Ψευδορθογώνιο τρίγωνο

Στην γεωμετρία, ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ ονομάζεται ψεύδο-ορθογώνιο (ή ψευδορθογώνιο) αν η διαφορά των δύο γωνιών του είναι μία ορθή γωνία, δηλαδή ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{o}$. Αυτά τα τρίγωνα ικανοποιούν κάποιες από τις μετρικές σχέσεις που ισχύουν στα ορθογώνια τρίγωνα και από εκεί παίρνουν το όνομά τους.

Ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ (με ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{o}$) με το ύψος του $\mathrm {AA'}$.

Το σχετικό ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ του ψεύδο-ορθογωνίου τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$.

Πιο συγκεκριμένα, άμα θεωρήσουμε $\mathrm {B} '$ το συμμετρικό του $\mathrm {B}$ ως προς το $\mathrm {A} '$, τότε το τρίγωνο $\mathrm {AB'\Gamma }$ είναι ορθογώνιο με ορθή την $\mathrm {A}$. Επίσης έχει δύο πλευρές ίσες με το αρχικό τρίγωνο (την $\mathrm {AB} =\mathrm {AB'}$ και την $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A\Gamma }$) και ένα ύψος κοινό (το $\mathrm {AA'}$).

Απόδειξη

Για να δούμε την ισότητα των πλευρών, από την κατασκευή το τρίγωνο $\mathrm {ABB'}$ είναι ισοσκελές και επομένως $\mathrm {AB} =\mathrm {AB'}$.

Για να δούμε ότι η γωνία $\angle \mathrm {B'A\Gamma }$ είναι ορθή, παρατηρήστε ότι

$\angle \mathrm {BAA'} =90^{o}-\angle \mathrm {ABA'} =90^{o}-(180^{o}-{\hat {\mathrm {B} }})={\hat {\mathrm {B} }}-90^{o}={\hat {\mathrm {\Gamma } }},$

χρησιμοποιώντας ότι ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{o}$. Επομένως,

${\begin{aligned}\angle \mathrm {B'A\Gamma } &=2\cdot \angle \mathrm {BAA'} +\angle \mathrm {BA\Gamma } \\&=2{\hat {\mathrm {\Gamma } }}+180^{o}-{\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=180^{o}-({\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }})=90^{o}-90^{o}=90^{o},\end{aligned}}$

πάλι χρησιμοποιώντας ότι ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{o}$.

Ιδιότητες

Οι παρακάτω μετρικές σχέσεις προκύπτουν απευθείας από αυτές του ορθογωνίου $\mathrm {AB'\Gamma }$ (δείτε το σχετικό άρθρο για αποδείξεις) και τις ισότητες $\mathrm {AB} =\mathrm {AB'}$ και $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A\Gamma }$, καθώς και το κοινό ύψος $\mathrm {AA'}$:

• $\mathrm {AA'} ^{2}=\mathrm {BA'} \cdot \mathrm {\Gamma A'}$.
• ${\frac {1}{\mathrm {A} \mathrm {B} ^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {A} \Gamma ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {AA'} ^{2}}}$.
• $\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma A'} =\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {BA'}$.

Δείτε επίσης

• Ορθογώνιο τρίγωνο