Χρήστης:ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΠΗΝΕΛΟΠΗ/πρόχειρο
 |
Αυτή η σελίδα είναι το κύριο «πρόχειρο χρήστη» του ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΠΗΝΕΛΟΠΗ. Ένα «πρόχειρο χρήστη» είναι υποσελίδα της προσωπικής σελίδας του χρήστη στη Βικιπαίδεια. Εξυπηρετεί ως χώρος πειραματισμών και ανάπτυξης σελίδων και δεν είναι εγκυκλοπαιδικό λήμμα. Επεξεργαστείτε ή δημιουργήστε το δικό σας πρόχειρο εδώ ή κάνετε δοκιμές στο κοινόχρηστο Πρόχειρο Βικιπαίδειας. |
Στα μαθηματικά, η γενική τοπολογία είναι ένα μέρος της τοπολογίας που διαπραγματεύεται τους βασικούς συνολοθεωριτικούς ορισμούς και κατασκευές που χρησιμοποιούνται στην τοπολογία. Είναι το θεμέλιο των περισσότερων άλλων κλάδων της τοπολογίας, περιλαμβανομένης της διαφορικής τοπολογίας, γεωμετρικής τοπολογίας, και αλγεβρικής τοπολογίάς. Άλλο ένα όνομα για την γενική τοπολογία ειναι το σημειακή τοπολογία.
Οι θεμελιώδεις έννοιες στην γενική τοπολογία που είναι η συνέχεια ,η συμπάγεια , και η συνεκτικότητα :
- Συνεχής συναρτήσεις,διαισθητικά, βάζει κοντινά σημεία σε κοντινά σημεία.
- συμπαγές σύνολα,είναι εκείνα που μπορούν να καλυφθούν από πεπερασμένο πλήθος συνόλων αυθαίρετα απο το μέγεθος τους.
- συναφές σύνολα ,είναι σύνολα που δεν μπορούν να χωριστούν σε δύο κομμάτια τα οποία είναι πολύ μακριά.
Οο λέξεις 'κοντινά', 'αυθαίρετα μικρό', και 'πολύ μακριά' ,όλα μπορούν να γίνουν ακριβείς με τη χρήση ανοικτών συνόλων. Αν αλλάξουμε τον ορισμό του 'ανοικτού συνόλου',αλλάζουμε την έννοια των συνχών συναρτήσεων, των συμπαγών και συναφών συνόλων.Κάθε επιλογή του ορισμού του 'ανοικτού συνόλου' ονομάζεται τοπολογία. Ένα σύνολο με μια τοπολογική ιδιότητα ονομάζεται τοπολογικός χώρος.
Οι Μετρικοί χώροι είναι ένα σημαντικό μέρος των τοπολογικών χώρων ,όπου μπορεί να οριζονται οι αποστάσεις ως ένας αριθμός που ονομάζεται μετρικός. Με το να υπάρχει ένα μετρικό συστημα απλοποιεί πολλές αποδείξεις, και πολλά από τα πιο κοινά είδη τοπολογικών χώρων είναι οι μετρικοί χώροι.
Ιστορία Επεξεργασία
Η γενική τοπολογία αναπτύχθηκε σε ένα εύρος κατηγοριών , οι πιο σημαντικές είναι οι ακόλουθες:
- Η λεπτομερής μελέτη των συνόλων των πραγματικών γραμμών (κάποτε γνωστή ως τοπολογία του σημειοσυνόλου,
- Η εισαγωγή του πολλαπλή έννοιας
- Η μελέτη του μετρικού χώρου , ειδικά του νορμικού γραμμικού χώρου , στις πρώτες μέρες της συναρτησιακής ανάλυσης.
Γενικά η τοπολογία πήρε τη σημερινή της μορφή γύρω στο 1940. Έχει συμβάλει, θα μπορούσε κανείς να πει, σχεδόν σε όλη την έννοια της σνεχής συνάρτησης και σε μια τεχνική κατάλληλη μορφή που μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε περιοχή των μαθηματικών.
Τοπολογία σε σύνολα Επεξεργασία
Ας είναι το X ένα σύνολο και το τ μια οικογένεια συνόλων των υποσυνόλων του X. Τότε το τ καλείται τοπολογικό στο Χ αν:[1][2]
- Και το κενό σύνολο και το X είναι στοιχεία του τ
- Κάθε ένωση των στοιχείων του τ είναι στοιχείο του τ
- Κάθε τομή πεπερασμένου πλήθους στοιχείων του τ είναι στοιχεία του τ
Αν τ είναι τοπολογικό στο X, τότε το ζεύγος (X, τ) καλείται τοπολογικός χώρος. Ο συμβολισμός Xτ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υποδηλώσει οτι το σύνολο X είναι εφωδιασμένο με την τοπολογία του τ.
Τα μέλη των τ ονομάζονται ανοιχτά σύνολα στο X. Ένα υποσύνολο του X μπορεί να είναι κλειστό σύνολο αν το συμπλήρωμά του ανήκει στο τ (δηλαδη είναι ανοικτό). Ένα υποσύνολο του X μπορει να είναι ανοικτό, κλειστό, και (ανοικτό κλειστό σύνολο), ή τιποτα. Το κενό σύνολο και το X είναι πάντα το ίδιο κλειστά η ανοικτά .
Βάση για την τοπολογία Επεξεργασία
Μια 'βάση' (ή 'βάση' ) Β για έναν τοπολογικό χώρο Χ με τοπολογία Τ είναι μια συλλογή από ανοιχτά σύνολα στον Τ έτσι ώστε κάθε ανοιχτό σύνολο στο Τ μπορεί να γραφεί ως ένωση των στοιχείων του Β . [3][4] Εμείς λέμε ότι η βάση δημιουργεί την τοπολογία Τ . Οι βάσεις είναι χρήσιμες, διότι πολλές τοπολογικές ιδιότητες μπορεί να μειωθούν σε δηλώσεις σχετικά με μια βάση που παράγει η τοπολογία-και επειδή πολλές τοπολογίες είναι πιο εύκολο να ορίζονται με βάση μια βάση που τους παράγει.
Υποχώροι και πηλίκα Επεξεργασία
Σε κάθε υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου μπορεί να δωθεί η έννοια του τοπολογικού υποχώρου στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι οι τομές των ανοιχτών συνόλων του μεγαλύτερου χώρου με το υποσύνολό του.Για κάθε οικογένεια δεικτών ενός τοπολογικού χώρου, το αποτέλεσμα μπορεί να δώσει την παράγων τοπολογία, η οποία παράγεται απο την αντίστροφη εικόνα των ανοικτών συνόλων των στοιχείων αυτών στο πλαίσιο των προβολών αντίστοιχα. Για παράδειγμα, σε πεπερασμένω σύνολο ,μια βάση για την παράγουσα τοπολογία αποτελείται απο το σύνολο των ανοιχτών συνόλων. Για άπειρα στοιχεία, υπάρχει η απαίτηση οτι σε ένα ανοιχτό σύνολο, όλες οι προβολές τους είναι όλο το σύνολο.
Ένας χώρος πηλίκο ορίζεται ως: αν το X είναι ένας τοπολογικός χώρος το Y είναι ένα σύνολο, και αν η f : X→ Y είναι επί συνάρτηση, τότε το πηλίκο της τοπολογίας του Y είναι μια συλλογή αντικειμένων του Y που έχουν ανοιχτές αντίστροφες εικόνες υπο την f. Με άλλα λόγια,η τοπολογία πηλίκου είναι η καλύτερη τοπολογία του Y για το οποίο η f είναι συνεχής. Ένα κοινό παράδειγμα είναι μια σχέση ισοδυναμίας που ορίζεται στον τοπολογικό χώρο του X. Η σχέση f είναι τότε η φυσική προεξωχή επι του συνόλου των κλάσεων ισοδυναμίας.
Παραδείγματα τοπολογικών χώρων Επεξεργασία
Ένα δωσμένο σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες. Εάν σε ένα σύνολο δίνονται διαφορετικές τοπολογίες,αυτό θεωρείται ως ένα διαφορετικός τοπολογικός χώρος .Σε κάθε ομάδα μπορεί να δοθεί η ονομασία διακριτή τοπολογία στην οποία κάθε υποσύνολο είναι ανοιχτό . Οι μόνες συγκλίνουσες ακολουθίες σε αυτή την τοπολογία είναι αυτά που είναι τελικά σταθερές. Επίσης, οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η ονομασία τετριμμένη τοπολογία (που ονομάζεται επίσης ενιαία τοπολογία), στην οποία μόνο το κενό σύνολο και όλος ο χώρος είναι ανοιχτά. Κάθε ακολουθία και η γνήσια σε αυτήν την τοπολογία συγκλίνει σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι σε γενικές γραμμές τοπολογικών χώρων, τα όρια των ακολουθιών δεν χρειάζεται να είναι μοναδικά. Ωστόσο, συχνά στους τοπολογικούς χώρους πρέπει να είναι Hausdorff χώροι , όπου το όριο των σημείων είναι μοναδικό.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι να οριστεί μια τοπολογία R, το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η βασική τοπολογία R παράγεται απο τα ανοικτά διαστήματα. Το σύνολο όλων των ανοικτών διαστημάτων σχηματίζει μία βάση η βάσεις για την τοπολογία, που σημαίνει ότι κάθε ανοιχτό σύνολο είναι μία ένωση απο κάποια συλλογή συνόλων απο τη βάση.Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι ένα σύνολο είναι ανοιχτό, αν υπάρχει ένα ανοικτό διάστημα μη μηδενικής ακτίνας για κάθε σημείο του συνόλου.Γενικότερα, οι Ευκλείδειοι χώροι Rn μπορούν να δώσουν μια τοπολογία. Στη συνήθη τοπολογία τπυ Rn τα βασικά ανοικτά σύνολα είναι μπάλες. Ομοίως,το σύνολο C, των μιγαδικών αριθμών, και ο Cn έχουν μια βασική τοπολογία την οποία τα ανοικτά σύμολα είναι όλα ανοικτές μπάλες.
f(U) ⊆ V
- ↑ Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
- ↑ Adams, Colin Conrad, and Robert David Franzosa. Introduction to topology: pure and applied. Pearson Prentice Hall, 2008.
- ↑ Merrifield, Richard E.· Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods in Chemistry. New York: John Wiley & Sons. σελ. 16. ISBN 0-471-83817-9. Ανακτήθηκε στις 27 Ιουλίου 2012.
Definition. A collection B of subsets of a topological space (X,T) is called a basis for T if every open set can be expressed as a union of members of B.
- ↑ Armstrong, M. A. (1983). Basic Topology. Springer. σελ. 30. ISBN 0-387-90839-0. Ανακτήθηκε στις 13 Ιουνίου 2013.
Suppose we have a topology on a set X, and a collection of open sets such that every open set is a union of members of . Then is called a base for the topology...
