει ότι

${\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=2\cdot B\Gamma \cdot MH}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης δεύτερου θεωρήματος διαμέσων.

Αντίστοιχα με την απόδειξη του 1^ου θεωρήματος των διαμέσων, έχουμε ότι

${\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi }}$,

και

${\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+MB^{2}+2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi }}$.

Παίρνοντας την διαφορά για των δύο παραπάνω σχέσεων, έχουμε ότι

${\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=4\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi =2\cdot B\Gamma \cdot MH}}$,

ολοκληρώνοντας την απόδειξη. $\square$

Ιδιότητες

• Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα με ίσο εμβαδόν.

Απόδειξη  

Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου

$\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {ABM}$ και $\mathrm {A\Gamma M}$ έχουν το ίδιο ύψος $\mathrm {AH}$ και ίσες βάσεις $\mathrm {BM} =\mathrm {\Gamma M} ={\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}$. Επομένως έχουν και ίσα εμβαδά.

• Για τις διαμέσους $\mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}$ ενός τριγώνου, ισχύουν οι εξής τριγωνομετρικές σχέσεις

$\mu _{\alpha }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {B}}+2\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}-\sin ^{2}{\rm {A}}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}$, $\quad \mu _{\beta }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}+2\sin ^{2}{\rm {A}}-\sin ^{2}{\rm {B}}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}$ και $\quad \mu _{\gamma }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {A}}+2\sin ^{2}{\rm {B}}-\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}$.

• Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$,

$\mu _{\rm {A}}^{2}+\mu _{\rm {B}}^{2}+\mu _{\rm {\Gamma }}^{2}={\tfrac {3}{4}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$,

και

$\mu _{\rm {A}}^{4}+\mu _{\rm {B}}^{4}+\mu _{\rm {\Gamma }}^{4}={\tfrac {9}{16}}\cdot (\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4})$.

Ανισοτικές Σχέσεις

• Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$,

${\tfrac {3}{4}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )<\mu _{\rm {A}}+\mu _{\rm {B}}+\mu _{\rm {\Gamma }}<{\tfrac {3}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$.

• Αν $\mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } >\mathrm {B\Gamma }$, τότε

$\mu _{\rm {\Gamma }}<\mu _{\rm {B}}<\mu _{\rm {A}}$.

• Αν $\mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma }$, τότε

${\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {A\Gamma } }{2}}<\mu _{\rm {A}}<{\tfrac {\mathrm {AB} +\mathrm {A\Gamma } }{2}}$.

• Αν ${\hat {\mathrm {A} }}$ οξεία γωνία, τότε

$\mathrm {AM} >{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Η διάμεσος κατασκευάζεται με τον ίδιο τρόπου που βρίσκουμε το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή κατασκευάζοντας την μεσοκάθετο):

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα $\mathrm {B}$ και $\mathrm {\Gamma }$ και ακτίνα $\mathrm {B\Gamma }$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ των δύο κύκλων.
3. Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm {T} _{1}\mathrm {T} _{2}$.
4. Βρίσκουμε το σημείο τομής $\mathrm {M}$ του $\mathrm {T} _{1}\mathrm {T} _{2}$ με το $\mathrm {B\Gamma }$.
5. Ενώνουμε τα σημεία $\mathrm {A}$ και $\mathrm {M}$

Δείτε επίσης

• Νόμος των συνημιτόνων
• Θεώρημα Στιούαρτ
• Διχοτόμος γωνίας
• Ύψος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διάμεσοι και Διχοτόμοι ενός Τριγώνου
• Διάμεσοι
• Area of Median Triangle
• Διάμεσοι ενός Τριγώνου Με διαδραστικό animation
• Κατασκευάζοντας τη διάμεσο ενός τριγώνου με διαβήτη και κανόνα
• Weisstein, Eric W., "Διάμεσος τριγώνου" από το MathWorld.