Ένωση συνόλων

Στην θεωρία συνόλων, ένωση δύο συνόλων $A$ και $B$ (συμβολισμός $A\cup B$ ) ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων.

Μαθηματικά, η ένωση δύο συνόλων $A$ και $B$ ορίζεται ως εξής:^[1]^[2]^[3]^[4]^:113

A\cup B=\{x:x\in A

ή

x\in B\}

.

Η ύπαρξη αυτού του συνόλου συνήθως είναι ένα από τα αξιώματα του αξιωματικού συστήματος.^[4]^: 118,148

Για παράδειγμα, για $A=\{1,2,3,\alpha ,\beta ,\gamma \}$ και $B=\{1,3,4,5,6,\alpha ,\gamma \}$ είναι $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,\alpha ,\beta ,\gamma \}$ .

Ιδιότητες Επεξεργασία

Η ένωση συνόλων είναι μια πράξη μεταξύ συνόλων, για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες:
(όπου $A,B,\Gamma \subseteq \Omega$ και $\varnothing$ είναι το κενό σύνολο)

$A\cup A=A$ (ανακλαστική ιδιότητα)
$A\cup A^{c}=\Omega$
$A\cup B=B\cup A$ (αντιμεταθετική ιδιότητα)
$A\cup (B\cup \Gamma )=(A\cup B)\cup \Gamma$ (προσεταιριστική ιδιότητα)
$A\cup B=\varnothing \Longleftrightarrow A=\varnothing$ και $B=\varnothing$
$A\cup \varnothing =\varnothing \cup A=A$
$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$
$A\subseteq B\Rightarrow A\cup \Gamma \subseteq B\cup \Gamma$
$A\subseteq A\cup B$ και $B\subseteq A\cup B$

Ακόμη για τις πράξεις της ένωσης και της τομής συνόλων ισχύουν και οι γενικές ιδιότητες:

$A\cup (B\cap \Gamma )=(A\cup B)\cap (A\cup \Gamma )$ (επιμεριστική ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή)
$A\cap (B\cup \Gamma )=(A\cap B)\cup (A\cap \Gamma )$ (επιμεριστική ιδιότητα της τομής ως προς την ένωση)
$A\cup (A\cap B)=A\cap (A\cup B)=A$ (ιδιότητα της απορρόφησης)

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Παραπομπές Επεξεργασία

↑ Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Καλιφόρνιας και Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
↑ Παντζιου, Γραμματη. «Στοιχεία λογικής και θεωρίας συνόλων» (PDF). Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
↑ Αδάμ, Μαρία. «Συνολα» (PDF). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
↑ ^4,0 ^4,1 Hamilton, A. G. (1982). Numbers, sets and axioms: the apparatus of mathematics. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521287616.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι Επεξεργασία

Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Union (set theory) στο Wikimedia Commons

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Καλιφόρνιας και Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.

[2] Παντζιου, Γραμματη. «Στοιχεία λογικής και θεωρίας συνόλων» (PDF). Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.

[3] Αδάμ, Μαρία. «Συνολα» (PDF). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.

[H82-4] 4,0 ^4,1 Hamilton, A. G. (1982). Numbers, sets and axioms: the apparatus of mathematics. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521287616.

[1]

[2]

[3]

[4]