Μια πυθαγόρεια τετράδα είναι μια πλειάδα ακεραίων αριθμών a, b, c και d, τέτοια ώστε a2 + b2 + c2 = d2. Αποτελούν λύσεις σε μια διοφαντική εξίσωση και συχνά λαμβάνονται υπόψη μόνο θετικές ακέραιες τιμές[1]. Ωστόσο, για να δοθεί μια πιο πλήρης γεωμετρική ερμηνεία, οι ακέραιες τιμές μπορούν να είναι αρνητικές και μηδενικές (επιτρέποντας έτσι να συμπεριληφθούν πυθαγόρειες τριάδες) με μόνη προϋπόθεση ότι d > 0. Σε αυτό το πλαίσιο, μια πυθαγόρεια τετράδα (a, b, c, d) ορίζει ένα κυβοειδές με ακέραια μήκη πλευρών |a|, |b|, και |c|, του οποίου η διαγώνιος του χώρου έχει ακέραιο μήκος d. Με αυτή την ερμηνεία, οι πυθαγόρειες τετράδες ονομάζονται επίσης πυθαγόρεια κουτιά.[2] Σε αυτό το λήμμα θα υποθέσουμε, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά, ότι οι τιμές μιας πυθαγόρειας τετράδας αποτελούνται από θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Και οι τέσσερις πρωτόγονες πυθαγόρειες τετράδες με μόνο μονοψήφιες τιμές

Παραμετροποίηση πρωτόγονων τετράδων

Επεξεργασία

Μια πυθαγόρεια τετράδα ονομάζεται πρωταρχική αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των καταχωρίσεών της είναι 1. Κάθε πυθαγόρεια τετράδα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο μιας πρωταρχικής τετράδας. Το σύνολο των πρωταρχικών πυθαγόρειων τετράδων για τις οποίες το a είναι περιττό μπορεί να παραχθεί από τους τύπους

 

όπου m, n, p, q είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί με μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη 1 τέτοιο ώστε m + n + p + q να είναι περιττός.[3][4][1] Έτσι, όλες οι πρωταρχικές πυθαγόρειες τετράδες χαρακτηρίζονται από την ταυτότητα  

Εναλλακτική παραμετροποίηση

Επεξεργασία

Όλες οι πυθαγόρειες τετράδες ( μαζί με τις μη πρωταρχικές και με επανάληψη, αν και τα a, b και c δεν εμφανίζονται σε όλες τις δυνατές σειρές) μπορούν να παραχθούν από δύο θετικούς ακέραιους a και b ως εξής:

Αν a και b έχουν διαφορετική ισοτιμία, έστω p οποιοσδήποτε παράγοντας του a2 + b2 τέτοιος ώστε p2 < a2 + b2. Τότε c = a2 + b2 - p2/2p και d = a2 + b2 + p2/2p. Ας σημειωθεί ότι p' = d - c (η μέθοδος αυτή βασίζεται σε αποτελέσματα που προέκυψαν για τις πυθαγόρειες τριάδες [5]).

Η ίδια μέθοδος ισχύει[5] για την παραγωγή όλων των πυθαγόρειων τετράδων για τις οποίες a και b είναι και οι δύο ζυγοί. Έστω l = a/2 και m = b/2 και έστω n ένας παράγοντας του l2 + m2 τέτοιος ώστε n2 < l2 + m2. Τότε c = l2 + m2 - n2/n και d = l2 + m2 + n2/n. Αυτή η μέθοδος παράγει όλες τις πυθαγόρειες τετράδες ακριβώς μία φορά για κάθε μία, όταν τα l και m διατρέχουν όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών και η n διατρέχει όλες τις επιτρεπτές τιμές για κάθε ζεύγος.

Δεν υπάρχει τέτοια μέθοδος αν και οι δύο a και b είναι μονές, οπότε δεν υπάρχουν λύσεις, όπως φαίνεται από την παραμετροποίηση στην προηγούμενη ενότητα.

Ιδιότητες

Επεξεργασία

Ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί πάντα το γινόμενο abcd είναι το 12.[6] Η τετράδα με το ελάχιστο γινόμενο είναι η (1, 2, 2, 2, 3).

Δεδομένου μιας πυθαγόρειας τετράδας   όπου   τότε το   μπορεί να οριστεί ως η νόρμα της τετράδας με την έννοια ότι   και είναι ανάλογο με την υποτείνουσα μιας πυθαγόρειας τριάδας.

Κάθε περιττός θετικός αριθμός εκτός από το 1 και το 5 μπορεί να είναι η νόρμα μιας πρωταρχικής πυθαγόρειας τετράδας   έτσι ώστε   να είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και να είναι πρώτοι προς αλλήλους .[7][8] Όλες οι πρωτόγονες πυθαγόρειες τετράδες με τους περιττούς αριθμούς ως νόρμες μέχρι το 29 εκτός από το 1 και το 5 δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Παρόμοια με μια πυθαγόρεια τριάδα που δημιουργεί ένα ξεχωριστό ορθογώνιο τρίγωνο, μια πυθαγόρεια τετράδα θα δημιουργήσει ένα ξεχωριστό τρίγωνο του Ήρωνα [9] Αν τα a, b, c, d είναι μια πυθαγόρεια τετράδα με   θα δημιουργήσει ένα τρίγωνο του Ήρωνα με πλευρές x, y, z ως εξής:-

 
 
 .

Θα έχει ημιπερίμετρο  , εμβαδόν   και ακτίνα  .

Το exradii θα είναι:-

 
 
 .

Η ακτίνα περιφέρειας θα είναι

 .

Η διατεταγμένη ακολουθία των εμβαδών αυτής της κατηγορίας τριγώνων του Ήρωνα μπορεί να βρεθεί στη διεύθυνση (ακολουθία A367737 στην OEIS).

Σχέση με τα τετραδόνια και τους ορθολογικούς ορθογώνιους πίνακες

Επεξεργασία

Μία πρωταρχική πυθαγόρεια τετράδα (a, b, c, d) παραμετροποιείται από (m, n, p, q) αντιστοιχεί στην πρώτη στήλη της αναπαράστασης του πίνακα E(α) της σύζευξης α(⋅)α με το τετραδόνιο Χούρβιτς α' = m + ni + pj + qk που περιορίζεται στον υποχώρο των τετραδονίων που καλύπτεται από τα i, j, k, που προκύπτει από τη σχέση  

όπου οι στήλες είναι κατά ζεύγη ορθογώνιες και κάθε μία έχει νόρμα d. Επιπλέον, ισχύει ότι το {1/dE(α) ανήκει στην ορθογώνια ομάδα  , και, στην πραγματικότητα, όλοι οι 3 × 3 ορθογώνιοι πίνακες με ρητούς συντελεστές προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο.[10]

Πρωτογενή πυθαγόρεια τετράδα με μικρή νόρμα

Επεξεργασία

Υπάρχουν 31 πρωταρχικές πυθαγόρειες τετράδες στις οποίες όλες οι καταχωρήσεις είναι μικρότερες από 30.

(  1 ,  2 , 2 , 3 )  (  2 , 10 , 11 , 15 )  ( 4 , 13 , 16 , 21 )  ( 2 , 10 , 25 , 27 )
( 2 , 3 , 6 , 7 )  ( 1 , 12 , 12 , 17 )  ( 8 , 11 , 16 , 21 )  ( 2 , 14 , 23 , 27 )
( 1 , 4 , 8 , 9 )  ( 8 , 9 , 12 , 17 )  ( 3 , 6 , 22 , 23 )  ( 7 , 14 , 22 , 27 )
( 4 , 4 , 7 , 9 )  ( 1 , 6 , 18 , 19 )  ( 3 , 14 , 18 , 23 )  ( 10 , 10 , 23 , 27 )
( 2 , 6 , 9 , 11 )  ( 6 , 6 , 17 , 19 )  ( 6 , 13 , 18 , 23 )  ( 3 , 16 , 24 , 29 )
( 6 , 6 , 7 , 11 )  ( 6 , 10 , 15 , 19 )  ( 9 , 12 , 20 , 25 )  ( 11 , 12 , 24 , 29 )
( 3 , 4 , 12 , 13 )  ( 4 , 5 , 20 , 21 )  ( 12 , 15 , 16 , 25 )  ( 12 , 16 , 21 , 29 )
( 2 , 5 , 14 , 15 )  ( 4 , 8 , 19 , 21 )  ( 2 , 7 , 26 , 27 )

Δημοσιεύσεις

Επεξεργασία

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. 1,0 1,1 R. Spira, The diophantine equation x2 + y2 + z2 = m2, Amer. Math. Monthly Vol. 69 (1962), No. 5, 360–365.
  2. R. A. Beauregard and E. R. Suryanarayan, Pythagorean boxes, Math. Magazine 74 (2001), 222–227.
  3. R.D. Carmichael, Diophantine Analysis, New York: John Wiley & Sons, 1915.
  4. L.E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41–56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579–594.
  5. 5,0 5,1 Amato, Roberto, A characterization of Pythagorean triples, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications 39 (2) (2017), 221-230.
  6. MacHale, Des, and van den Bosch, Christian, «Generalising a result about Pythagorean triples», Mathematical Gazette' 96, March 2012, pp. 91-96.
  7. «4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ». ebooks.edu.gr. Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2024. 
  8. «OEIS A005818». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 
  9. «OEIS A367737». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 
  10. J. Cremona, Letter to the Editor, Amer. Math. Monthly 94 (1987), 757–758.