Χιλιάγωνο

Χιλιάγωνο
Τύπος	Κανονικό πολύγωνο
Πλευρές	1000
Συμμετρία	διεδρική D1000
Schläfli	{1000}  ή  t{500}
Coxeter-Dynkin	ή
Εσωτερική γωνία	179,64°
Διπλό πολύγωνο	το ίδιο
Ιδιότητες	κυρτό, κυκλικό, ισόπλευρο, ισογώνιο, ισότοξο

Στη γεωμετρία, το χιλιάγωνο είναι ένα πολύγωνο με χίλιες πλευρές. Αρκετοί φιλόσοφοι το έχουν χρησιμοποιήσει για να τονίσουν θέματα που αφορούν τη σκέψη.

Το πλήρες κανονικό χιλιάγωνο δεν είναι οπτικά ευδιάκριτο και μοιάζει με κύκλο. Το κάτω μέρος είναι τμήμα κανονικού χιλιαγώνου, 200 φορές μεγαλύτερο από το μικρότερο στο πάνω μέρος, όπου οι κορυφές επισημαίνονται.

Ένα κανονικό χιλιάγωνο εκπροσωπείται από το σύμβολο Schläfli {1000} και μπορεί να κατασκευαστεί ως σχεδόν κανονικό περικομμένο 500-γωνο, t{500}, το οποίο εναλλάσσεται δύο τύπους ακμών.

Ιδιότητες

Η κάθε εσωτερική γωνία ενός κανονικού χιλιαγώνου είναι 179,64°. Το εμβαδόν ενός κανονικού χιλιαγώνου με πλευρές μήκους a δίνεται από τον τύπο:

$A=250a^{2}\cot {\frac {\pi }{1000}}\simeq 79577.2\,a^{2}$

Αυτό το εμβαδόν διαφέρει από το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου το λιγότερο κατά 4 μονάδες ανά εκατομμύριο.

Το κανονικό χιλιάγωνο δεν είναι ένα κατασκευάσιμο πολύγωνο, διότι ο αριθμός των πλευρών του, 1000 = 2³ × 5³, δεν είναι ούτε μια δύναμη του δύο, ούτε ένα γινόμενο διακριτών πρώτων αριθμών Φερμά.

Χιλιάγραμμα

Το χιλιάγραμμα είναι ένα αστεροειδές πολύγωνο 1000 πλευρών. Υπάρχουν 199 κανονικές μορφές του:

500 περιπτώσεις -1 (το κυρτό) -100 (τα πολλαπλάσια του 5) -250 (τα πολλαπλάσια του 2) +50 (τα πολλαπλάσια των 2 και 5) = 199 περιπτώσεις

Οι περιπτώσεις αυτές δίνονται από σύμβολα Schläfli της μορφή {1000/ν}, όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός μεταξύ του 2 και του 500, που είναι πρωταρχικός έως το 1000. Υπάρχουν επίσης 300 κανονικά αστεροειδή σχήματα στις υπόλοιπες περιπτώσεις.

Για παράδειγμα, το αστεροειδές κανονικό πολύγωνο {1000/499} κατασκευάζεται με σχεδόν 1000 ακτινικές ακμές. Κάθε κορυφή του άστρου διαθέτει μια εσωτερική γωνία 0,36 μοιρών:

180 (1 - 2/(1000/499)) = 180 (1 - 998/1000) = 180 (2/1000) = 180/500 = 0,36

Αστεροειδές κανονικό πολύγωνο {1000/499}

Κεντρική περιοχή με πρότυπα Moiré

Δείτε επίσης

• Μυριάγωνο
• Μεγάγωνο

Παραπομπές

Βιβλιογραφία

• Finkel, Benjamin Franklin (1888). A Mathematical Solution Book: Chiliagon. Kibler & Company.