Συνάρτηση του Βολτέρρα

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση του Βολτέρρα, η οποία πήρε το όνομά της από τον Βίτο Βολτέρρα, είναι μια πραγματική συνάρτηση V που ορίζεται στο $\mathbb {R}$ με τον ακόλουθο περίεργο συνδυασμό ιδιοτήτων^[1]:

Η V είναι διαφορίσιμη παντού ,
η παράγωγος V' είναι παντού περιορισμένη,
η παράγωγος δεν είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.

Ορισμός και κατασκευή Επεξεργασία

Η συνάρτηση ορίζεται από το Σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ, το οποίο θα σημειωθεί εδώ ως S, και "αντίγραφα" της συνάρτησης $f$ που ορίζεται από τη σχέση $f(x)=x^{2}sin\left({\frac {1}{x}}\right)$ για $x$ ≠ 0 και $f(0)=0$ , με στόχο την κατασκευή μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης της οποίας η παράγωγος είναι ασυνεχής σε ένα σύνολο μη μηδενικών μέτρο^[2]. Μια τέτοια παράγωγος δεν μπορεί να είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.^[3]

Το σύνολο S είναι ένα κλειστό τμήμα του [0,1], με μη μηδενικό μέτρο, κενό εσωτερικό και χωρίς απομονωμένα σημεία. Το συμπλήρωμά του στο [0,1] είναι μια μετρήσιμη ένωση ανοικτών διαστημάτων. Η συνάρτηση Βολτέρρα ορίζεται ως εξής. Είναι μηδέν στο S. Σε κάθε ανοικτό διάστημα $]a,b[$ του συμπληρωματικού του S, είναι ίση με μια διαφορίσιμη συνάρτηση, με συνεχή παράγωγο, που επεκτείνεται στο a και στο b σε μια συνεχή και διαφορίσιμη συνάρτηση, με $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0$ , αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε η παράγωγος να είναι ασυνεχής στο a και στο b. Για να το κάνουμε αυτό, προσαρμόζουμε στο διάστημα $]a,b[$ την παρακάτω κατασκευή, που πραγματοποιήθηκε, για να απλοποιήσουμε τους συμβολισμούς, για την περίπτωση του διαστήματος ]0,1[ :

Έστω $f(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ για $x\in ]0,c]$ , με c ένα πραγματικό στοιχείο του $]0,{\frac {1}{2}}]$ και τέτοιο ώστε $f'(c)=0$ .
Έστω $f(x)=f(c)$ πάνω στο $[c,{\frac {1}{2}}]$ .
Έστω $f(x)=f(1-x)$ στο $[{\frac {1}{2}},1]$ *

Ιδιότητες Επεξεργασία

Αφού ολοκληρώσουμε μια ανάλογη κατασκευή σε κάθε διάστημα του συμπληρώματος του S, λαμβάνουμε μια συνάρτηση V παραγωγίσιμη σε οποιοδήποτε σημείο του $[0,1]$ , και της οποίας η παράγωγος είναι ασυνεχής στο S και συνεχής στο συμπλήρωμά του ^[2]^[4].

Πράγματι, η παραπάνω συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με μηδενική παράγωγο. Αλλά για μη μηδενικό x, έχουμε $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ , το οποίο σημαίνει ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του μηδενός, υπάρχουν σημεία όπου η $f'(x)$ παίρνει τις τιμές 1 και -1. Έτσι, υπάρχουν σημεία όπου το $V'(x)$ παίρνει τις τιμές 1 και -1 σε κάθε γειτονιά κάθε ορίου των διαστημάτων που αφαιρούνται κατά την κατασκευή του συνόλου S του Σμιθ, Βόλτερρα και Κάντορ. Έτσι, σε οποιοδήποτε σημείο του S, το V είναι παραγωγίσιμο, με μηδενική παράγωγο, αλλά το $V'(x)$ εκεί είναι ασυνεχές. Ωστόσο, η $V'$ είναι συνεχής σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα, οπότε το σύνολο των σημείων ασυνέχειας της $V'$ είναι ακριβώς ίσο με το S.

Δεδομένου ότι το σύνολο S έχει αυστηρά θετικό μέτρο Λεμπεσγκ, αυτό σημαίνει ότι το $V'$ είναι ασυνεχές σε ένα σύνολο μη μηδενικού μέτρου, και επομένως δεν είναι ολοκληρώσιμο κατά Ρίμαν.^[5] · ^[6].

Σημειώστε ότι αν είχαμε πραγματοποιήσει την ίδια κατασκευή στο σύνολο Cantor C, θα είχαμε λάβει μια συνάρτηση με παρόμοιες ιδιότητες, αλλά η παράγωγος θα ήταν ασυνεχής στο C, το οποίο έχει μέτρο μηδέν, και η συνάρτηση που θα λαμβάναμε θα είχε τότε μια ολοκληρώσιμη παράγωγο Ρίμαν.

Δημοσιεύσεις Επεξεργασία

[https://web.archive.org/web/20201123131325/http://www.macalester.edu/~bressoud/talks/AlleghenyCollege/Wrestling.pdf Αρχειοθετήθηκε 2020-11-23 στο Wayback Machine. Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function], talk by David Marius Bressoud
[https://web.archive.org/web/20160303185034/http://www.macalester.edu/~bressoud/talks/apnc2004/Volterra.ppt Αρχειοθετήθηκε 2016-03-03 στο Wayback Machine. Volterra's example of a derivative that is not integrable ](PPT), talk by David Marius Bressoud

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Παραπομπές Επεξεργασία

↑ Gripenberg, G.· Londen, S. O. (1990). Volterra Integral and Functional Equations. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-37289-3.
↑ ^2,0 ^2,1 The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, auteur=R. A. Gordon|page=35-36-éditeur=American Math. Society 1994, ISBN 0-8218-3805-9
↑ «Volterra's Function - Definition and Construction | Definition Construction». www.liquisearch.com. Ανακτήθηκε στις 14 Σεπτεμβρίου 2023.
↑ «Integral operators of volterra-stieltjes type, their properties and applications» (στα αγγλικά). Mathematical and Computer Modelling 32 (11-13): 1321–1331. 2000-12-01. doi:10.1016/S0895-7177(00)00207-7. ISSN 0895-7177. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0895717700002077.
↑ The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, auteur=R. A. Gordon page=39,|éditeur=American Math. Society année=1994 ISBN 0-8218-3805-9
↑ L'intégrale de Lebesgue sur la droite réelle auteur=J.-A. Arnaudiès|éditeur=Vuivert année=1997 page=274 ISBN 2-7117-8904-7

[1] Gripenberg, G.· Londen, S. O. (1990). Volterra Integral and Functional Equations. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-37289-3.

[Gordon-2] 2,0 ^2,1 The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, auteur=R. A. Gordon|page=35-36-éditeur=American Math. Society 1994, ISBN 0-8218-3805-9

[3] «Volterra's Function - Definition and Construction | Definition Construction». www.liquisearch.com. Ανακτήθηκε στις 14 Σεπτεμβρίου 2023.

[4] «Integral operators of volterra-stieltjes type, their properties and applications» (στα αγγλικά). Mathematical and Computer Modelling 32 (11-13): 1321–1331. 2000-12-01. doi:10.1016/S0895-7177(00)00207-7. ISSN 0895-7177. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0895717700002077.

[5] The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, auteur=R. A. Gordon page=39,|éditeur=American Math. Society année=1994 ISBN 0-8218-3805-9

[6] L'intégrale de Lebesgue sur la droite réelle auteur=J.-A. Arnaudiès|éditeur=Vuivert année=1997 page=274 ISBN 2-7117-8904-7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]